연속 방정식

1. 개요

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Continuity equation · 連續 方程式
어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식. 어느 구간에서 자신이 원하는 양이 얼마나 들어가고 빠지는지를 나타내기 위해서 쓰는데, 그래서 아무것도 변하지 않는다고 하는 보존법칙들을 기술하기 위해서도 이 법칙이 요긴하게 쓰인다.

1.1. 연속 방정식의 일반형

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어떤 물리량 $$\displaystyle q$$에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$$\displaystyle \frac{d}{d t} \iiint_{V} \rho_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r = - \oiint_{\partial V} \mathbf{J}_{q} (\mathbf{r},\, t ) \cdot d \mathbf{a} + \iiint_{V} s_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r $$

여기서 $$\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q}$$는 각각 단위 부피당 $$\displaystyle q$$, 단위 시간당 단위 면적을 통한 $$\displaystyle q$$의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 $$\displaystyle q$$의 직접 공급을 뜻한다.
이로부터 위 식의 좌변은 '''단위 시간당 어떤 영역 $$\displaystyle V$$ 내의 $$\displaystyle q$$의 (시간에 따른) 변화율''', 우변의 첫째 항과 둘째 항은 각각 '''영역 $$\displaystyle V$$의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 $$\displaystyle q$$의 양''', '''(외부 공급 장치 등을 이용한) $$\displaystyle q$$의 직접적인 공급'''을 의미한다.
위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.

$$ \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} ( \mathbf{r},\, t ) $$

2. 유체역학에서의 연속 방정식

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2.1. 질량에 대한 연속 방정식

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유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.

$$ \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$

2.1.1. 유도

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밀도가 $$\displaystyle \rho$$인 유체가 어떤 폐곡면 $$\displaystyle S$$를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.

$$ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho\, d^3 r = -\oiint_{S} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a} $$

여기서 $$V$$는 폐곡면 $$S$$로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.
위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.

$$ \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$

2.1.2. 비압축성 유체

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비합축성이면 $$\rho$$가 상수이니

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0$$

또는

$$ \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{a} = 0$$

가 된다. 후자를 파이프 같이 단순한 유체 흐름의 상황에 적용하면 아주 간단한 형태가 된다.

$$ \displaystyle A_1\mathbf{u}_1 = A_2\mathbf{u}_2$$

2.2. 운동량에 대한 연속 방정식

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오일러 방정식 항목 참조

3. 전자기학에서의 연속 방정식

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3.1. 전하에 대한 연속 방정식

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3.2. 에너지에 대한 연속 방정식

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4. 확산/열에 대한 연속 방정식

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열의 밀도를 $$u$$, 에너지 선속을 $$\mathbf{q}$$라 하고, 마찰력 등으로 인한 내부 열 생성은 없다고 가정하면,

$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{q} = 0$$

열이 아니라 물질에 적용해도 수학적으로 똑같다. $$\phi$$를 물질의 밀도 (단위는 mol/m^3), $$\mathbf{J}$$를 물질의 확산 선속 (단위는 mol/m^2/sec)이라 하면,

$$\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$$

이 둘은 각각 푸리에의 법칙과 픽의 1 법칙과 연계하면 열 방정식과 확산 방정식으로 이어진다. 이 두 방정식 역시 수학적으로 동일.

5. 관련 문서

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• 나비에-스톡스 방정식
• 오일러 방정식
• 포인팅 벡터