자연로그

'''자연로그'''는 후술할 기호 $$e$$로 표기되는 특정 수를 밑으로 하는 로그다. 이 로그는 따로 $$\ln$$으로 쓰기도 한다.[1] 여기서 자연(natural)이란 수식어는 자연로그의 도함수를 도출하는 과정에서 밑이 동시에 자연스럽게 정의된다는 점이나, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 하는 지수함수의 미분 등에서 아주 깔끔한 결과가 얻어지는 데서 유래했다.

2. 자연로그의 밑#s-2

개요에서 언급한 자연로그의 밑은 극한값 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac 1n \right)^n$$, 또는 $$x$$에 관한 방정식 $$\displaystyle \int_1^x \frac 1t \, \mathrm{d}t = 1$$의 해로 정의된다. 이 값은 무리수이면서 초월수로, 소수 열째 자리까지 나타내면 $$2.7182818284\cdots\cdots$$이다.[2] 언급할 때마다 숫자열을 일일이 나열하는 것이 번거롭기에 원주율($$\pi$$)처럼 상수 $$e$$로 표기되는데 오일러가 이렇게 썼다.[3] 참고로 표기는 이탤릭체인 $$e$$로 쓰는 것을 원칙으로 한다.[4]

2.1. 정의

2.1.1. 극한

$$e$$가 사용되기 시작한 것은 하단의 정적분 연구가 시초라고 알려져 있지만, 교육 현장에선 이처럼 함수의 극한으로 정의하는 $$e$$가 가장 일반적인 방법이다.[5] 전문적인 용어로는 야코프 베르누이의 계산법이라고 한다.

[image]

함수 $$f(x)=(1+x)^{\frac1x}$$의 그래프에서의 불연속점 $$(0,\,e)$$

함수 $$f(x)=(1+x)^{\frac1x}$$[6]의 그래프를 나타내보면, $$x=0$$에서 불연속이므로, 함숫값을 갖지 않지만 극한값은 갖는다. 함수 $$f(x)$$의 $$x=0$$에서의 극한값은 $$e$$로 수렴한다.

[image]

함수 $$f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x$$의 그래프에서의 점근선 $$y=e$$

함수 $$f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x$$[7]의 그래프엔 점근선이 존재하며, 이 점근선은 해당 함수를 무한대로 보낼 때 수렴하는 특정 값이며, 이는 위에서 정의된 $$e$$와 동치이다.

'''정리.''' $$\displaystyle e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}$$
'''따름정리1.''' 함수 $$f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x$$의 경우엔 '음의 무한대'의 극한을 취해도 성립한다. $$\displaystyle e=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$$.
'''따름정리2.''' 수열의 극한에서도 통한다. 두 무한수열 $$\left\{\left(1+\dfrac1n\right)^n\right\}$$ 또는 $$\left\{(1+n)^{\frac1n}\right\}$$에 대해 $$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim_{n\to0}(1+n)^{\frac1n}$$이 성립한다.

2.1.2. 정적분

최초의 $$e$$는 함수 $$y=\dfrac1x$$ 그래프 밑의 넓이(정적분) 연구에서 처음으로 등장한다. 이 정적분은 로그함수의 성질을 만족하므로 로그함수이며, 이 정적분의 값을 $$1$$로 만드는 적분 상한이 로그함수의 밑이 된다. 그 밑이 $$e$$인 것이다.

[image]

정적분 $$\displaystyle \int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t=1$$의 그래프
(해를 구하면 $$x=e\approx2.71828182845\cdots$$이다.)

윗문단처럼 교육 현장에서 정적분으로 정의하지 않는 이유는 미적분을 몰라도 정의할 수 있는 지수함수부터 먼저 가르치고 로그함수를 지수함수의 역함수로 가르치기 때문이다. 본래 일반적인 지수함수는 자연로그함수의 역함수, 그러니까 자연지수함수의 특수한 경우이다. 자연로그와 자연지수함수 간의 역함수 관계에 의해 $$x = e^{\log_ex}$$ 가 성립하므로, $$x$$에 $$a^t$$를 치환해 넣으면, $$a^t = e^{t\log_ea}$$, 즉 $$a^t$$를 $$e^{?}$$ 꼴로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

2.1.2.1. 둘러싸인 넓이

상수 $$e$$를 정적분, 로그함수, 극한의 개념 없이 직관적으로 정의할 수도 있다. 좌표평면상에 표현되는 그래프의 영역이 모두 $$x \ge 0,~y\ge0$$ 내에 존재하므로 음의 값을 갖는 정적분이 없다. 따라서 넓이로 지칭할 수 있다.

좌표평면상의 네 개의 그래프 $$ y=\dfrac{1}{x},~$$ $$x$$ 축$$, ~x=1,~x=t>1 $$로 둘러싸인 넓이를 $$1$$이라고 할 때, $$t=e$$이다. 이때 $$e$$의 소수 부분은 순환하지 않는 무한소수이며 대략 $$2.71828~18284~\cdots$$로 알려져 있다.

이는 2015 개정 교육과정상 중학교 2학년 수준에서도 이해할 수 있는 정의이다.
'''<확인하기>''' 네 그래프의 교점 $$\displaystyle (1,~1),~(1,~0),~(t,~0),~\left(t,~\dfrac{1}{t}\right)$$을 꼭짓점으로 하는 사다리꼴의 넓이 $$\dfrac{1}{2} \times (t-1)\times \left(1+\dfrac{1}{t}\right)$$는 위 정의상의 넓이를 포함할 수 있다. 다시 말해 $$1$$보다 사다리꼴의 넓이가 약간 커야 하며, 실제로 $$e=2.71828~18284~\cdots$$를 대입하여 확인해보면 $$0.17520~11936~ \cdots$$만큼 더 크다는 것을 확인해볼 수 있다.
아래는 중학교 3학년 범위 내에서 $$e$$가 어느 특정 값임을 가르쳐주지 않았을 때 대략적인 범위를 대수적으로 알아내는 방법이다.
'''<따름 정리>''' 네 그래프의 교점 $$\displaystyle (1,~1),~(1,~0),~(t,~0),~\left(t,~\dfrac{1}{t}\right)$$을 꼭짓점으로 하는 사다리꼴의 넓이 $$\dfrac{1}{2} \times (t-1)\times \left(1+\dfrac{1}{t}\right)$$는 (위 정의상) $$1$$보다 커야 하며, 이를 만족하는 $$t$$ 값의 범위를 이차부등식으로 풀이하면 $$t>1+\sqrt 2$$이다. 따라서 $$1+ \sqrt 2<e$$인즉 $$2.414 \cdots <e$$임을 대수적으로 알 수 있다.

2.2. 특칭 현상

[clearfix]

한국어 대한수학회	자연로그의 밑 (自然로그의 밑)
한국어 고교 교육과정	무리수 $$e$$ (대부분의 출판사) 자연로그의 밑[8] 성지출판사 계승혁(서울대학교 수학과 교수) 외 저 수학Ⅱ(2007 개정 교육과정) 중 '함수의 극한과 연속' 단원 중[image] 수 $$e$$ (일부) 극한값 $$e$$ (일부)
영어	base of the natural logarithm (natural) base e
중국어	自然对数的底
일본어	自然対数の底

공인된 명칭인 ‘자연로그의 밑’ 대신에, 항간에서 불리는 ‘자연상수’, ‘네이피어 상수’, ‘오일러의 수’ 등은 모두 비공식 명칭이다. ‘자연로그의 밑’ 자체가 이미 특칭된 명칭이긴 하지만, 소유격조사 -의로 풀어쓴 듯한 느낌도 있고, 자연로그를 미리 알아야 그 정의를 알아야 하는 ‘용어의 선후 관계적 특성’ 때문으로 보인다.
'''첫째,''' 특히 유독 대한민국에서만 퍼진 '자연상수'란 용어가 공식 용어인 줄 아는 사람이 많지만 자연상수는 표준 용어가 아니다. 공식 수학 용어를 채택하는 대한수학회에서도 $$e$$는 '''자연로그의 밑'''으로 등재했으며, 표준국어대사전이나 기타 백과사전에서 '자연상수'라는 말은 찾아볼 수가 없다. 보통 마땅한 용어가 없으면 해외에서 수입하는 경우가 있으나, 자연상수는 이런 연유조차 발견할 수 없다. 일단 영어권에서 natural constant란 용어는 존재하지 않으며 오히려 natural constant라고 하면 물리 상수로 알아듣는다. 또 한국 수학 교육과정의 용어에 큰 영향을 끼친 일본에서조차 自然定数라고 하지 않는다.
자연상수는 언제 누가 어디서 처음으로 썼는진 알려지지 않았으나 구글 검색으로 나오는 가장 오래된 기록은 1999년 10월 8일경 작성된 한 경제학 칼럼 개인 사이트로 보인다. 이후 리그베다 위키의 기여 역사를 보면 구글 완전 일치검색어 통계 '자연상수' 빈도 수가 높아지는 시기와 리그베다 위키에 자연상수 문서가 작성된 시기가 대략적으로 일치하는데, 위키의 전파성과 어느 정도 상관관계가 있는 것으로 보인다. 또한 서울대학교의 기초교육 강의 교수로 지내는 정 모 교수가[9]가 '자연상수'란 용어를 독자연구로 밀고 있다고 알려져 있다. 반대로, 같은 서울대학교 교수인 계 모 교수는 이 용어 사용에 대해 회의적이라고 알려져 있다. 논란에 불을 지핀 격인 서울대학교 측에서도 이 일을 아는 모양이었는지, 이후 미적분학 1⁺ · 2⁺ (김홍종 저) 머리말에 '자연상수'는 공식 용어가 아니라듯 '''이 책에 한해서 그렇게 부르겠다는 문구'''가 추가적으로 차쇄본에 들어갔다.[10] 이전까지는 아무렇지 않게 서술되었으나, 최근 수정판 머리말에 피드백을 넣어두어 공식 용어가 아님을 확인하였다.[11]
이렇듯이 '자연상수' 사용을 따로 금지해야 한다는 법은 없으나, 객관적인 정보를 전달해야 하는 논문 저자, 교육자, 전공자 등 수학계에 있는 사람들은 이러한 불확실한 용어 사용을 가급적 피해야 할 것이다. 사용해봤자 좋을 것도 없는 게 인터넷에 떠돌아다니는 출처 불확실 정보를 알려줬다는 것임을 드러내는 격이다.
'''둘째,''' '네이피어 상수(Napier's Constant, ネイピア数, 纳皮尔常数, constante de Napier 등)'로 부르자는 움직임이 있지만, 이 마저도 하자가 있다. 네이피어는 자연로그의 값을 처음으로 기록한 사람이지 $$e$$를 연구한 사람이 아니며, 이 값을 계산하는 방법은 오히려 야코프 베르누이가 창안해냈다. 굳이 이 사안에 인명을 기려내려면 네이피어가 아니라 야코프 베르누이의 이름을 담아내야 할 것이다. 하지만 베르누이의 수($$B_n$$)가 이미 존재하는 문제가 있어서 신중을 가해야 한다.[12]
'''셋째,''' '오일러의 수(Euler's Number; オイラー数, 欧拉数, número de Euler 등)'라는 특칭도 있는데, 이는 국내보다 해외에서 주장하고 있다. 하지만 오일러의 이름이 붙은 수가 너무 많아서 이 수 하나만을 오일러의 수라고 특칭하기 어렵다는 문제가 있다.
보통 다른 나라에서 자연로그의 밑을 따로 지칭하려는 움직임은 극소수이며, 대한민국에서만 왜 이런 현상이 발생하는지에 대한 여러 추측이 있다. 가장 유력한 가설은 '''교육과정 서술상의 순서'''의 문제점이라는 게 중론이다. 외국 교육과정에선 대한민국 교육과정과 반대로 자연로그를 먼저 서술한 뒤 그 다음 밑을 알려주는 순서를 따르는데[13] 대한민국에서는 $$e$$를 먼저 서술하는 성격 탓에 이런 현상이 발생했다는 것. 그래서 대부분의 국내 교과서에선 '무리수 $$e$$'라고 부르고 있다. 하지만 이 경우는 국내 교육과정 하에 승인된 용어일 뿐, 국제에서 범용화된 용어는 아니다. 해외에선 Irrational number $$e$$라고 하는 경우가 드물다. 정작 교육과정에서 $$e$$가 무리수임을 증명하는 과정은 서술하고 있지 않다. 차라리 교과서 정의에서 채택하고 있는 극한의 방식을 따라 '극한값 $$e$$'로 쓰는 게 더 적절할 수도 있다. 2015 개정 교육과정 일부 교과서에선 이 점에 근거해 '극한값 $$e$$' 혹은 '수 $$e$$'로 바뀌었다.

3. 활용

3.1. 역함수

자연로그를 취하는 함수의 역함수는 로그함수와 지수함수의 관계에 의해 $$e^x$$이다. 전산수학에선 $$\exp(x)$$로 표기하기도 한다.

3.2. 자연로그의 극한

모든 수를 대표하는 수($$e$$)와 연관되는만큼 특이한 극한값을 볼 수 있다.

3.2.1. 소수 정리

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\left(\dfrac x{\ln x}\right)}=1 $$

[1] 고등학교 과정에서는 $$\ln$$으로만 쓰지만, 대학 미적분학 분야에선 상용로그($$\log_{10} = \log$$)를 접할 일이 거의 없기에 $$\log$$를 상용로그가 아닌 자연로그의 의미로 쓰는 경우가 많다. 이렇게 사용하는 경우에는 상용로그가 나올 것 같으면 $$\log_{10}a$$처럼 밑을 $$10$$으로 명시하거나 $$\dfrac{\log a}{\log 10}$$와 같이 표기해 상용로그를 아예 없는 것처럼 취급한다.[2] 더 자세한 숫자열은 자연로그의 밑/값 참조.[3] 오일러(Euler)의 첫 글자를 땄다는 설이 있는데 이는 사실무근이다. 오히려 지수함수(Exponential Function)의 앞글자에서 따온 거란 이야기가 지배적이다. 자연로그 ln의 밑 e는 지수함수에서도 밑이니까. 또한 오일러 이전에 극한식으로 정의되는 값을 찾기 위한 연구 기록을 베르누이가 남긴 바 있고, 나중에 라이프니츠와 하위헌스가 이 값을 $$b$$라고 쓴 전례(정황상 베르누이의 이름에서 따온 듯하다)가 있다.[4] 나무위키에선

''e''

또는

[math(e)]

로 쓰면 된다. 각각 ''e'', $$e$$로 표시된다.[5] 참고로 한국의 정규 고등학교 교육과정에선 이 문서에서처럼 함수 $$f(x)=(1+x)^{\frac1x}$$의 그래프와 함수 $$f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x$$의 개형 및 점근선, 함수의 연속 및 불연속을 동원해가며 상세하게 서술되어 있지 않으며, 수식적인 정의만으로 서술되어 있다. 그도 그럴 것이 지수함수와 유리함수를 뒤죽박죽 섞어놓은 합성함수의 그래프를 그리려면 미분을 다 떼서 도함수의 의미(함수의 증감, 극값 등), 이계도함수의 의미(그래프의 오목 및 볼록, 변곡점 등)가 뭔지를 알아야하는데, $$e$$의 개념은 미분을 들어가기도 전에 극한을 배울 때 등장하기 때문이다.[6] 해당 함수에 대한 별다른 명칭이 없다. 다항식을 밑으로 하는 지수함수인데 지수가 분수식으로 표현되어 있으므로 그냥 복잡한 '합성함수'로 보는 것이 맞다.[7] 해당 함수에 대한 별다른 명칭이 없다. 유리식을 밑으로 하는 지수함수이므로 '합성함수'로 보는 것이 맞다.[8] 성지출판사 계승혁(서울대학교 수학과 교수) 외 저 수학Ⅱ(2007 개정 교육과정) 중 '함수의 극한과 연속' 단원 중
[image][9] 네이버캐스트 수학 산책에 '자연 상수 $$e$$'를 작성한 사람이다. 참고로 네이버 관련 자료에 모두 이의 신청을 받아들여 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '극한값 $$e$$'로 모두 수정된 상태인데 이 분만 고집을 부리고 있다고 한다.[10] [image] [11] 참고로 해당 서적엔 자연로그의 밑 외에도 '''이 책에서만 이렇게 부르기로 약속'''된 독자적인 기호나 용어가 여럿 있다.[12] 정확히 말하면, 수가 아니라 수열이지만 이미 이쪽도 입말이 되어버리는 바람에, 혼동할 가능성이 있다. 비슷한 케이스로 피타고라스 수가 있는데 이쪽도 엄밀히 말하면 수가 아니고, 집합족이라고 하는 수하고는 다른 대상이다.[13] 일각에선 자연로그의 정의 자체보단 값($$2.71828\cdots\cdots$$)만 외우게 되는 주입식 교육을 우려해 이 방식이 채택됐다고 해석한다.

가우스와 르장드르의 추측을 시작으로 리만 가설에 이르기까지 소수의 구조를 밝혀낼 열쇠가 되는 정리이다. 자세한 내용은 문서 참조.

3.2.2. 오일러-마스케로니 상수

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)=\gamma $$

반비례 관계 그래프와 자연로그와의 차를 나타내는 수. 자세한 내용은 문서 참조.

3.2.3. 특수한 함수의 극한

보통 '로그함수의 극한'이라고 하면 이 내용을 떠올리기 쉬우나[14] 사실은 '''특정 지수함수에 로그를 취한 합성함수의 극한'''을 배우는 것이다. 겉은 로그지만 속은 지수식이고, 그마저도 일반적인 지수식도 아니므로[15] '''합성함수'''로 보는 게 타당하다.
앞서 $$e$$를 정의할 때 다뤘던 '''합성함수''' $$f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x$$에 자연로그를 취하면 로그의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다.

$$\ln f(x)=\ln\left(1+\dfrac1x\right)^x=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)$$

여기서 $$\ln f(x)$$를 $$g(x)$$라고 하면, 다음과 같은 개형이 나타난다.

[image]

함수 $$g(x)=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)$$의 그래프와 점근선 $$y=1$$

이 그래프의 점근선을 구하려면 함수에 무한대를 넣어야 하며 그 값은 $$y=1$$이다.

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)=1$$

음의 무한대를 넣어도 동일한 결과가 나온다.

$$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)=1$$

$$e$$를 정의할 때 다룬 위와는 또 다른 '''합성함수''' $$f(x)=(1+x)^{\frac1x}$$에 자연로그를 취하면 로그의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다.

$$\ln f(x)=\ln(1+x)^{\frac1x}=\dfrac1x\ln(1+x)=\dfrac{\ln(1+x)}x$$

여기서 $$\ln f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}x$$를 $$g(x)$$라고 하면, 다음과 같은 개형이 나타난다.

[image]

함수 $$g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}x$$의 그래프와 불연속점 $$(0,\,1)$$

이 그래프에서 불연속점인 $$x=0$$에서의 $$y$$ 좌표, 즉 $$x \to 0$$으로 수렴하는 극한값을 구하면 $$1$$이다.

$$\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1$$

$$e$$을 밑으로 하는 지수함수의 정점이 원점이 되도록 평행이동한 그래프의 함수 $$y=e^x-1$$의 수식을 $$y+1=e^x$$로 나타내자. 이 항등식의 양변에 자연로그를 취하면 우변은 로그의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다.

$$\ln(y+1)=\ln e^x=x\ln e=x$$

정리 a.

여기서 '''합성함수''' $$f(x)=\dfrac x{e^x-1}$$의 수식은 정리 a.에 따라 아래처럼 조작할 수 있다.

$$\dfrac x{e^x-1}=\dfrac{\ln(y+1)}{e^{\ln(y+1)}-1}=\dfrac{\ln(y+1)}{(y+1)-1}=\dfrac{\ln(y+1)}y$$

여기서 매개변수 $$t$$를 이용해 함수의 수식을 $$t=\dfrac x{e^x-1}=\dfrac{\ln(y+1)}y$$로 놓으면 두 함수의 불연속점은 아래 그래프처럼 $$(0,\,1)$$임을 확인해볼 수 있다.

[image]

함수 $$t=\dfrac x{e^x-1}$$의 그래프 (붉은 실선)
함수 $$t=\dfrac{\ln(y+1)}y$$의 그래프 (푸른 실선)
및 불연속점 $$(0,\,1)$$

따라서 $$x\to0$$로 수렴하는 값은 $$y\to0$$로 수렴하는 값과 같으므로,

$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac x{e^x-1}=1$$

일반적으로 정의하는 $$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x$$의 값도 위의 역수이므로 $$1$$이다. 참고로 이 함수의 수식 $$\dfrac{e^x-1}x$$은 어디서 떡하고 튀어나오거나 인위적으로 제시된 게 아니라 '''지수함수의 도함수'''를 정의하는 과정에서 고안되었다. 살펴보면 미분계수의 정의 꼴에서 쓰이는 평균변화율 $$\dfrac{e^x-e^0}{x-0}$$와 같다.

3.3. 미적분

3.3.1. 도함수

밑이 어떤 상수 $$e$$[16]인 로그함수 $$\log_e x$$의 미분을 정의에 따라 나타내고 적절히 변형해주면 다음과 같은 식이 얻어진다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_ex&=\lim_{h\to0}\frac{\log_e(x+h)-\log_ex}h=\lim_{h\to0}\frac{\log_e\left(1+\dfrac hx\right)}h=\lim_{h\to0}\frac 1h\log_e\left(1+\frac hx\right) \\
&= \lim_{h\to0}\frac1x\frac xh\log_e\left(1+\frac hx\right)=\frac1x\lim_{h\to0}\log_e\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}=\frac1x\log_e\lim_{h\to0}\left\{\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}\right\} \end{aligned})]

마지막 식에서 진수의 극한은 $$\dfrac hx=t$$치환을 통해 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있으며

$$\displaystyle \lim_{h\to0}\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}=\lim_{t\to0}\,(1+t)^{\frac1t}$$

이 식은 특정 상수로 수렴하게 되어있고, 그 값을 $$e$$라고 정의하면 최종적으로 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_ex=\dfrac1x\log_ee=\dfrac1x$$이 된다. 이와 더불어 $$\log_ex=\ln x$$로 정의한다.
즉, $$e$$는 미분하면 $$\dfrac1x$$이 되는 로그함수의 특징을 정의하는 과정에서 '''자연스럽게''' 유도되는 상수인 것이다. 이 극한식의 정의를 이용하면 미분해도 변하지 않는 지수함수의 밑은 $$e$$임을 '''자연스럽게''' 증명할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x&=\lim_{h\to0}\frac{e^{(x+h)}-e^x}h=\lim_{h\to0}\frac{e^x(e^h-1)}h \\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h \end{aligned})]

$$e^h-1=t$$로 치환하면 $$h\to0$$일 때 $$t\to0$$이고 $$h=\ln(1+t)$$이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h&=\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1+t)}=\lim_{t\to0}\frac1{\dfrac1t\ln(1+t)} \\
&=\lim_{t\to0}\frac1{\ln(1+t)^{\frac1t}}=\frac1{\ln e} \\
&=1 \end{aligned})]

따라서 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x$$가 된다.

3.3.2. 로그 적분 함수

$$\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}=\left(\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\right)\circ\ln x$$[17]
마지막 항은 로그 적분 함수를 지수 적분 함수와 자연로그의 합성으로 나타낼 수 있다는 의미이다.

자연로그로 유도할 수 있는 특수함수이다. 자세한 내용은 로그 적분 함수 문서 참조.

3.4. 무한급수

$$e^x$$를 테일러 전개한 식에 $$x=1$$를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 이항정리를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다.
$$t\to0$$인 극한식에서 $$t=\dfrac1n$$으로 치환해주면 $$n\to\infty$$이며 지수가 $$n$$으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{\frac1t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\frac1{n^r} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!\cdot n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)\left(1-\dfrac2n\right)\cdots\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}{r!}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)}{2!}+\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)\left(1-\dfrac2n\right)}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n\left(1-\frac{r-1}n\right)}{n!}\right\} \\
&=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})]

3.5. 경제학

기간 $$t$$ 동안에 이자율(=증가율) $$i$$로 연속 성장(continuously compounded)할 때 그 극한이 지수함수로 나타나는데 밑이 $$e$$가 된다. 다음과 같이 유도할 수 있다.
연속 성장의 횟수가 $$n$$이라고 하면 $$1$$회 성장 기간은 $$\dfrac tn$$이며 증가율은 $$\dfrac{it}n$$가 된다.
지난 성장 결과를 $$a_k$$라고 하면 다음 성장 결과 $$a_{k+1}$$은 $$a_{k+1} = \left(1+\dfrac{it}n\right)a_k$$이며 $$a_1 = 1$$이라고 하면 이 점화식은 등비급수의 꼴이므로 $$a_k = \left(1+\dfrac{it}n\right)^k$$로 풀린다. $$k=n$$일 때, $$n\to\infty$$의 극한을 취하면

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{it}n \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1+ \frac{it}n\right)^{\frac n{it}\cdot it} = \lim_{n\to\infty}\left\{\left(1+\frac{it}n\right)^{\frac n{it}}\right\}^{it}= e^{it}$$

ln(1+x)=x 로 근사하여 변화율을 구할 때도 쓴다.

3.6. 기타

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac 1n \right)^n = \dfrac1e$$이다. 고등학교 교육과정에선 등장하지 않지만 극한에 대한 이해를 평가하는 문제로서 간간히 출제되기도 한다.
- 이 값은 가챠처럼 카드 뽑기 게임에서도 활용되는 수이다. 확률이 $$\dfrac 1n$$인 카드를 $$n$$번 뽑았다고 했을 때, 단 한 번도 안 나올 확률은 $$p= \dfrac 1e=0.36787944117144\cdots$$가 된다. 이 식은 $$n=100$$ 정도만 돼도 충분히 $$\dfrac 1e$$값에 근접하기에, 만약 확률이 $$1\%$$인 뽑기를 $$100$$번 한다고 해도 $$36.79\%$$정도의 확률로 1번도 안 뜰 수 있다. 참값은 약 $$36.60\%$$으로 거의 일치함을 알 수 있다.
$$x>0$$ 구간에서 $$y = x^x$$의 최솟값은 $$x = \dfrac 1e$$에서, $$y = x^{\frac 1x}$$의 최댓값은 $$x=e$$일 때 나온다. 또한 $$a^x$$와 그 역함수가 접할 조건은 $$a = e^{\frac 1e}$$일 때이며 접점은 $$(e,\,e)$$이다.
자연로그에 $$1$$부터 $$10$$까지의 자연수 및 $$e$$, $$\pi$$를 대입한 값은 다음과 같다. 소수점 아래 $$32$$번째 자리수[18]
1구#s-1.2 분의 1자리. 1구 =10^{32}=1경의 제곱수.
까지 확실한 값이며, 해당 자리수까지 반올림할 시엔 $$33$$번째 자리의 숫자를 보고 판단하면 된다. $$33$$번째 자리수는 반올림이 적용되어있지 않으며 $$34$$번째 자리수 이후의 값을 생략한 것에 불과하니 주의할 것. 한자 문화권에선 만 단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 4자리씩 끊었다.

$$\begin{matrix}\begin{aligned}\ln 1 &= 0\ \\ \ln 2 &= 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,1214\,5817\,6\cdots \\ \ln e &= 1 \\ \ln 3 &= 1.0986\,1228\,8668\,1096\,9139\,5245\,2369\,2252\,5\cdots \\ \ln \pi &= 1.1447\,2988\,5849\,4001\,7414\,3427\,3513\,5305\,8\cdots \\ \ln 4 &= 1.3862\,9436\,1119\,8906\,1883\,4464\,2429\,1635\,3\cdots \\ \ln 5 &= 1.6094\,3791\,2434\,1003\,7460\,0759\,3332\,2618\,7\cdots \\ \ln 6 &= 1.7917\,5946\,9228\,0550\,0081\,2477\,3583\,8070\,2\cdots \\ \ln 7 &= 1.9459\,1014\,9055\,3133\,0510\,5352\,7434\,4317\,9\cdots \\ \ln 8 &= 2.0794\,4154\,1679\,8359\,2825\,1696\,3643\,7452\,9\cdots \\ \ln 9 &= 2.1972\,2457\,7336\,2193\,8279\,0490\,4738\,4505\,1\cdots \\ \ln 10 &= 2.3025\,8509\,2994\,0456\,8401\,7991\,4546\,8436\,4\cdots \end{aligned}\end{matrix}$$

$$xe^x = 1$$를 만족하는 오메가 상수란 게 있다. 지수함수의 특수한 역함수인 람베르트 W 함수에 $$1$$을 대입하면 얻을 수 있다.
서로 무관한 수처럼 보이는 $$e$$와 원주율 $$\pi$$, 허수단위 $$i$$를 합치면 [math(e^{\pi i} + 1 = 0)]이란 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 자세한 것은 복소평면상의 단위원을 나타낸 아래의 그래프와 오일러 공식 참고.

[image]

해석적 정수론에선 자연로그가 다수 합성된 꼴의 함수($$\ln\ln\ln\ln x$$ 같은 꼴)가 꽤 자주 나온다.

4. 복소로그함수

5. 여담

고등학교에서 $$e$$를 배울 때는 '무리수 $$e$$'란 명칭으로 배우게 된다. 하지만 고등학교에선 로그함수의 미분에 대해 배우기도 전에 $$e$$의 극한식 정의부터 배운다. 실제 미적분학을 비롯한 수학 전반에서 $$e$$를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 현재 자연로그의 경우 고교과정에서 자연계열에만 편성되어 있다.
$$e$$가 무리수임을 보이는 것은 쉬우나[19]
귀류법으로 e = \dfrac mn이라 하고, n!e를 생각해보자.
, 정수다항식의 근이 될 수 없는 초월수임을 보이는 건 훨씬 어렵다.[20]
그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 ae+b/e=c,a≠0을 만족하는 정수해 a,b,c가 있다고 가정한 후 e와 1/e의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다.
여러 $$e^e$$ 등의 숫자들은, 심지어 $$e+\pi$$ 마저도 유리수인지 무리수인지조차 확인이 되지 않고 있다.
$$e$$는 $$e^{\pi i} + 1 = 0$$이란 세상에서 가장 아름답다고 하는 식에 나오기도 한다.
원주율 $$3.141592\cdots$$를 [math(\pi)]로 간단하게 쓰는 것처럼 $$e$$ 역시 비순환소수, 즉 무리수이다. 유의미한 수학 상수 중에선 초월수로서 처음으로 증명된 수이기도 하다. 사족으로, 의미가 큰 건 아니지만, 초월수로 증명된 첫 번째 수는 $$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001\cdots$$으로 정의되는 리우빌 상수(Liouville's Number)로, 이 수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 만들어진 숫자다. 발견 자체는 원주율이 훨씬 빨랐지만, 원주율이 초월수로 증명된 건 $$e$$가 초월수로 증명된지 9년 후이다.
밑 문서에도 적혀있지만 '자연로그의 밑'과 관련해선 발음에 유의해야 한다. '자연로그의 밑으로 갖는…'과 같은 구절에서 [미츠로]라고 읽는 사람이 많으나 [미트로]라고 읽는 게 올바르다. '밑을' 역시 [미츨]이 아니라 [미틀]로 발음해야 한다.
실제로는 수지만 쓸 때는 그냥 $$e$$라고 쓰는 것을 이용해 문과 놀리기를 하기도 한다.[21]
현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 e 관련 내용이 미적분 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다.
울프럼 알파에선 log(x)를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 $$10$$을 밑으로 갖는 로그를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다. 문과와 연관된 금융공학에서도 $$\ln x$$로 통일했다. 왜냐하면 자연로그와 상용로그를 쓰는 곳은 파생상품인데, 서로 쓰는 분야가 달라서 $$\log x$$로 통일을 할 수가 없기 때문이다. 이 자연로그는 고교/대학 과정 이상의 미적분에서 빠질 수 없는 필수 요소다.
소수점 아래 열 번째 자리까진 매우 쉽게 외울 수 있다. $$2.7$$[math(\mathbf{18}\,)][math(\mathbf{28}\,)][math(\mathbf{18}\,)][math(\mathbf{28}\,)][math(\mathbf{4})]$$\cdots$$(…) $$9$$번째 자리까지만 본다면 유리수 같이 보이는 착각이 일어난다.[22]
'2.친일파 이시팔 시팔 이시팔'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 2.718 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 3, e, 2의 대소를 비교하라 할 때.
사실 소수점 아래 열다섯 번째 자리까지도 그리 어렵지 않다. $$2.7$$[math(\mathbf{18}\,)][math(\mathbf{28}\,)][math(\mathbf{18}\,)][math(\mathbf{28}\,)][math(\mathbf{45}\,)][math(\mathbf{90}\,)][math(\mathbf{45})]$$\cdots$$ $$45$$와 $$90$$이 깔끔하게 배수 관계라 기억하기 쉽다.
한편, $$2^2$$, $$2^e$$, $$e^2$$, $$e^e$$이 동남 방언에선 완벽히 구분되는데 표준 한국어에선 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고, 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는(...) 떡밥이 돌기도 했다. 해당 방언 사용자는 2e와 ee를 각각 발음해 보면 감이 온다. 사실 전국적으로 그렇게 발음하는 사람이 많은데, 표준어 사용자라고 그렇지 않다는 건 없다. 그러므로 구분이 안 된다는 말은 어떻게 보면 틀린다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문. 참고로 이 발음은 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. 성문음 참조.(여담이지만, 중세 국어엔 /ʔ/에 해당하는 음가가 있었다. 그게 바로 ㆆ(여린히읗). 사실 지금도 한국어구사자들은 이 발음을 무의식적으로 발음한다. 쉽게 말해 명치를 맞을 때 내는 "윽!"소리의 "ㅇ"의 실제 발음이다. 일(一)을 발음할 때도 나오는 발음이다.)
원주율에 비해 떡밥이 적다. 우리 모두 동그라미를 그릴 줄 알기에 원주율에 대해선 직감적이지만(애초에 원의 지름과 원의 둘레의 비를 원주율 $$\pi$$로 정의한 것이니, 당연히 직관적으로 이해할 수 있다.) 무리수 $$e$$는 적용된 도형이 거의 없으니... 굳이 찾아본다면 삼각함수의 물결 모양 [23]
삼각함수는 e를 밑으로 하는 지수함수의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 오일러 공식을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.
, 정규 분포의 종 모양 곡선, 현수선, 앵무조개의 껍데기가 그리는 나선 정도?
최근 개의 실제 연령을 산정하는 식이 16*개 나이(시간)의 자연로그+31이라고 주장하는 연구가 나왔다... 개의 2~7세가 사람으로 치면 25~50세에 해당한다고 한다.

6. 관련 문서

자연로그의 밑/값
중등교육과정
- 미분과 적분 (제7차 교육과정)
- 수학Ⅱ (2007 개정 교육과정)
- 미적분Ⅱ (2009 개정 교육과정)
- 미적분 (2015 개정 교육과정)
로그 적분 함수
로피탈의 정리
소수 계량 함수
폰 망골트 함수
체비쇼프 함수
소수 정리
오일러 등식

[14] 좀 더 수학적인 가치가 있는 위 둘은 고등학교 교과서에서 아예 언급조차 없다(...).[15] 유리식에 지수가 합성된 형태 혹은 다항식에 유리식의 지수가 합성된 형태의 합성함수이다.[16] 막연하게 '밑이 상수'임을 나타낸다는 전제로서, 아직 이 단계에선 $$e$$가 어떤 관계식으로 나타내어지는지, 어떤 값인지는 모른다.[17] 마지막 항은 로그 적분 함수를 지수 적분 함수와 자연로그의 합성으로 나타낼 수 있다는 의미이다.[18] $$1$$구#s-1.2 분의 $$1$$자리. $$1$$구 $$=10^{32}=1$$경의 제곱수.[19] 귀류법으로 $$e = \dfrac mn$$이라 하고, $$n!e$$를 생각해보자.[20] 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 ae+b/e=c,a≠0을 만족하는 정수해 a,b,c가 있다고 가정한 후 e와 1/e의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다.[21] 현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 $$e$$ 관련 내용이 미적분 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다.[22] '$$2.$$친일파 이시팔 시팔 이시팔'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 $$2.718$$ 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 $$3$$, $$e$$, $$2$$의 대소를 비교하라 할 때.[23] 삼각함수는 $$e$$를 밑으로 하는 지수함수의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 오일러 공식을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.

[24]

문서 삭제식 이동 (자연상수 → 자연로그)
사유 1: 대한수학회 수학용어에서 자연상수란 용어는 존재하지 않음.
사유 2: 정식적인 번역 용어는 자연로그의 밑이므로 자연로그의 하위 문단으로 구성하는 게 바람직함.

[24] 문서 역사가 있는 위치를 명기함.