퍼스의 항진명제
1. 개요
- $$((p \rightarrow q) \rightarrow p) \rightarrow p$$
2. 증명
이게 항진이라는 것을, 다음과 같이 증명할 수 있다.
[image]2.1. 전제는 없다(1번 라인)
항진명제를 증명함에 있어서 중요한 것은, 이 명제가 어떤 경우에서라도 참으로 도출되어야 하는 것이다. 즉, 어떤 전제를 작성하거나 작성하지 않거나에 상관없이, 항진명제라고 하는 것에 대해서는 그 증명이 가능해야 한다는 것이다. 제시한 증명에서는 1번 라인[2]의 hyp[3]로 지정되어 있는 부분이 비어있다. 즉, 없다. 그런 상태에서 퍼스의 항진명제라 하는 조건명제를 증명하는 것이다.
2.2. 조건문의 조건을 작성한다(2번 라인)
퍼스의 항진명제를 구성하는 것은, 결론적으로 $$\rightarrow$$로 연결되어 있는 부분이다. 이를 사이에 두고, 화살표의 왼쪽에는 $$(p \rightarrow q)\rightarrow p$$가, 오른쪽에는 $$p$$가 나타나고 있다. 즉, 이를 증명하기 위해서 조건인 것을 2번에서 가정[4]을 노드 2에 세우고, 그 안에서 결론으로 $$p$$를 얻으려는 과정을 시작한다.
2.3. 귀류법을 사용해보자(3-13번 라인)
3번 라인에서는 다시 $$p$$가 거짓이라고 가정해 본다. 그리고 12번에서 결국 모순이 되는 것을 보임으로써, 결국 $$p$$가 거짓이 아니어야 함을 13번 라인에서 제시한다. 그 과정에서 다음과 같은 시도들을 하게 된다.
2.3.1. 대우명제를 사용하자(4-7번 라인)
2번 라인의 조건명제에서 결론인 부분을 3번에서 부정하였다. 즉, 조건인 부분이 부정되어 나오는 것이 당연하므로, 7번에서는 2번 명제의 조건 부분이 부정되어 있다.
2.3.2. $$p$$는 아무래도 좋게 되었다(8-11번 라인)
8번 라인에서 $$p$$가 참이라고 다시 가정해 본다. 그러면 조건인 $$p$$가 어차피 거짓인 명제이므로, 이를 조건으로 갖는 조건명제는 어떤 것이든지 참이다. 즉, 11번 라인에서 $$p \rightarrow q$$가 참이라고 해도 할 말 없다는 것.
2.3.3. 그러나 그러면 모순(12번 라인)
11번 라인에서 $$p \rightarrow q$$가 참이라고 내놓긴 했지만, 이건 7번에서 이미 거짓이라고 나와 있는 부분이다. 즉, 모순일 수 밖에 없으므로, 12번 라인에 모순이라고 표시해 둔다.
2.4. 그렇기에 $$p$$(13번 라인)
3번 라인의 가정에서부터 12번 라인의 모순이 도출되었으므로, 3번 라인의 가정은 거짓이어야 한다. 이는 $$p$$의 거짓이 거짓이라고 하는 것이므로, 13번 라인에서는 $$p$$를 참이라고 작성한다.
2.5. 조건명제의 증명이 끝났다(14번 라인)
2번 라인의 조건, $$(p \rightarrow q)\rightarrow p$$으로부터 13번 라인의 결론, $$p$$로 도착하였다. 즉, 2번 라인의 조건은 13번 라인의 결론을 함의하고 있다. 이를 하나의 조건명제로 표현하여, 14번 라인에 다음과 같이 작성한다.
- $$((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p $$
3. 증명 완료
여백은 많지만 내용이 부족하므로 증명을 마친다.
4. 진리표를 이용한 증명
진리표를 이용하면 $$p\rightarrow q$$는 $$\neg p\vee q$$와 동등하다. 따라서 $$((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p $$를 $$\neg \left(\neg \left(\neg p\vee q\right)\vee p\right)\vee p$$로 변형하면 드 모르간의 법칙에 따라 $$\left(\left(\neg p\vee q\right)\wedge \neg p\right)\vee p$$가 되고, 이는 다시 $$\neg p\vee p$$가 되어 항진임을 알 수 있다.
5. 관련 문서
[1] 퍼스 사후 하버드 대학에서 출판한 그의 저작을 모은 퍼스의 전집(Collected Papers of Charles Sanders Peirce)의 Volume 3에 퍼스가 직접 증명한 내용이 실려있다.[2] 세로줄의 단계를 노드, 가로줄의 순서를 라인으로 부른다.[3] 내용의 우측을 확인하자.[4] 우측의 hyp 표시로부터 확인한다.