쌍곡선 함수
1. 개요
hyperbolic function ・ 雙曲線 函數
'''쌍곡선 함수'''는 삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 둘 다 미분방정식, 함수 이론에서 쓰인다는 점도 비슷하다는 특징이 있다.
2. 상세
삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,
$$\begin{cases}x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases}$$
$$x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1$$
이와 유사한 방법으로
$$\begin{cases}x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases}$$
$$x^2-y^2=\cosh^2t-\sinh^2t=1$$
그래프 상에서 삼각함수와 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.
[image]
삼각함수는 위의 (a)와 같이 중심이 원점인 단위원 $$x^2+y^2=1$$위의 한 점에 대하여 부채꼴 $$\mathrm{OAP}$$의 넓이가 $$\theta/2$$가 되게하는 점 $$\mathrm{P}$$에 대하여 해당 점의 $$x$$좌표와 $$y$$좌표를 각각 $$\cos{\theta}$$, $$\sin{\theta}$$로 정의한다. 한편, 쌍곡선 함수는 위의 (b)와 같이 쌍곡선 $$x^2-y^2=1$$과 그 위의 한 점 $$\mathrm{P}$$에 대하여 원점과 $$\mathrm{P}$$를 지나는 직선과 $$x$$축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 $$a/2$$가 될 때, 점 $$\mathrm{P}$$에 대하여 해당 점의 $$x$$좌표와 $$y$$좌표를 각각 $$\cosh{a}$$, $$\sinh{a}$$로 정의한다.
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 '''쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.'''
3. 정의
3.1. 기본형
[math(\begin{aligned}
\sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\
\cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\
\tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\end{aligned} )]
$$\sinh$$, $$\cosh$$, $$\tanh$$의 정식 명칭은 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 표현, 즉 'Hyperbolic sine', 'Hyperbolic cosine', 'Hyperbolic tangent'이다.[1] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다.\sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\
\cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\
\tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\end{aligned} )]
- $$\sinh$$: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
- $$\cosh$$: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
- $$\tanh$$: 쌘(/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)
위에서 볼 수 있듯, $$\sinh x$$, $$\tanh x$$는 기함수, $$\cosh x$$는 우함수임을 알 수 있다. 또한, $$\cosh x$$는 점 $$(0,\,1)$$을 지남을 알 수 있고, $$\tanh x$$는 점근선으로 $$y = \pm 1$$을 가짐을 알 수 있다.
$$\tanh x$$는 [math(\mathrm{erf}(x))]와 개형이 비슷하다.[비교] 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!
$$\cosh x$$는 현수선(Catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이 $$\displaystyle \begin{aligned} a\cosh{\left( \frac{x}{a} \right)}=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} $$이다. $$a=1$$일 때 $$\cosh x$$가 나온다.
3.2. 역수형
이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.
[math(\begin{aligned}
\coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\
\mathrm{sech}\,x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\
\mathrm{csch}\,x &\equiv \dfrac1{\sinh x}
\end{aligned} )]
- $$\coth$$: 코쓰(/koʊθ/)
- $$\mathrm{sech}$$: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
- $$\mathrm{csch}$$: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)
3.3. 역함수
이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 $$x^2-y^2=1$$과 직선 $$y=(\tanh a)x$$, $$x$$축으로 둘러싸인 도형[2]의 넓이(area)가 $$a$$라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 $$\rm ar$$-을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 $$\rm arc$$-를 붙인 '''틀린 표현'''[3]도 자주 볼 수 있다.
한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 '''편각'''(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 $$\rm arg$$-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[4]
편의상 정의역은 실수라고 가정했다.
[math(\begin{aligned}
\mathrm{arsinh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
\mathrm{arcosh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} &&\qquad (x\ge1) \\
\mathrm{artanh}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{1+x}{1-x}} &&\qquad (|x|<1) \\
\mathrm{arcoth}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{x+1}{x-1}} &&\qquad (|x|>1) \\
\mathrm{arsech}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr) &&\qquad (0<x \le 1) \\
\mathrm{arcsch}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr) &&\qquad (x \ne 0)
\end{aligned} )]
[2] 즉 가로, 세로의 길이가 $$\cosh a$$, $$\sinh a$$인 직각삼각형의 넓이에서 $$\displaystyle\int_1^{\cosh a}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm dx$$를 뺀 값의 2배[3] 역삼각함수의 접두사 $$\rm arc$$-가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, $$\rm arc$$-라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.[4] 함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 $$\rm arcosh$$, $$\rm arcoth$$, $$\rm arcsch$$만 봐도 접두사를 $$\rm arc$$-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 $$\rm h$$가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.
4. 관련 공식
4.1. 항등식
[math(\begin{aligned}
\cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\
1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\
\coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\
\sinh\,(-x) &= -\sinh x \\
\cosh\,(-x) &= \cosh x \\
\tanh\,(-x) &= -\tanh x \\
\coth\,(-x) &= -\coth x \\
\mathrm{sech}\,(-x) &= \mathrm{sech}\,x \\
\mathrm{csch}\,(-x) &= -\mathrm{csch}\,x
\end{aligned})]
\cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\
1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\
\coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\
\sinh\,(-x) &= -\sinh x \\
\cosh\,(-x) &= \cosh x \\
\tanh\,(-x) &= -\tanh x \\
\coth\,(-x) &= -\coth x \\
\mathrm{sech}\,(-x) &= \mathrm{sech}\,x \\
\mathrm{csch}\,(-x) &= -\mathrm{csch}\,x
\end{aligned})]
4.2. 덧셈 정리
[math(\begin{aligned}
\sinh\,(x\pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\
\cosh\,(x\pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\
\tanh\,(x\pm y) &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}
\end{aligned})]
이상은 '''모두''' 복부호동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.\sinh\,(x\pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\
\cosh\,(x\pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\
\tanh\,(x\pm y) &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}
\end{aligned})]
4.3. 배각 공식
[math(\begin{aligned}
\sinh 2x &= 2\sinh x\cosh x \\
\cosh 2x &= \cosh^2x + \sinh^2x \\
&= 2\sinh^2x+1 \\
&= 2\cosh^2x-1 \\
\tanh 2x &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}
\end{aligned})]
\sinh 2x &= 2\sinh x\cosh x \\
\cosh 2x &= \cosh^2x + \sinh^2x \\
&= 2\sinh^2x+1 \\
&= 2\cosh^2x-1 \\
\tanh 2x &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}
\end{aligned})]
4.4. 반각 공식
[math(\begin{aligned}
\sinh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\
\cosh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\
\tanh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1}
\end{aligned})]
\sinh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\
\cosh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\
\tanh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1}
\end{aligned})]
4.5. 합을 곱으로 고치는 공식
[math(\begin{aligned}
\sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh\dfrac{x \pm y}2 \cosh\dfrac{x \mp y}2 \\
\cosh x+\cosh y &= 2 \cosh\dfrac{x+y}2 \cosh\dfrac{x-y}2 \\
\cosh x-\cosh y &= 2 \sinh\dfrac{x+y}2 \sinh\dfrac{x-y}2
\end{aligned})]
이상은 모두 복부호동순이다.\sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh\dfrac{x \pm y}2 \cosh\dfrac{x \mp y}2 \\
\cosh x+\cosh y &= 2 \cosh\dfrac{x+y}2 \cosh\dfrac{x-y}2 \\
\cosh x-\cosh y &= 2 \sinh\dfrac{x+y}2 \sinh\dfrac{x-y}2
\end{aligned})]
4.6. 곱을 합으로 고치는 공식
[math(\begin{aligned}
\sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)+\sinh\,(x-y)\} \\
\cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)-\sinh\,(x-y)\} \\
\cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh\,(x+y)+\cosh\,(x-y)\} \\
\sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh(x+y)-\cosh(x-y)\} \\
\end{aligned})]
\sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)+\sinh\,(x-y)\} \\
\cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)-\sinh\,(x-y)\} \\
\cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh\,(x+y)+\cosh\,(x-y)\} \\
\sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh(x+y)-\cosh(x-y)\} \\
\end{aligned})]
4.7. 도함수
4.7.1. 쌍곡선 함수
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sinh x &= \cosh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \cosh x &= \sinh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \tanh x &= \mathrm{sech}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \coth x &= -\mathrm{csch}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{sech}\,x &= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{csch}\,x &= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\
\end{aligned})]
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sinh x &= \cosh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \cosh x &= \sinh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \tanh x &= \mathrm{sech}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \coth x &= -\mathrm{csch}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{sech}\,x &= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{csch}\,x &= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\
\end{aligned})]
4.7.2. 역쌍곡선 함수
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsinh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcosh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{artanh}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcoth}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsech}\,x &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcsch}\,x &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0)
\end{aligned})]
$$\mathrm{artanh}\,x$$와 $$\mathrm{arcoth}\,x$$의 도함수는 형태는 같지만 $$x$$의 범위가 다르다는 것에 주의하자.\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsinh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcosh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{artanh}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcoth}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsech}\,x &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcsch}\,x &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0)
\end{aligned})]
4.8. 역도함수
4.8.1. 쌍곡선 함수
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x + C \\
\int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x + C \\
\int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln\,(\cosh x) + C \\
\int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| + C \\
\int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan\,(e^x) + C \\ &= \arctan\,(\sinh x) + C \\ &= \arcsin\,(\tanh x) + C \\ &= 2\arctan\left(\tanh\frac x2\right) + C \\ &= \mathrm{gd}\,x + C \\
\int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln\left(\tanh\dfrac x2\right) + C \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| + C \\
\end{aligned})]
위 식에서 $${\rm gd}\,x$$은 구데르만 함수(Gudermannian function)이고, $$C$$는 적분 상수이다.\int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x + C \\
\int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x + C \\
\int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln\,(\cosh x) + C \\
\int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| + C \\
\int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan\,(e^x) + C \\ &= \arctan\,(\sinh x) + C \\ &= \arcsin\,(\tanh x) + C \\ &= 2\arctan\left(\tanh\frac x2\right) + C \\ &= \mathrm{gd}\,x + C \\
\int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln\left(\tanh\dfrac x2\right) + C \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| + C \\
\end{aligned})]
4.8.2. 역쌍곡선 함수
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} + C \\
\int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} + C &&\qquad (x\ge1) \\
\int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln (1 - x^2) + C &&\qquad (|x|<1) \\
\int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln (x^2-1 ) + C &&\qquad (|x|>1) \\
\int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x + C &&\qquad (0<x\le1) \\
\int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x + C &&\qquad (x\ne0)
\end{aligned})]
단, $$C$$는 적분 상수이다.\int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} + C \\
\int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} + C &&\qquad (x\ge1) \\
\int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln (1 - x^2) + C &&\qquad (|x|<1) \\
\int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln (x^2-1 ) + C &&\qquad (|x|>1) \\
\int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x + C &&\qquad (0<x\le1) \\
\int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x + C &&\qquad (x\ne0)
\end{aligned})]
4.8.3. 특수 적분
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sinh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 + C \\
\int \cosh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \sinh{x} + C \\
\int \tanh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\
\int \mathrm{coth}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\
\int \mathrm{sech}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\
\int \mathrm{csch}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\
\int \left|\sinh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x + C \\
\int \left|\cosh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x + C \\
\int \left|\tanh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\
\int \left|\mathrm{coth}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\
\int \left|\mathrm{sech}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= 2\,(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\
\int \left|\mathrm{csch}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\
\int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + C \\
\int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + C \\
\int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x &= i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + C \\
\int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \\
\int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(x) + C \\
\int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(x) + C \\
\int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(e^x) + C \\
\int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(e^x) + C \\
\int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + C \\
\int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + C \\
\int \sinh x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)\} + C \\
\int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)\} + C
\end{aligned} )]
5. 복소수와 쌍곡선 함수
이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다.
우리는 다음을 안다.
$$\displaystyle \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad \qquad \cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$
$$\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} $$
위를 이용하면 아래를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sinh{(ix)}&=i\sin{x} \\
\cosh{(ix)}&=\cos{x} \\
\tanh{(ix)}&=i\tan{x}
\end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
-i \sin{(ix)}&=\sinh{x} \\
\cos{(ix)}&=\cosh{x} \\
-i\tan{(ix)}&=\tanh{x}
\end{aligned} )]
6. 테일러 급수
아래는 $$x=0$$ 주위에서 전개한 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sinh{x}&=x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\cdots \\
&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\
\cosh{x}&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots \\
&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned} )]
7. 기타
- 쌍곡선 함수 중 $$\cosh{x}$$ 곡선을 현수선이라 한다.
- 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
- 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
- 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.
8. 관련 문서
[각주]