로그 적분 함수

1. 개요

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'''로그 적분 함수(Logarithmic Integral function)'''는 특수함수의 하나로, $$\mathrm{li}(x)$$로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \mathrm{li}(x)\equiv\int_0^x\frac{1}{\ln t}\,\mathrm{d}t$$

로그의 정의에 따라 $$\ln 1=0$$이기 때문에 $$x=1$$일 때에는 값이 정의되지 않는다.
이 함수의 그래프는 아래와 같다.

이 함수는 소수 계량 함수와의 관계가 깊으며, 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[1] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 '''리만 가설'''이다.
이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.
적분 범위를 $$[0,\,x]$$가 아닌 $$[2,\,x]$$로 규정한 경우도 있다.[2] 이럴 경우 특이점인 $$1$$이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 $$1$$을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.

1.1. 라마누잔-졸트너 상수

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Remanujan-Soldner constant
위 그래프에서 보듯 $$x>1$$ 범위에서 $$x$$절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(\mu)]로 표기하며, 불완전 감마 함수를 이용해 그 값을

$$\mu\equiv-\Gamma(0,\,-\ln2)-i\pi$$

[1] 옛날(가우스와 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 $$\dfrac x{\ln x}$$를 썼다.

[2] 이 경우 대문자 $$\mathrm{L}$$을 써서 $$\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)$$로 정의한다. 표기가 같은 폴리로그함수와 혼동에 주의. 사실 $$2$$보다는 $$x$$절편인 $$\mu$$가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 보다시피 '''정수가 아닌지라...'''

로 표기할 수 있으며, 소수로 표현하면 약 $$1.451369\cdots$$ 정도이다.

2. 지수 적분 함수와의 관계

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지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.

[math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]

이것의 증명은 아래와 같다. 적분

$$\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t $$

의 분자, 분모에 $$t$$를 곱하여

$$\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t $$

꼴로 만들어 $$\ln{t}\equiv-k$$로 치환하면

$$\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty $$

가 성립함에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]

이 적분은 지수 적분 함수와 자연로그의 합성함수 꼴이므로

$$\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) $$

로 쓸 수 있음을 얻는다.

3. 관련 문서

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• 로그함수
• 소수 계량 함수
• 소수 정리