푸아송 괄호
Poisson Bracket
푸아송 괄호는 1809년 프랑스 수학자 시메옹 드니 푸아송이 제안한 이항 연산이다. 해밀턴 역학의 운동방정식을 표현할 때 유용하다.
푸아송 괄호는 위치($$q_i$$)와 운동량($$p_i$$)으로 정해지는 정규 좌표계 $$(q_i, p_i)$$ 와 시간($$t$$)위에서의 함수 $$f(q_i, p_i, t)$$와 $$g(q_i, p_i, t)$$에 대하여 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \left \{ f, g \right \} =\sum_{i} \left ( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right )$$
이를 이용하면 다음의 관계식이 성립한다.
$$\displaystyle \left \{ p_i, p_j\right \}=0,\, \left \{ q_i, q_j\right \}=0$$
$$\displaystyle \left \{ q_i, p_j\right \}=\delta_{ij}$$
여기서 $$ \delta_{ij}$$는 크로네커 델타로, $$i=j$$일 때 1, $$i \neq j$$일 때 0으로 정의된다.
가끔 $$\left \{ \ \ \right\} $$ 로 표현되는 반교환자가 같이 등장하는 경우 혼동을 피하기 위해 $$ \left \{ \ \ \right\}_{\text{PB}} $$ 로 쓰기도 한다. (또는 반교환자를 $$\left[ \ \ \right]_- $$ 로 표현할 수도 있다.)
어떤 함수 $$f(q_i, p_i, t)$$, $$g(q_i, p_i, t)$$, $$h(q_i, p_i, t)$$에 대해 다음이 성립한다.
$$ \{f,g\} = -\{g,f\}$$ - 반교환 법칙
$$ \{f+g, h\} = \{f,h\} + \{g,h\}$$ - 덧셈에 대한 분배 법칙
$$ \{fg, h\} = \{f,h\}g+ \{g,h\}f$$ - 곱셈 법칙
$$ \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$ - 자코비 법칙
교환자 문서를 읽어본다면 위의 정의와 성질이 매우 유사한 것을 알 수 있다. 실제로 고전 역학에서 출발하여 양자 역학을 전개하는 다양한 방법 중 푸아송 괄호를 교환자로 치환하는 방법도 있다. 다시 말해, 해밀턴 역학에서
$$ \displaystyle \{q_i,p_j\} = \delta _{ij}$$
이므로,
$$ \displaystyle [\hat{q}_i,\hat{p}_j] =? \ \delta_{ij}$$
으로 고려하는 것이다.($$\hat{q}_i$$ 는 $$i$$ 방향의 위치를 $$\hat{p}_j$$ 는 $$j$$ 방향의 운동량을 나타내는 연산자이다. 그러나 식을 이대로 쓰면 푸아송 괄호와 교환자간의 차이 때문에 근본적인 문제가 생긴다.
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 복소수 전치 행렬(에르미트 켤레) 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 $$1 \times 1$$ 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전 역학에서의 함수 $$p$$와 $$q$$는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자 역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬[1]로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬[2]이다.
$$ \displaystyle [A, B]^\dagger = (AB-BA)^\dagger = (AB)^\dagger - (BA)^\dagger = B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger = BA-AB = -[A,B]$$
따라서 푸아송 괄호를 이용한 연산에서 교환자를 이용한 연산으로 옮겨가기 위해서는, 교환자 연산의 결과에 허수 $$i$$를 곱해줘야만 한다.
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 $$p$$와 $$q$$에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 J$$ \cdot $$s 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 $$ \{q_i,p_j\}$$ 의 단위는 없고(1이고), 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 J$$ \cdot $$s 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 $$\hbar$$, 즉 플랑크 상수이다.[3]
이렇게 우리는 양자 역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다! 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 $$ a$$, $$b$$ 와 이들에 각각 대응하는 연산자 $$\hat{a}$$ , $$\hat{b}$$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$ \displaystyle \{a, b\} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{a}, \hat{b}] $$
푸아송 괄호는 해밀턴 역학의 다양한 식들을 아름답게 나타내기에 매우 적합하다. 몇 가지 예시를 보자.
$$ \displaystyle \dot{q}_i = {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} \ \ \ \ \ \ -\dot{p}_i = {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} $$
뭔가 대칭적이긴 한데, 마이너스 부호가 자꾸 걸린다. 푸아송 괄호를 사용한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle {dq_i \over dt} = \left\{ q_i, \mathcal{H} \right\} $$
$$\displaystyle {dp_i \over dt} = \left\{ p_i, \mathcal{H} \right\} $$
이로서 위치 함수와 운동량 함수가 완전히 대칭적 형태를 띔을 알 수 있다.
$$ \displaystyle {df \over dt} = \left\{ f, \mathcal{H} \right\} + {\partial f \over \partial t} $$
함수 $$f$$가 시간에 무관한 양이라면 $$\dfrac{df}{dt} = 0$$ 이고 $$\dfrac{\partial f}{ \partial t} = 0$$ 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle \left\{ f, \mathcal{H} \right\} =0 $$
즉, 어떤 물리량을 해밀토니언과 푸아송 괄호를 취했을 때 그 값이 0이라면, 그 값은 보존된다. 이렇게 보존되는 대표적인 양으로는 운동량과 에너지(해밀토니언)가 있다.
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 '''무지막지하게 중요하다'''! 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.
1. 개요
푸아송 괄호는 1809년 프랑스 수학자 시메옹 드니 푸아송이 제안한 이항 연산이다. 해밀턴 역학의 운동방정식을 표현할 때 유용하다.
2. 정의
푸아송 괄호는 위치($$q_i$$)와 운동량($$p_i$$)으로 정해지는 정규 좌표계 $$(q_i, p_i)$$ 와 시간($$t$$)위에서의 함수 $$f(q_i, p_i, t)$$와 $$g(q_i, p_i, t)$$에 대하여 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \left \{ f, g \right \} =\sum_{i} \left ( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right )$$
이를 이용하면 다음의 관계식이 성립한다.
$$\displaystyle \left \{ p_i, p_j\right \}=0,\, \left \{ q_i, q_j\right \}=0$$
$$\displaystyle \left \{ q_i, p_j\right \}=\delta_{ij}$$
여기서 $$ \delta_{ij}$$는 크로네커 델타로, $$i=j$$일 때 1, $$i \neq j$$일 때 0으로 정의된다.
가끔 $$\left \{ \ \ \right\} $$ 로 표현되는 반교환자가 같이 등장하는 경우 혼동을 피하기 위해 $$ \left \{ \ \ \right\}_{\text{PB}} $$ 로 쓰기도 한다. (또는 반교환자를 $$\left[ \ \ \right]_- $$ 로 표현할 수도 있다.)
3. 성질
어떤 함수 $$f(q_i, p_i, t)$$, $$g(q_i, p_i, t)$$, $$h(q_i, p_i, t)$$에 대해 다음이 성립한다.
$$ \{f,g\} = -\{g,f\}$$ - 반교환 법칙
$$ \{f+g, h\} = \{f,h\} + \{g,h\}$$ - 덧셈에 대한 분배 법칙
$$ \{fg, h\} = \{f,h\}g+ \{g,h\}f$$ - 곱셈 법칙
$$ \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$ - 자코비 법칙
4. 교환자와의 관계
교환자 문서를 읽어본다면 위의 정의와 성질이 매우 유사한 것을 알 수 있다. 실제로 고전 역학에서 출발하여 양자 역학을 전개하는 다양한 방법 중 푸아송 괄호를 교환자로 치환하는 방법도 있다. 다시 말해, 해밀턴 역학에서
$$ \displaystyle \{q_i,p_j\} = \delta _{ij}$$
이므로,
$$ \displaystyle [\hat{q}_i,\hat{p}_j] =? \ \delta_{ij}$$
으로 고려하는 것이다.($$\hat{q}_i$$ 는 $$i$$ 방향의 위치를 $$\hat{p}_j$$ 는 $$j$$ 방향의 운동량을 나타내는 연산자이다. 그러나 식을 이대로 쓰면 푸아송 괄호와 교환자간의 차이 때문에 근본적인 문제가 생긴다.
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 복소수 전치 행렬(에르미트 켤레) 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 $$1 \times 1$$ 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전 역학에서의 함수 $$p$$와 $$q$$는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자 역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬[1]로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬[2]이다.
$$ \displaystyle [A, B]^\dagger = (AB-BA)^\dagger = (AB)^\dagger - (BA)^\dagger = B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger = BA-AB = -[A,B]$$
따라서 푸아송 괄호를 이용한 연산에서 교환자를 이용한 연산으로 옮겨가기 위해서는, 교환자 연산의 결과에 허수 $$i$$를 곱해줘야만 한다.
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 $$p$$와 $$q$$에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 J$$ \cdot $$s 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 $$ \{q_i,p_j\}$$ 의 단위는 없고(1이고), 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 J$$ \cdot $$s 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 $$\hbar$$, 즉 플랑크 상수이다.[3]
이렇게 우리는 양자 역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다! 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 $$ a$$, $$b$$ 와 이들에 각각 대응하는 연산자 $$\hat{a}$$ , $$\hat{b}$$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$ \displaystyle \{a, b\} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{a}, \hat{b}] $$
5. 아름다움(...)
푸아송 괄호는 해밀턴 역학의 다양한 식들을 아름답게 나타내기에 매우 적합하다. 몇 가지 예시를 보자.
- 운동방정식
$$ \displaystyle \dot{q}_i = {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} \ \ \ \ \ \ -\dot{p}_i = {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} $$
뭔가 대칭적이긴 한데, 마이너스 부호가 자꾸 걸린다. 푸아송 괄호를 사용한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle {dq_i \over dt} = \left\{ q_i, \mathcal{H} \right\} $$
$$\displaystyle {dp_i \over dt} = \left\{ p_i, \mathcal{H} \right\} $$
이로서 위치 함수와 운동량 함수가 완전히 대칭적 형태를 띔을 알 수 있다.
- 보존량
$$ \displaystyle {df \over dt} = \left\{ f, \mathcal{H} \right\} + {\partial f \over \partial t} $$
함수 $$f$$가 시간에 무관한 양이라면 $$\dfrac{df}{dt} = 0$$ 이고 $$\dfrac{\partial f}{ \partial t} = 0$$ 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle \left\{ f, \mathcal{H} \right\} =0 $$
즉, 어떤 물리량을 해밀토니언과 푸아송 괄호를 취했을 때 그 값이 0이라면, 그 값은 보존된다. 이렇게 보존되는 대표적인 양으로는 운동량과 에너지(해밀토니언)가 있다.
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 '''무지막지하게 중요하다'''! 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.