논리학
1. 개요
論理學[1] / Logics
논리학은 '''"무엇이 올바른 추론인가?"'''라는 문제를 해결하기 위해 출발한 학문이다. 연역추론과 귀납추론이 논리학에 속하는 대표적인 주제이며, 추론을 구성하는 명제, 그리고 이를 다시금 구성하는 개념 등 역시 논리학의 전통적인 연구 주제다. 현대 한국어에서 등장하는 "얘기가 논리적이네!" 같은 말도 이런 본래의 정의를 잘 반영한다.'''먼저 본 연구가 무엇에 대한 것이며 무엇을 위한 것임을 밝히자면, 이는 논증[2]
에 대한 것이며 논증에 관한 학문을 위한 것이다.'''--
아리스토텔레스, 『분석론 전서』
고대 그리스에서 아리스토텔레스가 처음으로 고안한 학문이며, 19세기 유럽 조지 부울, 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀 등의 업적을 통해 수학과 매우 밀접한 관계를 맺게 되었다. 이는 20세기에 '''수리 논리학'''이라는 형태로 결실을 맺었다.
논리학, 특히 형식 논리학은 철학, 수학, 언어학, 컴퓨터과학 등에서 걸쳐 두루두루 연구되고, 따라서 대학 과목 역시 여러 대학교의 철학과, 수학과, 컴퓨터공학과에서 두루두루 개설된다. 수학의 경우 논리학은 '수학 기초론'으로서 연구되는 편이고, 컴퓨터과학의 경우에는 논리회로부터 시작해서 프로그래밍 언어에 이르기까지 다양한 분야에 걸쳐 응용된다. 논리학을 전통적으로 연구해온 철학에서 역시 형이상학, 수리철학, 언어철학 등 각 분야에 접목된다.
2. 논리학의 영역
2.1. 비형식 논리
일상적으로 우리가 말하고 듣고 쓰는 말이 타당하고 합당한 논증으로서 잘 성립하는지 따지는 것. 즉 흔히들 "난 논리적인 사람이야!"라고 말할 때, 논술에서 "글을 논리적 흐름에 맞춰서 써라!"고 말할 때 "논리적"이라는 것은 비형식 논리를 기준으로 따지는 경우가 대부분이다.
가령, <순환논증 오류>, <논점일탈의 오류>, <인신공격의 오류>, <피장파장의 오류>, <허수아비 공격의 오류> 등이 비형식 논리학에서 다루는 것들이다.
이처럼 비형식 논리는 구체적인 말의 내용을 따지는 것이므로 수학이나 기호 등을 동원하는 형식적인 방법론을 잘 취하지 않는다. 그 때문에 비형식 논리는 좁은 의미의 "논리학"에는 포함되지 않는다고 여겨지는 경우도 잦다. 하지만 시험[3]에서 필요한 경우도 있거니와, 다수의 사람들이 실제 생활에서 써먹기에는 형식 논리학보다 훨씬 더 중요한 분야. 결정적으로 나무위키에서도 중요하다! 나무위키에서 토론을 하기에 앞서서 나무위키:토론 도움말#s-7에 실린 '논리적 오류' 항목을 참조하자.
흔히 대학의 교양 과목으로 개설되는 <비판적 사고>나 <논리와 사고> 수업에서 주로 비형식 논리를 중점적으로 배울 수 있다. '''논리적 오류''' 문서에 비형식 논리에 관한 자세한 내용들이 수록되어 있다.
2.2. 형식 논리학
논증을 구성하는 명제/진술 등의 내용에 관심을 두는 것이 아니라 그 형식에 초점을 두어 연구하는 학문. 추상적인 형식에 초점을 기울이니만큼 현대에는 당연히 수학적 기법과 기호 등을 도구로 삼아 이루어진다. 실질적으로 학계에서 "논리학"이라고 할 때에는 형식 논리학을 가리킨다고 볼 수 있다.
형식 논리학에서 쓰는 논리식은 일상에서 쓰는 말을 추상화시킨 것이지만, 일상 언어 표현과 형식 논리 정식 간에는 의미상의 괴리가 있을 수 있다. 예를 들어 표준 논리의 논리식인 실질 조건문 $$p \to q$$ 내지는 $$p~\text{Ɔ}~q$$는[4] 자칫 한국어 문장 "만약 ''p''이면 ''q''이다" 혹은 영어 문장 "If P, then Q"와 의미가 똑같은 것으로 오해하기 쉽지만 그 의미상 다를 수 있다. 보다 자세한 사항은 조건문, 표준논리 문서를 참조하라.
2.2.1. 표준 논리
Standard logic. 동일률($$\phi \to \phi$$), 배중률($$\phi \vee \neg \phi$$), 무모순율($$ \neg (\phi \wedge \neg \phi)$$) 등을 비롯한 전통적인 논리적 법칙들 혹은 공리들을 받아 들이는, 말 그대로 표준적인 논리체계. '''"고전 논리(Classical Logic)"'''이라고도 불린다. 아리스토텔레스의 삼단논법 및 고틀로프 프레게의 수리 논리학이 모두 표준 논리에 해당한다.
철학과의 전공과목이나 수학과의 수리논리에서 명제논리와 1차 술어 논리를 시작으로 기본적으로 배우게 되는 논리 체계. 이 과정에서 일상언어(혹은 수학의 언어)의 형식언어로의 번역, 형식 논리학의 추론규칙, 의미이론 등을 배우게 된다.
보다 구체적인 내용은 '''수리 논리학''' 문서에서 다룬다.
2.2.2. 비표준 논리
Non-standard logic. 표준 논리에 (i) 새로운 공리/추론규칙을 추가하거나 (ii) 표준 논리의 공리/추론규칙 대신 다른 공리/규칙을 채택한 언어 및 논리체계를 통틀어 이르는 말. 즉 비표준 논리에서 채택되는 형식언어들은 표준적인 형식언어들과는 다른 의미체계를 갖는다. 그중 유명한 예시들을 들자면 다음과 같다:
- 다치 논리(many-valued logic): 명제/문장이 참(T)과 거짓(F) 말고도 다른 진리치를 가질 수 있는 논리 체계. 즉 이가원리(principle of bivalence)[6]를 받아 들이지 않는 체계다. 대표적으로 3가지 진리치를 인정하는 3가 논리(혹은 3진 논리)가 있다.
- 직관 논리(intuitionistic logic): 대략 '명제 $$\phi$$는 참이다'를 '$$\phi$$는 증명가능하다'로 대체하는 논리 체계.[7] 직관주의 수학철학의 영향을 받아 이론화되었으며, 대표적인 특성으로 표준 논리의 법칙인 배중률($$\phi \vee \neg \phi)$$을 거부하는 점이 있다.[8] 오해하기 쉽지만, 다치 논리의 일종인 것은 아니다.[9]
- 초일관 논리(paraconsistent logic): 고전 논리나 직관주의 논리 등에서는 폭발 원리(ex falso quodlibet, $$A \wedge \neg A \models B$$)를 받아들인다. 요컨대 모순을 받아들인다면 그 어떤 임의의 명제도 참이 된다는 것이다. 초일관주의 논리에서는 이런 폭발 원리를 거부한다. 이는 곧 참인 모순이 있다는 입장인 양진주의(dialetheism)를 옹호하는 기반이 된다.
- 양상논리(modal logic): "필연적이다", "가능하다" 같은 표현을 다루기 위해 표준 논리학에 양상연산자(modal operator)를 도입하여 만들어진 논리 체계. 시제를 다루기 위한 '시제 논리', 의무를 도입하기 위한 '당위 논리' 등 역시 양상 논리에 포함된다. 자세한 내용은 양상논리 참조.
2.2.3. 메타 논리
Metalogic. 메타논리학이란 논리체계에 대해서 성립하는 속성들을 탐구하는 논리학의 중요한 영역이다. 쿠르트 괴델의 불완전성 정리 이후 본격적으로 발전하기 시작했다. 잘 알려진 괴델의 불완전성 증명 역시 이들 연구에 빚짐과 동시에 큰 영향을 끼쳤다. 뿐만 아니라, 메타논리의 성과는 컴퓨터과학의 발전에도 큰 영향을 주었다. 대표적인 메타논리적 속성으로 완전성(completeness), 건전성(soundness), 조밀성(compactness) 등의 속성이 있다. 메타논리학의 연구영역으로 크게 4가지 영역이 있다.
- 계산가능성 이론(회귀함수 이론)
어떤 것이 기계적으로 계산 가능한지 혹은 결정가능한지에 대해서 탐구하는 분야. 잘 알려진 튜링 머신에 관련된 논의가 이루어지는 영역이다. 어떤 체계에서 주어진 문제가 튜링 머신을 통해서 해결가능한지의 문제나 어떤 해결방법이 튜링 머신의 해결방법과 동등한지 등의 문제들을 다룬다. 결정가능성(decidability)역시 큰 주제중 하나다.(결정가능성이란 어떤 체계에서 주어진 문장이 그 체계의 정리인지 아닌지를 결정하는 기계적 절차가 존재하는가에 관한 문제)
- 모형 이론
어떤 체계의 언어표현의 의미에 대해서 다루는 분야다. 주로 1차언어의 표현의 의미와 그 구조에 대해서 탐구하는 분야이다. 주로 귀결개념과 관련된 문제들을 다룬다.
- 증명 이론
모형이론이 언어표현의 의미에 대해서 다룬다면 증명이론은 언어표현 자체에 대해서 다루는 구문론적 영역이다. 주로 증명의 구조에 대한 탐구가 이루어진다.
넓은 의미에서 논리학에 포함되기도 한다. 문서 참조.
3. 역사
3.1. 서양
고대 그리스의 논리적 사유는 엘레아 학파의 제논(1번 항목) 및 프로타고라스, 고르기아스 등 소피스트 사상가들에게서 그 원류를 찾을 수 있으나, 그것이 일정한 학문으로 정립된 것은 '''아리스토텔레스'''에 이르러서다. 어떤 연구자들은 아리스토텔레스는 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하나, 당장 밑에 참고도서로서 제시되어 있는 닐 부부의 논리학의 역사조차 플라톤에게 한 장 전체를 할애하고 있다. 즉 아리스토텔레스가 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하는 것에 대해 어떤 연구자들이 명확히 반대하고 있다는 것은 확실히 할 수 있다. 또한 논리학의 역사에서 말하길 고전 논리 전체를 아리스토텔레스가 완성했다고 종전에는 생각되었으나, 적극적인 논리학사 연구를 통해 열심히 살펴보니 아리스토텔레스 이후의 기여도 상당히 많이 있다고 한다. 그래도 이런 연구들이 증명하는 것은 생각보다 아리스토텔레스의 공헌도가 조금 작았다는 거지, 아리스토텔레스가 체계 자체를 세우다시피 한 것은 사실이며 《명제론》, 《범주론》 등 함께 뭉쳐져 『오르가논』이라고 불리는 아리스토텔레스의 저작들에서 삼단논법을 비롯한 고전적인 연역논리의 대부분이 마련되었다. 아리스토텔레스의 논리학은 이후 스토아 학파 등에 의해 계승되었으며, 명제논리의 많은 부분이 스토아 학파 등 고대 후기의 논리학자들에 의해 발견되었다.
보에티우스 같은 철학자를 통해 이어진 논리학은 중세 유럽의 스콜라 철학에서 매우 중시되었고, 스코투스 등 유명한 스콜라 철학자 중 많은 이들은 논리학에서도 많은 업적을 남겼다. 고전적인 연역논증이 중세에 확립되었다고 볼 수 있다. "귀결(consequence)" 개념이 확립된 것이 그 대표적인 예시 중 하나이다.
르네상스 이후 아리스토텔레스주의가 지성들 사이에서 의심을 받게 됨에 되었고, 곧 아리스토텔레스의 핵심적 유산인 논리학 또한 근대에 접어들면서 어느 정도 침체에 접어들었다. 다만 유의할만한 점으로는 그 반작용으로 베이컨 등에 의한 귀납논리의 중요성이 제시된 점을 들을 수 있다. 그리고 이러한 귀납논리의 전통은 밀까지 이어진다. 예외적으로 라이프니츠는 수학에서 수 대신 대수(代數)를 사용하는 것처럼 논리학 역시 자연언어 대신 기호를 사용할 것을 주장하면서, 논리적 보편언어 및 논리적 연산법의 이념, 즉 기호논리학에 해당하는 발상을 구체적으로 제시했다는 점에서 특기할 만하다.
이런 침체가 극적으로 해소되기 시작한 것은 드모르간 및 불 그리고 퍼스 등이 (기호)논리학을 본격적으로 발전시키면서부터였다. 이러한 추세는 프레게 및 페아노, 데데킨트 등이 수학을 논리학으로 환원시키고자 하는 '''논리주의(logicism)'''[10]를 발전시키면서 더욱 가속화되었다. 특히 프레게는 술어 논리 체계를 구체적으로 고안함으로써 아리스토텔레스 이래 내려온 논리학을 근본적으로 탈바꿈해놓았다. 비록 프레게 자신이 <산술의 기초(Grundgesetze der Arithmetik)>에서 제시했던 기획은 러셀의 역설에 의해 좌초되었지만, 논리주의는 오히려 러셀과 화이트헤드에 <수학 원리(Principia Mathematica)>에 의해 계승되었다. 이에 반발한 브라우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의가 등장하는 등 수학 기초론 논의가 활활 타오름에 따라 논리학 또한 급격한 발전을 이루기 시작했다. 힐베르트의 23가지 문제 등은 20세기 초 논리학과 수학 기초론이 얼마나 각광받았는지 보여주는 좋은 증거다.
이런 논리학의 발전 가운데 가장 극적인 사건은 괴델이 불완전성 정리를 통해 산술 체계를 포함하는 논리체계가 무모순함과 동시에 완전할 수 없다는 것을 증명한 것이었다. 이는 논리주의와 형식주의를 끝내 좌초시켰으며, 동시에 논리학이 모형 이론, 증명 이론, 집합론 및 철학적 논리학 등 여러 하위 분야로 분화되어 현대적으로 발전하게끔 하는 계기를 제공하였다.
3.1.1. 논리학사 참고 문헌
- 윌리엄 닐, 마사 닐, 『논리학의 역사』, 한길사
- 20세기 전반까지 논리학의 역사를 다루는 책.
- Catarina Dutilh Novaes, "What is Logic?" (영문)
3.2. 동양
동양에서는 고대 중국의 제자백가 가운데 혜시, 등석, 공손룡 등 명가(名家) 사상가들 및 묵가(墨家)에서 논리학적 탐구가 발견된다. 명가의 중심적 철학으로는 '명실론'과 '궤변술'을 들 수 있는데, 명실론은 '명'과 '실', 즉 언어가 실재를 가리킬 때의 모호성을 지적하며 이를 명확히 구분하고자 한 이론이었다. 궤변술은 역설(궤변)을 탐구한 것으로, 공손룡의 '백마비마'(白馬非馬)와 '견백동이'(堅白同異) 역설이 유명하다. 이후 묵가의 일부 학파가 이러한 사상을 계승하여 형이상학적 탐구를 지속하였다.
궤변술을 보면, 백마비마설은 백마라는 말은 말이라는 개념에 흰색이라는 개념이 더해진 것이므로 "백마는 말이다"라는 명제는 성립할 수 없다는 주장인데, 이는 현대적으로 해석하자면 자연언어인 중국어에서[11] "A는 B이다"라는 말이 "A=B"라는 것과 "A⊂B"라는 개념 모두를 가리킬 수 있다는 것을 간과했을 때 어떤 오류가 발생할 수 있는지를 말해주는 것이라 볼 수 있다. 또한 돌의 단단하다는 성질과 하얗다는 성질은 동시에 인식되는 것이 아니라 이 두 특성은 동시에 존재할 수 없다고 주장한 '견백동이'설도 철학적인 의미가 크다. 또한 혜시의 "날아가고 있는 화살은 움직이는 것도, 멈춰있는 것도 아니다"라는 말이나 "한 척의 막대를 두고 이를 날마다 그 절반씩 잘라내면 무수한 시대가 지나도 다하지 않는다"는 구절 등 제논의 역설과 빼다박은 역설도 등장한다!
그러나 진시황의 중국 통일 이후 탄압을 받고 사라져갔고, 이후 중국 철학에선 논리 같은 추상적 개념보다 통치체제나 삶의 방향 등을 다루는 실질적이고 구체적인 철학만이 발전한다. 이는 고대 중국의 찬란한 철학이 이후 체계적 과학으로 이어지지 못한 이유로 지적된다.
인도에서는 웃드요따까라 등 니야야-바이셰쉬카 사상가들이 연역법과 유비 추리를 결합시킨 논리학을 정립했고, 디그나가, 샹까라스와민, 다르마끼르띠 등 불교 유식(唯識) 사상가들 역시 논리학에 관심을 두고 깊이 연구하기도 했다.
4. 교과서
대학에서 논리학 수업의 교재로 흔히 사용되는 책은 다음과 같다.
- 이병덕, 『코어 논리학: 논리적 추론과 증명 테크닉』
- 최원배, 『논리적 사고의 기초』
- 김희정, 박은진, 『비판적 사고를 위한 논리』
- 양은석, 『논리와 구조』
- 어빙 코피, 『논리학입문』
- 벤슨 메이츠, 『기호논리학』
영어로 된 논리학 교과서에 관해서는 전 케임브리지 대학교 교수인 피터 스미스가 정기적으로 업데이트하는 "Teach Yourself Logic" 문서를 참조하면 좋다. 독학용으로 참조하기에 좋은 다양한 교과서들에 대한 평가가 올라와 있다.
5. 논리학 관련 정보
논리학 개념들 및 논리학자 등에 관해서는 '''논리학 관련 정보''' 참조. 아래는 그외 관련된 문서들.
6. 관련 문서
[1] 현대 중국어에서는 음역을 한 '逻辑(luójí; 루오지)'라는 명칭을 더 많이 쓴다.[2] ἀπόδειξις: "증명", "도출", "보임", "연역" 등으로도 번역가능하다.[3] PSAT, LEET, 대기업인적성시험 등[4] 본래는 ⊃로 써야 하지만 horseshoe를 부분 집합 기호 ⊃와 헷갈릴 수 있으므로 혼동 방지를 위하여 Ɔ로 쓰이기도 한다. 실제로도 포함 관계를 의미할 때 Ɔ는 집합에서의 그 기호 ⊃가 아니라 '''⊂이기 때문에''' 매우 조심해야 한다.[5] 안드레이 콜모고로프가 공리체계로 제시한 현대 확률론은 고전 논리 및 고전 집합론을 기준으로 구축된 수학 이론이므로 엄밀히 말해선 논리학과는 전혀 다르다.[6] 배중률(law of excluded middle)과 혼동할 수 있는데 이가원리는 의미론적 개념으로 한 명제의 진리치는 참과 거짓 둘뿐이라는 얘기고 배중률은 구문론적 개념으로 $$\phi \vee \neg \phi$$ 형태의 명제들을 공리(axiom)로 채택한다는 뜻이며 명제의 진리치와는 관련이 없는 개념이다.[7] 직관주의에서 '거짓' 개념의 본성을 이해하는 것은 그 자체로 논쟁거리이나, 형식적으로 간편한 방식은 '$$\phi$$는 거짓이다'를 '$$\phi$$의 증명이 가능하면 모순($$\bot$$)도 증명이 가능함'으로 대체하는 것이다.[8] 따라서 간접적 귀류법과 이중부정규칙도 거부한다. 사실 간접적 귀류법과 이중부정규칙은 동일한 규칙으로 볼 수 있다. 수리 논리학 문서 참조.[9] 엄밀히 말하자면 쿠르트 괴델이 직관주의 논리는 유한한 개수의 진리치를 가질 수 없음을 밝혀냈다.[10] 19세기 이후 기존 수학에서 중심적인 역할을 가졌던 수나 도형 같은 직관적 개념들 대신 순수 공리체계가 중요해짐에 따라 촉발되었으며, 자연수를 집합론적으로 정의한 데데킨트-페아노의 업적 또한 논리주의적 기획 중 하나에 해당한다고 볼 수 있다.[11] 한국어에서도 그렇다.