분리 벡터

1. 개요

3. 관련 문서

1. 개요

'''Separation vector'''
위치 벡터에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 하나는 전하나 전류가 '''존재하는''' 지점으로 $$\mathbf{r'}$$으로 쓴다. 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 '''측정하는''' 지점으로서 $$\mathbf{r}$$으로 쓴다. 이 때, 분리 벡터는 아래와 같이 정의된다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'} $$

[1] David J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', 4th ed., Pearson, 2013.

분리 벡터를 나타내는 기호로는 $$\boldsymbol{\Re}$$, $$\boldsymbol{\eta}$$ 등을 사용하기도 하며, 그냥 $$ \mathbf{r-r'} $$로만 쓰기도 한다.[2] 나무위키 전자기학 관련 문서에서는 $$\boldsymbol{\xi}$$가 많이 쓰임에 따라 이것을 채택하였다.

2. 그레이디언트 연산

원천과 관측 지점 두 가지가 있기 때문에 델 연산도 엄밀히 말해서 두 가지로 나누어진다. 예를 들어, 직교 좌표계라면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}=\left({\partial \over \partial x}, \,{\partial \over \partial y}, \,{\partial \over \partial z} \right) \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla'}=\left({\partial \over \partial x'},\, {\partial \over \partial y'}, \,{\partial \over \partial z'} \right) $$

[2] 특히 그리피스#s-2.2의 전자기학 책에서는 필기체 r을 쓰는데, LaTeX 기본 폰트에 없는 글자라서 입력하기 난감한 걸로 유명하다.

위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 $$x, \, y, \, z$$가 미분 대상이라면 원천의 위치인 $$x' , \,y' , \,z'$$는 상수로 취급된다. 즉, 편미분을 확장한 셈이다.
그렇기 때문에 분리 벡터 크기의 역수에 그레이디언트를 취햤을 때, 어디를 기준으로 하여 연산하느냐에 따라 그 결과는 다르게 나온다. 이것의 대표적인 예는 $$\xi^{-1}$$의 그레이디언트를 취했을 때 볼 수 있다. 아래를 참고하자:

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \!\left( \frac{1}{\xi} \right)=-\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} }}{\xi^{2}} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla'} \!\left( \frac{1}{\xi} \right)=+\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} }}{\xi^{2}} $$