가우스 법칙
1. 개요
'''Gauss' law'''
고등학교 물리를 배우다가 일반물리학에서 전자기학을 배우게 되면서 가장 먼저 고등 물리에서 배우는 전자기학과의 차이점 중 하나이다.
닫힌(closed) 가우스 면(Gaussian surface)[1]을 임의로 잡았을 때, 가우스 면을 통과하는 전기선속(electric flux) $$ \displaystyle F$$는 다음과 같이 주어진다.
$$ \displaystyle F \equiv \oiint{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \dfrac{ q_{\textrm{enc} } }{ \varepsilon_{0} } $$
[1] 전자기학에서 폐곡면(closed surface)을 달리 이르는 말이다. 폐곡면이란 '내부 공간과 외부 공간을 분리하며, 이 표면을 지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없게 하는 표면'을 뜻한다.
적분 내 항을 살펴보면, $$ \mathbf{E} $$은 전기장이고, $$ \mathrm{d} \mathbf{a} $$은 가우스 면에 수직하고 면적이 $$ \mathrm{d}a $$인 면적소 벡터이다. 면적소 벡터의 방향은 어떤 면적소의 영역에 수직하다.
즉, 가우스 면을 통과하는 전기선속은 가우스 면 안에 든 전하의 양에 비례한다는 것을 알 수 있다.
2. 상세
가장 간단하고 쉬운 설명은 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속(electric flux)에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.[2] 프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다.[3] 이 전기장에 면적을 곱한 것[4]이 전기선속[5]이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기선속 값이라는 것이다.[6]
3. 증명
어떤 부피 영역 $$V$$를 감싸는 폐곡면 $$S$$를 고려하도록 하자. 또한 아래 그림과 같이 $$S$$ 내부에 미소 전하 $$\mathrm{d}q$$가 있다고 해보자.
[image]
이제 우리는 이 미소 전하에 의한 $$S$$ 위의 미소 전기력 선속 $$\mathrm{d}F$$를 구하고자 한다. 구하는 전기력 선속은
$$\displaystyle \mathrm{d}F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} $$
[2] 물론 총 전기선속이 0이라 해서 그 공간의 전기장이 0인 것은 아니다. 전기 쌍극자만 봐도 알 수 있는 것[3] 이것을 설명하는 이론이 바로 장 이론. 전자기학에서는 원천전하로부터 전기장이 발생해 이 전기장이 다른 전하에 힘을 주게 된다는 것이다. 쿨롱의 힘에서 힘이 가해지는 전하의 전하를 나누고 식을 봤을 때 거리 제곱의 역수에 비례하는 것으로 직관적으로 알 수 있다. 자세한 것은 전기장 참고[4] 정확히 말하면 면적벡터에 내적한 것[5] 전기장을 미소면적에 대해 내적한 값이 미소 전기선속이므로 이것을 적분한 값이 전확인 그 면적에 해당하는 전기선속 값이다.[6] 물론 진공 속이 아닌 경우 유도전하가 생기므로 두 개의 경우로 나타낼 수 있게 된다.
$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi}} }{\xi^{2}} $$
$$\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} $$
$$\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} $$
$$\displaystyle F=\iiint_{V} \frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} $$
그렇다면, 아래의 그림과 같이 미소 전하가 폐곡면 $$S$$ 외부에 있으면 어떻게 될까?
[image]
이 경우에도
$$\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} $$
이에 따라 가우스 법칙은 아래와 같은 결론을 주게 되고,
$$\displaystyle F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} $$
3.1. 미분형
계속해서 가우스 법칙의 미분형을 유도하자. 발산 정리에 의해
$$ \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} $$
$$ \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \oiint_{S}{\frac{\hat{\boldsymbol{\xi}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}{{{\xi} }^{2}}} \iiint_{V}{\,\mathrm{d}q} $$
$$ \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} $$
$$ \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} $$
$$ \displaystyle \mathrm{d}q = \rho \, \mathrm{d}V $$
$$ \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,\mathrm{d}V $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0} $$