플라스틱 상수

 


Plastic number, Plastic constant
플라스틱 상수(Plastic constant)라고도 하는 플라스틱 수는 삼차방정식 $$x^3 = x + 1$$의 실근으로, 그리스 문자 [math(\rho)]로 표기한다. 이 수의 실제 값은 다음과 같다.
$$\displaystyle \rho = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}$$
소수로 표현하면 약 $$1.324717957244746025960908854 \cdots$$ 정도의 값이 된다.
플라스틱 수는 파도반 수열(Padovan sequence) 및 페랭 수(Perrin number)의 인접항 비의 극한이고 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.
이 값은 놀랍게도 아래처럼 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수로도 표현이 가능하다.
$$\displaystyle \rho = \frac{2}{\sqrt{3}} \cosh \! \left(\frac{1}{3}\,{\rm arcosh}\!\left(\frac{\sqrt{27}}{2}\right)\!\right)$$
또한, 플라스틱 수는 다음의 대수적 방정식의 실근이기도 하다.
  • $$x^{5}=x^{4}+1$$
  • $$x^{5}=x^{2}+x+1$$
  • $$x^{6}=x^{2}+2x+1$$
  • $$x^{6}=x^{4}+x+1$$
  • $$x^{7}=2x^{5}-1$$
  • $$x^{7}=2x^{4}+1$$
  • $$x^{8}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$$
  • $$x^{9}=x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1$$
  • $$x^{12}=2x^{10}-x^{4}-1$$
  • $$x^{14}=4x^{9}+1$$
이는 $$x^{3}-x-1=0$$의 양변에 $$x^k$$를 곱한 뒤 그걸 정리하여 만들어진 방정식이기 때문에 나오는 결과이다.

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