프레넬 적분 함수

'''프레넬 적분 함수(Fresnel integral)'''은 특수함수의 일종으로, 각각 $$S(x)$$, $$C(x)$$ 두 종류가 있다. 정의는 다음과 같다.[1]

$$\displaystyle \begin{aligned} S(x)& \equiv\int_{0}^{x} \sin{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,dt \\ C(x)&\equiv\int_{0}^{x} \cos{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,dt\end{aligned} $$

[1] 단, $$\displaystyle \int_{0}^{x} \sin{t^2}\,dt \equiv S(x)$$, $$\displaystyle \int_{0}^{x} \cos{t^2}\,dt \equiv C(x)$$로 정의하는 경우도 있다.

친척인 삼각 적분 함수와 비슷하게 sine, cosine만 적분이 정의된다.
두 함수는 모두 무한급수로 나타낼 수 있으며, 각각 나타내면 아래와 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} $$

또한 두 함수로 부터

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{dS(x)}{dx}&=\sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,dx=S(x)+\mathsf{const.} \\ \frac{dC(x)}{dx}&=\cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,dx=C(x)+\mathsf{const.} \end{aligned} $$

또한 얻을 수 있다. 여기서 $$\mathsf{const.}$$는 적분 상수이다.
둘 다 홀함수로써

$$\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=-S(-x) \\ C(x)&=-C(-x) \end{aligned} $$

가 성립하며,

$$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} S(x)=\lim_{x \to \pm\infty} C(x)=\pm\frac{1}{2} $$

임이 알려져있다. (단, 복부호 동순)
아래는 본 함수의 그래프 개형을 나타낸 것이다.

$$S(x)$$의 최댓값은 $$x=\sqrt{2}$$에서

$$\dfrac{1+i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{2 \pi} \right) -i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{2 \pi} \right)\right] $$

이며, $$C(x)$$의 최댓값은 $$x=1$$에서

$$\dfrac{1-i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{\pi} \right) +i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{\pi} \right)\right] $$

이다. 홀함수이므로 최댓값의 반수가 최솟값이 된다.
위에서 $$\mathrm{erf}$$는 오차함수(Error function)이다.
여담으로, 오일러 나선이라는 특수한 나선을 그릴 때 사용된다.