톰슨 램프
1. 개요
철학자 제임스 톰슨의 이름을 딴 역설의 하나로 제논의 역설의 아류작이다. 초부하(超負荷) 문제라고도 한다.
2. 상세
1+(1/2)+(1/4)+...라는 무한급수의 합을 계산해보면(고등학교 수학의 기억을 떠올려볼 것.) 2가 되고, 그 와중에 램프는 무한번 꺼졌다 켜졌다 해야될 것이다. 비슷한 문제로 매번 이전보다 2배의 속도로 원주율의 자릿수를 말하는 기계 pi machine이 있다. 이 역시 맨 처음 자릿수를 말하는데 걸린 시간의 2배만 지나면 이 기계는 원주율의 모든 자릿수를 말하게 될거다.톰슨의 램프는 1분 동안 켜져 있다가 1/2분 동안은 꺼지고, 다시 그 다음 1/4분 동안은 켜지고… 하는 식으로 깜박인다. 이 과정은 2분이 지나면 끝나는데, 과연 이 시간이 지났을 때 램프는 켜져 있을까? 꺼져 있을까?
'''"실제로 이런 램프는 불가능하잖아?"'''라는 반론이 있을 수 있겠지만 논리적으로는 아무 문제가 없기 때문에 골치가 아파지는 문제.
이 역설에 대한 답은 역설적이게도 '''"실제로 이런 램프는 불가능하다."'''라는 것. 만약 전기를 끊고 연결할 스위치가 있다면 이 스위치는 2분에 가까워지면 광속을 넘을것이고 이는 물리법칙상 불가능하다. 이외에 어떤 방식으로도 이를 현실세계에 구현할 수 없다.
뭔가 핵심을 벗어난 답안같지만 이 것은 '슈퍼태스크(supertask)'라고 해서 논리학적으로 생각해볼만한 문제다. 구현하는데 무한한 노력이 드는 거라면 그건 구현할 수 없는 것이란 뜻.
수학에서는 증명론에서 (사실 수학이 아니라 메타수학이지만) 유한 과정으로 모든 증명이 가능한가라는 질문과 조금 관련은 있다. NP 문제와도 약간 관련은 있다. 역시 큰 관련은 없다.
사실 톰슨 램프는 "가장 큰 자연수는 짝수인가 홀수인가?"와 논리적으로 똑같은 문제이다. 이게 말이 안된다는건 누구나 다 알지만 적절한 포장을 통해 그럴듯하게 만들어 놓은 것 뿐.[1][2][3]
[1] 정확하게 말하자면 가장 큰 자연수는 짝수이면서 동시에 홀수이다. 이게 말이 안된다고? 힌트는 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 걸 생각해보면 된다.[2] 자연수의 집합의 부분집합인 "홀수인 자연수의 집합"(이하 P)과 "짝수인 자연수의 집합"(이하 Q), "가장 큰 자연수의 집합"(이하 R)을 생각해보자. R의 조건을 만족할 수 있는 자연수는 존재하지 않으므로 R은 공집합이다. 따라서, R은 P의 부분집합이면서 Q의 부분집합이다. 다시 말해 가장 큰 자연수(의 집합)는 짝수인 자연수이면서도 홀수인 자연수이다.[3] 더 자세한 내용은 공진리에 대해 알아보면 좋다. 진리표를 보면 p->q라는 조건명제는 p가 거짓이면 무조건 참이 되므로 전체 명제는 참이다.