텐서곱
'''Tensor Product, 쐐기곱'''
1. 개요
텐서곱은 선형대수학에서 여러 의미로 사용되는 개념이다.
2. 두 벡터의 텐서곱
벡터 문서 참조.
3. 두 텐서의 텐서곱
$$k $$ 텐서 $$T $$와 $$l $$ 텐서 $$S $$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $$T $$와 $$S $$의 텐서곱은 $$T\bigotimes S(v_1, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_{k+l})$$ $$ := T(v_1, ..., v_k) \times S(v_{k+1}, ..., v_{k+l}) $$로 정의되는 $$k+l $$ 텐서이다. 즉, 처음 $$k $$개 좌표를 T에 넣고, 그 다음 $$l $$개 좌표를 S에 넣어서 곱하는 함수이다. 이런 정의 때문에, 텐서 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 하지만, $$F $$ 상의 곱은 결합 법칙이 성립하므로, 결합 법칙은 성립한다고 할 수 있다. 결합 법칙이 성립하므로, 여타 다른 연산과 마찬가지로 텐서 곱을 여러 번 할 때 괄호를 생략할 수 있다.
4. 두 벡터 공간의 텐서곱
벡터 공간 $$ V $$와 $$ W $$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $$ V $$와 $$ W$$의 텐서곱 $$ V \bigotimes W $$는 이들로부터 쌍선형적으로 확장되는 벡터 공간이다. 텐서곱의 정의는 여러 방식으로 가능하며, 여기서는 아래의 두 가지를 다루도록 하자.
4.1. 텐서곱 연산에 의해 생성되는 벡터공간
$$ V, W $$의 기저 $$ \mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n \right\} $$, $$ \mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\} $$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $$ V\bigotimes W $$는 $$ v_i \bigotimes w_j $$들에 의해 생성되는 벡터 공간이다. 이 때 이 공간의 덧셈과 스칼라곱은 다음과 같이 연산자 $$ \bigotimes $$가 $$ V, W $$의 덧셈과 스칼라곱에 대해 선형적이도록 정의된다. 즉,
- 임의의 $$ c \in F $$와 $$ v, v' \in V $$, $$ w, w' \in W $$에 대해 다음이 성립한다.
- (스칼라곱) $$ c\left( v\bigotimes w \right) := \left(cv \right) \bigotimes w = v \bigotimes \left(cw \right) $$
- (덧셈 1 - 좌분배법칙) $$ v\bigotimes w + v' \bigotimes w := \left(v + v' \right) \bigotimes w $$
- (덧셈 2 - 우분배법칙) $$ v \bigotimes w + v \bigotimes w' := v \bigotimes \left( w + w'\right) $$
여담으로, 사실 텐서 공간 $$ \mathfrak{J}^{k}\left(V\right) $$는 이러한 방식으로 $$V^{*} $$의 텐서곱으로 정의된 것이다.
4.2. 곱공간의 몫공간
위의 정의는 각각이 동형이기는 해도 정의가 기저에 의존적이라는 문제가 있다. 이 문제를 해결하기 위해 텐서곱 $$ V\bigotimes W $$을 곱공간 $$ V \times W $$의 몫공간$$ \left. V \times W \right/ \sim $$으로 정의하기도 한다. 이 때 동치 관계 $$ \sim $$는 위의 정의에서 주어진 텐서곱의 세 가지 법칙에 따라 주어진다. 즉,
- 임의의 $$ c \in F $$와 $$ v, v' \in V $$, $$ w, w' \in W $$에 대해 다음이 성립한다.
- (스칼라곱) $$ c\left( v, w \right) \sim \left(cv, w \right) \sim \left(v, cw \right) $$
- (덧셈 1) $$ \left(v, w\right) + \left(v', w\right) \sim \left(v + v', w \right) $$
- (덧셈 2) $$ \left(v, w\right) + \left(v, w'\right) \sim \left(v, w + w'\right) $$
5. 두 가군 사이의 텐서곱
벡터공간을 체 위에서 정의된 가군 이라고 생각할 수 있으며, 가군을 벡터 공간의 확장으로 생각할 수 있다. 자연스럽게 일반적인 환 위서 정의된 가군에에서의 텐서곱 또한 생각할 수 있다.
이에 대한 좋은 접근이라고 생각되는 Rotman의 An Introduction to Homological Algebra의 section 2.2 내용을 소개한다. Module의 tensor product를 다음과 같은 universal property를 만족하는 abelian group으로 정의한다:
이러한 tensor product $$ A \bigotimes B$$는 abelian group으로서 유일하게 존재한다. 유일성은 두 tensor product에 대한 diagram을 그려서 서로 같다는 것을 보이면 되고, 존재성은 위의 벡터 공간의 텐서곱과 같이 직접 free module의 quotient module을 잡아서 보이면 된다.$$ R$$을 ring이라 하자. Right $$ R$$-module $$A$$와 left $$ R$$-module $$B$$에 대하여, biadditive map $$g: A \times B \rightarrow A\bigotimes_{R} B$$가 주어졌다고 하자.[1]
그러면 $$A \times B$$에서 임의의 abelian group $$G$$로 가는 biadditive map $$f$$에 대하여 $$ f = \tilde{f} \circ g$$를 만족하는 $$\mathbb{Z}$$-map $$ \tilde{f}: A\bigotimes_{R} B \rightarrow G $$가 유일하게 존재한다.
굳이 이렇게 정의하는 이유는 관련 개념들을 정의할 때 module 간 tensor product의 정의로부터 well-definedness와 존재성, 그리고 유일성을 한꺼번에 보일 수 있기 때문이다. 예를 들어서 tensor functor가 잘 정의됨을 보이려면 $$ f\bigotimes g$$가 $$\mathbb{Z}$$-map으로서 유일하게 존재함을 보여야 할 텐데, 이것을 (학부 대수학에서 하듯이) 직접 잡아서 보여주는 것은 힘들 것이다. 그러나 위의 universal property를 이용하면 셋이 한번에 증명이 된다.
이러한 텐서곱에서 첫 번째 모듈을 $$(S,R)$$-bimodule로 바꿔주면 scalar extension을 통해 그 tensor product를 $$S$$-module로 만들어줄 수 있다. 그러면 tensor functor는 module category 위의 functor가 되며, 위의 universal property 또한 다음과 같이 재서술될 수 있다:
$$ R$$이 commutative ring임에 따라 right $$ R$$-module과 left $$ R$$-module의 차이가 없이 모두 bimodule이 됨에 유의하라. 즉, 위에서의 $$A, B$$는 모두 $$(R,R)$$-bimodule이다. 물론 임의의 ring에 대해서 그 center 위의 module로 보는 것도 가능하다. 이렇게 bimodule을 도입하면 텐서곱의 교환법칙이나 결합법칙 등이 적절한 형태로 서술될 수 있고, 실제로 성립한다. 교환법칙의 경우 right $$ R$$-module이 ($$ R$$이 commutative하지 않더라도) $$ (R^{op}, R)$$-bimodule이고 반대도 마찬가지라는 사실을 이용한다.$$ R$$을 commutative ring이라 하자. $$ R$$-module $$A, B$$에 대하여, bilinear map $$g: A \times B \rightarrow A\bigotimes_{R} B$$가 주어졌다고 하자. 그러면 $$A \times B$$에서 임의의 $$ R$$-module $$M$$으로 가는 bilinear map $$f$$에 대하여 $$ f = \tilde{f} \circ g$$를 만족하는 linear map $$ \tilde{f}: A\bigotimes_{R} B \rightarrow G $$가 유일하게 존재한다.
한편 위의 universal property로부터 텐서곱을 이해하는 관점 중 하나를 얻을 수 있는데, 바로 'bilinear map의 정보들 중에서 겹치는 부분을 잘라내고 linear map에 대한 정보로 바꿔주는 것'이 tensor product라는 것이다. 다음 사실은 이에 대한 직관을 키워준다:
왜냐하면 $$ M$$이 이미 scalar multiplication으로서 linear map에 대한 정보를 갖고 있기 때문이다.$$ R$$을 ring, $$ M$$을 left $$ R$$-module이라고 하자. 그러면 $$ R\bigotimes M$$은 $$ M$$과 (natural하게) isomorphic하다.
마지막으로 Hom functor와 tensor functor는 다음과 같은 adjoint한 관계를 갖는다:
$$ R, S$$가 ring이고 $$ A$$가 right $$ R$$-module, $$ B$$가 $$(R,S)$$-bimodule, $$ C$$가 right $$S$$-module일 때, $$ \mathrm{Hom}_{S}(A\bigotimes_{R} B, C)$$와 $$\mathrm{Hom}_{R}(A, \mathrm{Hom}_{S}(B,C))$$은 naturally isomorphic하다.
$$ R, S$$가 ring이고 $$ A$$가 left $$ R$$-module, $$ B$$가 $$(S,R)$$-bimodule, $$ C$$가 left $$S$$-module일 때, $$ \mathrm{Hom}_{S}(B\bigotimes_{R} A, C)$$와 $$\mathrm{Hom}_{R}(A, \mathrm{Hom}_{S}(B,C))$$은 naturally isomorphic하다.