72의 법칙

'''복리야말로 인간의 가장 위대한 발명이다.'''

- '''알베르트 아인슈타인'''

72의 법칙(Rule of 72)
복리의 이율로 어떤 금액의 가치가 2배로 증가하기까지 걸리는 시간을 간단히 구할 수 있는 마법의 법칙. 예를 들면, 100만원을 연 5%(세후 수익율)로 저축해 200만원을 만드는 데 걸리는 시간은 72÷5=14.4년이 걸린다는 것이다. 10% 수익율이라면 72÷10=7.2년이 걸린다.
반대로도 사용할 수 있는데, 100만원을 n년 후에 200만원으로 만들고싶다면 (72÷n)%의 수익률로 투자하여야 한다.
사용할 때는 0.72/r(이자율) 혹은 72/R(퍼센트로 고친 이자율)이라는 것에 주의하자. 즉, 10%의 이자율이라면 72/0.1이 아니라 72/10 이다.
69의 법칙, 70의 법칙으로도 불린다. 물론 다른 이름으로 부를 시에는 공식에 사용되는 수도 바뀐다. 그 본질은 경제학에서 이자율에 따라 재산(혹은 GDP)이 2배가 되는 기간을 간편하게 구하는 것으로, 72/(이자율)로 계산할 수 있다.
가장 오래된 기록은 이탈리아의 수학자이자 프란스시스코 수사였던 루카 파치올리(Luca Pacioli,1447-1517)[1]가 저술한 수학책으로 알려져 있다. 다음과 같이 적혀있다.

연이율이 주어져 있는 상태에서 현재의 자본금이 두 배가 되려면 몇 년이 걸릴까를 알고싶을때는 72를 마음 속에 법칙으로 지니고 있도록 해라. 연이율로 72를 나누어 나온 숫자가 자본금이 두 배가 되는데 필요한 햇수이다. 예를 들면 연이율이 6퍼센트이면, 72를 6으로 나누면 12가 나온다. 12년 뒤에 그 자본금은 두 배가 된다.-Summa de arithmetica (Venice, 1494.)-

하지만 파치올리는 그 법칙이 어떻게 유도되었는지 등의 추가언급이 없다. 그래서 72의 법칙은 파치올리 이전에 발견되었던 것으로 여겨진다.
증명은 아래와 같다.
이자율(%)을 $$100r$$, 2배가 되는 기간을 $$t$$라고 하자.
$$2 = (1 + r)^{t}$$
양변에 자연로그를 취하면
$$\ln 2 = t \times \ln (1 + r)$$
$$\displaystyle \frac{\ln 2}{t} = \ln (1 + r)$$
우변을 테일러 전개하면
$$\displaystyle \ln (1 + r) = r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} -\cdots=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-r)^k}{k}$$ [2]
이므로, $$r$$이 0에 가까우면 우변 $$\ln (1 + r)$$은 $$r$$에 근사하게 된다.
다시말해 $$\displaystyle \frac{\ln 2}{t}$$가 $$r$$에 근사한다. ($$\ln2=0.693\cdots$$이므로 $$\displaystyle\frac{69}{t}$$가 이자율($$100r$$)에 근사) qed
즉 t×r≒ln2≒0.693이므로 69.3의 법칙, 또는 69.3의 근사인 70의 법칙, 또는 더 많은 자연수로 떨어져 실생활 계산에 편한 72의 법칙을 만든 것이다.
보통 이자율이 매우 작으면 69가 잘 맞고, 보통 70, 커질 수록 72에 맞게 되지만 '''사실 별 차이는 없다.''' 어차피 이 식의 목적은 '''대강''' 언제쯤 가치가 2배가 되는지를 어림짐작하는 것이기 때문에(정확한 값을 알고 싶다면 계산기 잠깐 두들겨서 쉽게 구할 수 있다.) 어느정도의 오차는 허용된다. 오히려 69보다는 70이나 72가 잘 나누어떨어지기 때문에 그 쪽이 많이 쓰이는 듯 하다.
이 경우 ln (1 + r)을 3차까지 테일러 근사해서 공식을 조정해주면 상당히 정확해진다.
t = (69.3/R) * {(600 + 4R)/(600 + R)} (단, R = 100r)
100% 이자율하에서 원금이 2배되는데 0.99년, 거의 1년이라는 정답이 나온다.
참고로, 주요 연이자율 별 2배가 되는 기간
1% : 69.7년
'''2% : 35.0년'''
3% : 23.4년
5% : 14.2년
7% : 10.2년
'''8% : 9.0년'''
10% : 7.3년
이 근사적 공식은 몇가지 개산(槪算)에 응용될수도 있다.
예컨대 영원한 떡밥인 한국 경제규모가 일본의 그것을 능가하는 시점은 몇년뒤인가...
한국의 경제규모가 일본의 1/4 라고 하자.[3] 그리고 한국의 경제성장률이 3%에 일본의 경제성장률이 1%이고 이것이 계속 지속된다고 가정하자. 인구증가율, 물가상승률, 환율상승률은 양국간에 동일하다고 친다.
이 문제는 근사적으로 한국경제가 2%(= 3% - 1%) 성장할때 경제규모가 4배가 되는 시점을 묻는 것과 동일하다.
2% 성장률에서 경제규모가 두배가 되는데 70의 법칙에 의해 약 35년이 걸리므로 경제규모가 4배가 되는데는 70년이 걸릴 것이다.
한국의 일인당 GDP가 일본의 반이고 양국의 성장률 차이가 위와 같다면, 양국의 일인당 GDP는 35년이면 같아질 것이다.

[1] 레오나르도 다 빈치에게 수학을 가르치고 같이 논문도 썼다. 서양에서 회계와 부기의 아버지(father of accounting and bookkeeping)라 불린다고

[2] 이는 자연로그 함수에 대한 테일러 전개이다. 자연로그 함수는 테일러 전개하여 수렴하므로 근사에 써먹을 수 있다.

[3] 실제로는 2019년 IMF 예측치 기준 1/3을 약간 하회한다. 한국 $1.63조/일본 $5.15조.