2.2. 예제 2
[1] 라그랑주 역학 문서에도 나와있는 문제로, 거기에 가보면 라그랑주 역학과 뉴턴 역학을 사용한 풀이들을 볼 수 있다.
1. 개요
'''해밀턴 역학'''(Hamiltonian mechanics)은 고전역학을 기술하는 하나의 체계이다. 역사적으로 보면 18세기에
라그랑주 역학이 먼저 개발되었고, 그것으로부터 출발하여 윌리엄 로원 해밀턴이 19세기에 해밀턴 역학을 도입하였다. 고전역학의 영역 내에서만 본다면 해밀턴 역학은 라그랑주 역학과 동일한 결과를 주며, 그 전개방식에도 유사성이 많아 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 쉽게 오갈 수도 있다. 이는 두 역학 모두가 일반화 좌표계와 각종 '일반화된' 물리량의 개념을 사용하고 있기 때문이며 해밀턴의 원리라고도 불리는 최소 작용의 원리를 기초로 하고 있기 때문이다. 아래에서도 해밀토니언과 라그랑지언이 서로가 르장드르 변환으로 연결된 것을 확인할 수 있다.
뉴턴 역학을 사용하든, 라그랑주 역학을 사용하든, 해밀턴 역학을 사용하든 전혀 다른 결과가 나오지 않는다면 대체 왜 이런 것을 열심히 연구하는지 의문을 품을 수도 있다. 그러나, 고전역학의 틀을 벗어나면 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 그 진정한 힘을 발휘하는데 본문에서 그러한 예를 볼 수 있다.
[2] 단적인 예로, 뉴턴의 운동 방적식에서 힘을 질량과 위치 벡터의 이계도 함수의 곱으로 정의하고 운동을 기술하려 했지만, 정작 그 힘에 대해서는 정체가 무엇인지 밝히지 않고있다.
우선 해밀턴 역학의 출발점은
라그랑주 역학이므로 아래의 내용을 읽기 전에 해당 항목을 읽고 오는 것을 권한다.
2. 해밀토니언
일반적인 직교좌표계에서 운동량은 $$ p_i = {\partial \mathscr{L} }/{ \partial \dot{x}_i }$$ 로 표현된다. 이러한 힌트로부터 일반 좌표계에서의 일반화 운동량(Generalized momentum)을 다음과 같이 정의한다. 오른쪽 식은 일반화 운동량으로 표현한 라그랑지언 운동방정식이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} p_{i} &\equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} \\ \dot{p}_{i} & \equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_{i}} \end{aligned} $$
원래 라그랑지언은 각 일반화 좌표 $$ q_i $$ 와 그것의 시간 미분 $$ \dot{q}_i $$을 변수로 가진 함수였다. 해밀토니언은 $$ q_i $$와 위에서 정의한 $$ p_i $$들을 변수로 인정하여 다음과 같은
르장드르 변환으로 정의된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}(q_{i},\,p_{i},\,t)=\sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i}-\mathscr{L}(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t) \end{aligned} $$
여기에서 변수로 인정되는 게 무엇인지 알고 그것들만으로 해밀토니언을 표현하는 것이 대단히 중요하다. 정의된 라그랑지안으로부터 우변의 식을 단순히 계산하면 $$ \dot{q}_i $$들이 수식에 남아 있는 경우가 대부분인데, 반드시 이러한 표현들을 $$ q_i $$와 $$ p_i $$들로 대체하여야만 해밀토니언이 공식적으로 완성된 것이다.
[3] 아래에서 보듯이 각 변수들로 편미분을 해야 하기 때문에, 잘못된 변수가 수식에 남아 있어서는 안된다.
이러한 변수 $$ q_{i} $$ 와 $$ p_{i} $$를 서로의 '''공액 변수(conjugate variable)'''라고 부르고 $$ p_i, \, q_i $$들로 표현된 좌표계를 '''정규 좌표계(canonical coordinates)''', 이들을 변수로 하는 공간을 '''위상 공간(phase space)'''이라고 부른다.
해밀토니언은 일반화 좌표 $$q_{i}$$, 일반화 운동량 $$p_{i}$$, 그리고 시간 $$t$$의 함수이므로 전미분은 일반적으로 다음과 같은 형태가 된다.
$$ \displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} \,dq_i + {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} \,dp_i \right) + {\partial \mathcal{H} \over \partial t} \,dt $$
그런데 해밀토니언이 라그랑지언의
르장드르 변환이라는 정의를 기억하면, 전미분이 다음과 같이 표현되는 것 역시 알 수 있다.
$$\displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( \dot{q}_i\, dp_i + p_i \,d\dot{q}_i - {\partial \mathscr{L} \over \partial q_i}\, dq_i - {\partial \mathscr{L} \over \partial \dot{q}_i}\, d \dot{q}_i \right) - {\partial \mathscr{L} \over \partial t} \,dt $$
위에서 정의한 일반화 운동량과 운동 방정식의 표현을 이용하면 위 식은 다음과 같이 간략화된다.
$$ \displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( \dot{q}_i \,dp_i - \dot{p}_i \,d q_i \right) - {\partial \mathscr{L} \over \partial t}\, dt $$
이제 이 식을 제일 위의 전체 미분 식과 비교하면 다음과 같은 해밀토니언 운동 방정식을 얻을 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \dot{q}_{i} &\equiv \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}} \\ -\dot{p}_{i} & \equiv \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} \end{aligned} $$
또한,
$$\displaystyle -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} $$
식도 얻어지는데 이것은 운동 방정식과 크게 관련은 없고, 이상의 내용을 모두 종합하면,
르장드르 변환 식으로 부터
$$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\frac{d \mathcal{H}}{d t} $$
을 얻을 수 있다.
이제 구체적으로 해밀토니안이 어떤 물리량인지 따지고자 한다. 다시 르장드르 변환 식으로 부터 출발한다:
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} =\sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i}-\mathscr{L} \end{aligned} $$
그런데,
$$\displaystyle p_{i} \equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} $$
이므로
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} =\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} -\mathscr{L} \end{aligned} $$
임을 알 수 있다. 그런데 라그랑지언은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 선형 결합 $$\mathscr{L}=T-U$$이고, 일반화 속도 $$\dot{q}_{i}$$는 운동 에너지 $$T$$에만 의존하므로 위 식은
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} -(T-U) \end{aligned} $$
간단한 역학계에서 운동 에너지는 일반화 속도의 2차
동차함수이므로
오일러 정리로 부터
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} =2T \end{aligned} $$
이상에서 해밀토니언이 다음과 같음을 얻는다:
$$\displaystyle \mathcal{H}=T+U $$
즉, 어떤 시스템의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총 합이 곧 해밀토니언이 된다. 그러나 이 조건은 두 조건이 만족할 경우에만 그렇다고 할 수 있다.
1. 퍼텐셜 에너지는 속도 $$\dot{x}_{\alpha,\,i}$$와 시간에 의존하지 않아야 한다.
1. 입자의 좌표 $$x_{\alpha,\,i}$$와 일반화 좌표 $$q_{i}$$ 간의 변환식이 시간에 의존하지 않아야 한다.
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그 이유에 대해선 수준 상의 문제로 고전역학 책을 한 번 볼 것을 권한다.
또한, 위에서 얻었던
$$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\frac{d \mathcal{H}}{d t} $$
을 고려하면, 해밀토니언이 시간에 직접적으로 의존하지 않는다면,
$$\displaystyle \frac{d \mathcal{H}}{d t}=0 $$
이고 이것은 해밀토니언이 보존됨을 의미한다. 만약 해밀토니언이 $$\mathcal{H}=T+U =E$$를 만족하는 시스템이라면, 이 경우엔 해밀토니안이 총 역학적 에너지로 보존된다.
참고적으로 해밀토니안은 흘림체인 $$\mathcal{H}$$으로 쓰는 것을 권장하는데, 이는 $$H$$는 겹치는 의미가 꽤 있어서(
헤비사이드 계단 함수,
에르미트 행렬, 에르미트 함수 등) 명확한 구별을 위해 흘림체로 쓰는 것이 좋다.
'''[문제]'''
질량 $$m$$인 입자가 반지름 $$R$$인 원통에 구속되어 움직일 때, 해밀토니안을 구하고 해밀턴 역학을 이용하여 계를 분석하시오.
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[image]- [풀이 보기]
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이 문제를 유용하게 분석할 수 있는 원통 좌표계를 사용한다. 이 상황에서 계의 운동 에너지는
$$\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}) \end{aligned} $$
또한 퍼텐셜 에너지는
$$\displaystyle U=mgz $$
따라서 계의 라그랑지언은
$$\displaystyle \mathscr{L}=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})-mgz $$
임을 알 수 있다. 따라서 $$\theta,\,z$$에 대한 일반화 운동량은
$$\displaystyle \begin{aligned} p_{\theta}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}}=mR^{2}\dot{\theta} \\ p_{z}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{z}}=m\dot{z} \end{aligned} $$
으로 구해진다. 라그랑지언이 시간에 무관하므로 계의 해밀토니언은 결국 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 구해지므로
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=T+U\\&=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})+mgz \end{aligned} $$
그러나 해밀토니안은 일반화 운동량과 일반화 좌표의 함수이므로 위에서 얻었던 정보를 고려하면,
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^{2}} +\frac{p_{z}^{2}}{2m} +mgz \end{aligned} $$
으로 구해진다. 이번에는 정준 방정식을 이용하여 계를 분석해보자.
$$\displaystyle \begin{aligned} \dot{p}_{\theta}&=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \theta}=0 \\ \dot{p}_{z}&=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial z}=-mg \end{aligned} $$
즉, $$\theta$$에 대한 운동량은 보존됨을 알 수 있으며, 또한,
$$\displaystyle \begin{aligned} \dot{\theta}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{\theta}}=\frac{p_{\theta}}{mR^{2}} \\ \dot{z}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m} \end{aligned} $$
을 얻을 수 있다. 위에서 얻은 정보를 이용하면, 다음의 두 미분 방정식을 쉽게 얻음을 알 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \ddot{\theta}&=0 \\ \ddot{z}&=-g \end{aligned} $$
따라서 이 계는 $$\theta$$방향으로 각운동량이 보존되면서, $$z$$방향으로 중력 가속도의 가속도로 등가속도 운동함을 알 수 있다.
2.2. 예제 2[4] 라그랑주 역학 문서에도 나와있는 문제로, 거기에 가보면 라그랑주 역학과 뉴턴 역학을 사용한 풀이들을 볼 수 있다.
'''[문제]'''
그림과 같이 마찰이 없는 수평면 위에 질량 $$M$$이고, 경사각이 $$\theta$$, 빗면의 길이가 $$l$$인 경사면이 있고, 경사면 꼭대기에 질량 $$m$$인 작은 물체를 놓았을 때, $$m$$이 빗면을 모두 내려오기까지 걸린 시간을 구하시오. (단, 중력 가속도 $$\mathbf{g}=-g \hat{\mathbf{y}}$$이다.)
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[image]- [풀이 보기]
물체들의 위치를 일반화좌표계로 우선 쓰자. 경사면의 꼭대기의 좌표를 $$x_{1},\,y_{1}$$, 물체의 좌표를 $$x_{2},\,y_{2}$$라 놓으면 다음을 얻을 수 있다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} x_{1}&=X \\ y_{1}&=0 \\ x_{2}&=X+Y\cos{\theta} \\ y_{2}&=-Y\sin\theta \end{aligned}$$
이로부터
$$ \displaystyle \begin{aligned} \dot{x}_{1}&=\dot{x} \\ \dot{y}_{1}&=0 \\ \dot{x}_{2}&=\dot{X}+\dot{Y}\cos{\theta} \\ \dot{y}_{2}&=-\dot{Y}\sin\theta \end{aligned}$$
이기 때문에 계의 운동 에너지 $$T$$와 퍼텐셜 에너지 $$U$$는 다음과 같이 주어진다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} T&={1 \over 2} M (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) + {1 \over 2} m (\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2) \\ &={1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) \\ U&=Mgy_1 + mgy_2 = -mgY \sin \theta \end{aligned}$$
이것으로부터 라그랑지안은 결정될 수 있다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L} &= T- U \\& = {1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) + mgY \sin \theta \end{aligned}$$
또, 결정되는 일반화 운동량은
$$ \displaystyle \begin{aligned} p_X &= \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{X}}\\& = (M+m)\dot{X} + m\dot{Y} \cos{\theta} \\ p_Y &= \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{Y}} \\& = m\dot{X} \cos \theta + m \dot{Y} \end{aligned}$$
이고, 이에 해밀토니안은
$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &= T + U \\& = {1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) - mgY \sin \theta \end{aligned}$$
으로 결정된다. 이것을 시간 미분하면,
$$ \displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \dot{p}_X &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial X} \\&= 0 \\ \dot{p}_Y &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Y} \\&= mg \sin \theta \end{aligned}$$
위에서 구한 일반화 운동량을 시간 미분하면,
$$ \displaystyle \begin{aligned} \dot{p}_X &= (M+m)\ddot{X} + m\ddot{Y} \cos \theta \\ \dot{p}_Y &= m\ddot{X} \cos \theta + m \ddot{Y} \end{aligned}$$
이상에서 다음의 미분 방정식을 얻는다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (M+m)\ddot{X} + m\ddot{Y} \cos \theta&=0 \\ m\ddot{X} \cos \theta + m \ddot{Y} &=mg \sin \theta \end{aligned}$$
이 방정식을 풀면
$$ \displaystyle \begin{aligned} \ddot{X} &= \frac{ -mg \sin \theta \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta } \\ \ddot{Y} &= \frac{ (m+M) g \sin \theta }{ M + m \sin^2 \theta } \end{aligned}$$
따라서 물체가 경사면을 떨어지는데 걸리는 시각을 $$T$$라 놓으면, $$ l=2 \ddot{Y}T^{2}$$로
$$ \displaystyle T = \sqrt{\frac{ 2l (M + m \sin^2 \theta) }{ (m+M) g \sin \theta }} $$
의 결과가 나오게 된다.
정규 좌표계로 표현되는 두 함수 $$ f(q_{i},\,p_{i}) $$와 $$ g(q_{i},\,p_{i}) $$ 에 대해
푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \{ f,\, g \} \equiv \sum_{i} \left( {\partial f \over \partial q_i} \ {\partial g\over \partial p_i} - {\partial f \over \partial p_i} \ {\partial g\over \partial q_i} \right) $$
푸아송 괄호를 사용하면 해밀토니언 운동방정식은 다음과 같이 표현된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} {dq_i \over dt} &= {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} &= \{ q_i, \,\mathcal{H} \} \\ {dp_i \over dt} &= - {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} &= \{ p_i, \,\mathcal{H} \} \end{aligned} $$
그리고 일반적인 함수 $$ f(q_{i},\,p_{i}) $$의 시간미분은 다음과 같음을 알 수 있다.
$$\displaystyle {df \over dt} =\{ f, \,\mathcal{H} \} + {\partial f \over \partial t}$$
여기까지만 봐선, 새로운 기호를 정의했을 뿐이지 별다른 유용성은 전혀 없다고 생각할지 모른다. 자, 이제 각 일반좌표 $$ q_i $$ 와 일반화 운동량 $$ p_i $$ 들간의 푸아송 괄호를 계산해 보자.
$$\displaystyle \begin{aligned} \left\{ q_i, \, q_j \right\} &= \left\{ p_i,\, p_j \right\} = 0 \\ \left\{ q_i, \, p_j \right\} &= \delta_{ij} \end{aligned} $$
$$\delta_{ij}$$는
크로네커 델타이다.
양자역학에 익숙한 사람들이라면 이쯤 오면 무언가가 떠오르기 시작할 것이다. 공액 변수들이 바로 양자역학에서의 불확정성 원리에서 서로 대응되는 두 변수들이고, 푸아송 괄호의 역할이 양자역학적인 교환자의 역할과 유사해진다. 즉, 고전역학에서 양자역학으로 가는 한 방법은 변수와 함수들을 오퍼레이터로 만들고, 해밀턴 역학에서 푸아송 괄호를 $$ 1 / i \hbar $$를 곱한 교환자로 대체하는 것이다. 이러한 것을 따르면 다음과 같은 식들이 얻어진다.
$$\displaystyle \begin{aligned} [ \hat{q}_i, \, \hat{q}_j ] &= [ \hat{p}_i, \, \hat{p}_j ] = 0 \\ [ \hat{q}_i,\, \hat{p}_j ] &= i \hbar \delta_{ij} \end{aligned} $$
그리고, 시간의 직접적인 함수가 아닌
연산자 $$ \hat{f} $$에 대해
$$\displaystyle {d \hat{f} \over dt} = {1 \over i\hbar} [ \hat{f},\, \hat{\mathcal{H}}] $$
임을 알 수 있는데, 이것이 바로 하이젠베르크 묘사 (Heisenberg picture) 에서의 양자역학을 지배하는 운동방정식이 된다.
고전역학으로부터 양자역학으로 넘어오는 방법은 이것 외에도 여러 가지가 있다. 슈뢰딩거의 양자역학에 대한 논문도 해밀턴 역학으로부터 유도된 해밀턴-자코비 방정식으로부터 출발하고, 최소작용의 원리를 최소 근처의 작용을 허용하도록 수정하면 라그랑주 역학에서 출발하여 파인만의 경로적분으로 표현되는 양자역학에 도달할 수 있다. 즉,
하이젠베르크,
슈뢰딩거,
파인만이 각각 발견한 비상대론적 양자역학의 세 가지 공식화 방법이 전부 고전역학에 그 힌트가 숨어 있는 것이다.
4. 관련 문서
[각주]