힐베르트의 호텔
수학자 다비드 힐베르트가 제기한 역설. 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)으로도 불린다. 무한대의 특성을 직관적으로 보여주는 예시이다. 힐베르트가 직접 출판하진 않았지만 1924년 1월 괴팅겐에서 강의를 통해 이 역설을 언급했다.[1] 이후 1948년 조지 가모프의 책 '1,2,3 그리고 무한'에 등장한 것을 계기로 수학이나 물리학을 소재로 한 글에서 무한의 성질을 나타내는 예시로 널리 쓰이게 되었다.
힐베르트는 객실이 무한한 호텔이 있으며 이 호텔의 모든 객실은 차있어서 빈 방이 없다고 가정했다. 일반적인 호텔이라면 객실이 가득 차있을 경우 새로운 손님이 왔을 때 빈 방을 마련하는 것이 불가능하다. 하지만 힐베르트의 호텔은 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 3번 방으로 옮기는 식으로 모든 투숙객이 n+1번 방으로 배정되어 원래 있던 방의 바로 옆 방으로 방을 옮기도록 하여 언제나 빈 방을 마련할 수 있다.
여려명, 즉 m명의 손님이 온 경우 에도 간단히 모든 투숙객이 n+m방으로 옮기도록 하면 된다.
힐베르트의 호텔에 무한한 손님을 태운 버스가 와서 무한한 빈방을 마련해야 할 때에도 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번 방으로 보내는 식으로 모든 투숙객에게 객실 번호의 두배가 되는 방으로 옮기도록 지시하면 무한한 홀수의 빈 방을 마련할 수 있다.
마지막으로, 무한한 손님을 태운 버스가 무한히 정차해 그 손님들의 빈방을 마련해야 할때는 소수[2]의 특성을 이용하여 일단 투숙객들에게는 첫번째 소수인 2에다 자신의 방번호에 제곱한 즉, 2^n방으로 이동하라고 하고, 각각의 무한한 버스는 3,5,7... 으로 다음 소수들을 배정하고 무한한 손님들에게는 각각 1부터 승차번호를 부여하고 승차번호에 배정된 소수를 제곱한 방 즉, 배정된 소수^n 의 방으로 가라고 하면 된다. 물론, 이렇게 하면 6번방과 같은 많은 빈방이 생기겠지만 일단 손님을 모두 받는데에는 성공한다.
위 영상에도 언급되지만 이 경우는 '''작은 범위의 무한'''만을 생각하는 경우에 해당된다. 위의 상황에서 다룬경우는 어디까지나 자연수의 무한에만 해당되는 것이다. 자연수의 집합을 제외한 실수 범위까지 포함하게 되면 위와 같은 일반적인 사고로는 해결할 수 없게 된다.
그외에 다양한 패턴의 손님들이 들어와도 계속 방을 줄수 있다는 이론이다.
[1] Helge Kragh, The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel [2] 링크된 문서를 보면 알듯이, 소수점이 있는 숫자가 아닌 1과 자신의 숫자로만 나누어지는 수를 뜻한다.