입체각
1. 개요
solid angle · 立體角
'''입체각'''은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [math(\Omega)](오메가)로 나타낸다.
2. 정의
스테라디안(steradian, $$\rm sr$$)을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; $$\deg^2$$ 혹은 $$\degree^2$$)를 단위로 하는 정의가 있다. 전자가 입체각에 차원이 없음을 단적으로 드러내는, 좀 더 엄밀한 방식이며 그래서인지 SI 단위계의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다.
2.1. 스테라디안을 단위로 하는 경우
호도법에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 $$l$$인 부채꼴의 반지름이 $$r$$일 때, 각 $$\theta$$는 다음과 같이 정의된다.
특히, 반지름이 $$1$$인 단위원에서 각의 크기는 결국 호의 수치와 같다.
이와 유사하게, 반지름이 $$r$$인 구면 위 한 영역의 면적이 $$A$$일 때, 입체각 $$\Omega$$는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.
[image]
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 $$1$$이라면, 입체각의 크기는 구면 위의 $$A$$의 넓이 수치가 된다. 차원#측정학이 $$\sf L^2$$으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 차원이 없다.
단위인 스테라디안($$\rm sr$$)은 라디안과는 달리 일반적으로 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 $$\pi$$라고만 적어놓으면 이게 평면각($$\rm\pi\,rad$$)인지, 입체각($$\rm\pi\,sr$$)인지 구분이 되지 않기 때문이다.
$$A$$의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 $$r_0\alpha$$인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
[image]
중심각 $$\theta$$가 $$\theta=\alpha$$인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 $$\phi$$라고 하면 $$\phi$$의 범위는 $$[0,\,2\pi]$$이고, $$A$$의 미소 넓이 $${\rm d}A$$는 두 변의 길이가 $$r_0\,{\rm d}\theta$$, $$r_0\sin\theta\,{\rm d}\phi$$인 사각형의 넓이 $${r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi$$와 같다. 따라서 $$A$$의 넓이는 $${\rm d}A = {r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi$$를 적분한 값으로, 다음과 같다.
정의에 따라 입체각은
이고 역시 입체각에 차원이 없음을 확인할 수 있다. $$\alpha=\pi$$인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 $$\rm4\pi\,sr$$이 된다. $$\Omega = 1\,\rm sr$$이 되게 하는 각 $$\alpha$$의 값은 다음과 같다.
나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, $$A$$를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 $$V$$가 나오는데
위 식에서 $$\alpha = \pi$$를 대입하면 구의 부피 $$4 \pi r^3/3$$이 나온다.
2.1.1. 분석
이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 $$\rm O$$라고 하자.
우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 $$1$$인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.
[image]
그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 $$1$$인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.
[image]
이를 토대로 우리는 곡면 $$S$$ 상의 미소 면적소 $${\rm d}a$$를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 $${\rm d}\Omega$$를 고려하자.
[image]
즉, $${\rm d}\Omega$$는 반지름이 $$1$$인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. $$S$$ 상의 미소 면적소 $${\rm d}a$$를 반지름이 $$r$$인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 $${\rm d}a'$$이라 하자. 그리고 $${\rm d}a$$의 면적소 법선 벡터를 $$\bf\hat n$$이라 하자. 면적소 $${\rm d}a'$$은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 $$\bf\hat r$$이 될 것이다. 사실상 $${\rm d}a'$$은 $${\rm d}a$$의 정사영이므로
으로 쓸 수 있다. 여기서 $$\bf(\hat n,\,\hat r)$$는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면
이고, $${\bf\hat n}\,{\rm d}a\equiv{\rm d}{\bf a}$$이므로
로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해
로 쓸 수 있으므로, 곡면 $$S$$에 대한 입체각은
로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 $$\rm O$$가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 $$\bf v$$가 원점에서부터 $$\rm O$$까지의 위치 벡터라면, $$\bf r\to r-v$$이므로
도 성립한다.
2.1.2. 폐곡면에 대한 입체각
[image]
폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 $$\rm O$$[1]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조)
폐곡면 $$S$$ 내부에 점 $$\rm O$$가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
이다. 그러나 $$\rm O$$가 폐곡면 $$S$$의 외부에 있다면 입체각은 [math(0)]이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다.
[image]
위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 $$S$$는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 $${\rm d}{\bf a}$$가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[2]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0)]이 된다.[3]
나아가 점 $$\rm O$$가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.
2.1.3. 참고 거리
구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 $$r$$인 구면에 대해
임을 알고 있으므로, 반지름 $$r$$인 구면에 대해 입체각은
로 쓸 수 있다. 따라서 구면 좌표계의 부피소를
로 쓸 수 있다. 만약 적분되는 함수 $$V(r)$$이 명백히 $$r$$에만 의존한다면, 적분항은 다음과 같이 분리될 수 있을 것이다.
2.2. 평방도를 단위로 하는 경우
육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다.
이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 $$x\degree$$, $$y\degree$$씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[4]을 만드는 입체각은 $$xy\,\deg^2$$이다. 따라서 $$1$$평방도는 $$1\degree$$씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.
예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 $$1303\,\deg^2$$이며 이는 천구의 약 $$1/32$$을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 $$68\,\deg^2$$이다.
구의 반지름을 $$r$$이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 $$z$$, $$w$$로 만들어지는 호의 길이는 각각 $${z\pi r}/{180\degree}$$, $${w\pi r}/{180\degree}$$이므로, 해당 영역의 넓이 $$A$$는
이 영역의 입체각은 $$zw$$이고 구의 겉넓이가 $$4\pi r^2$$이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 $$\Omega_{\deg^2}$$을 구할 수 있다.
따라서 다음과 같은 관계가 나온다.
2.3. 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계
입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 $$\Omega_{\deg^2}$$, 스테라디안 단위로 하는 입체각 $$\Omega$$는 각각
이므로, 스테라디안과 평방도 사이에는 다음과 같은 비례식이 성립한다.
좀 더 일반적으로 다음의 환산식이 성립한다.
[5] 나아가 이 관계식으로부터 라디안과 스테라디안의 관계도 도출해낼 수 있는데
에서 $$\rm sr = rad^2$$, 즉 '''라디안의 제곱이 곧 스테라디안'''이다.[6] 그러나 이 관계가 $$\rm rad^2$$이 단위에 포함되는 모든 물리량에 대해 성립하는 것은 아니다. 이를테면 구심력의 구심 가속도는 원운동의 반지름 $$r$$, 각속도 $$\omega$$를 이용하여 $$r\omega^2$$으로 주어지는데, 단위를 엄밀하게 적용하면 $$\rm m\!\cdot\!rad^2/s^2$$이지만 구심 가속도는 입체각과 아무런 연관이 없다.[7]
3. 응용
지구에서 위도 $$\varphi_1$$, $$\varphi_2$$, 경도 $$\lambda_1$$, $$\lambda_2$$(단, 단위는 모두 $$\rm rad$$)로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 $$\phi = \lambda$$에 대응되며 위도는 적도, 즉 $$xy$$평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면
이다. 따라서
이고 해당 영역의 넓이 $$A$$는
로 주어지므로 입체각은 $$|\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1||\lambda_2 - \lambda_1|\,{\rm sr}$$이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, $$\varphi$$, $$\lambda$$가 육십분법 각이라고 하면 삼각함수의 변수가 $${\varphi\pi}/{180\degree}$$로 바뀌며 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다.
4. 기타
- 사람의 시야를 가늠해볼 수 있는 시야각 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다.
- 물리학에서 선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로, 가우스 법칙 문서를 보라.
- 광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다.
- 입체각을 이해했다면, 어떠한 물체를 단위 구면 상에 투사했을 때의 넓이라는 것도 알 수 있을 것이다. 지구 안의 관측자 입장에서 달과 태양은 거의 같은 크기로 관측되나, 지구로부터의 거리는 매우 다른데, 그렇게 관측되는 이유는 태양과 달의 입체각이 지구 안의 관측자에게 거의 같게 관측되기 때문이다.
5. 관련 문서
[1] 즉, 단위 구의 중점이 되는 점[2] 사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.[3] 이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0)]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.[4] 얼핏 사각형으로 투영되는 것 같지만 곡률이 있기 때문에 사각형은 아니다.[5] 맨 처음 관계식에서 좌변에 단위만 남도록 이항해주면 $$\deg^2 = \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr}\,\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega$$이 얻어지는데 여기에서 $$\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega$$은 단위가 다르다는 것을 명시하기 위한 기호일 뿐 본질적으론 동일한 입체각을 나타내는 물리량의 비이므로 $$\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega = 1$$이 되어 단위만 남는 환산식이 얻어진다.[6] 사실 해석학적인 방법으로 구할 때에도 이 성질을 유도할 수 있다. 앞서 입체각의 미소량 $$\rm d\Omega$$는 $${\rm d}\Omega = \sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi$$였는데 $$\rm d\theta$$와 $$\rm d\phi$$의 단위가 $$\rm rad$$이기 때문에 $${\rm d}\Omega$$의 단위가 $$\rm rad^2$$임을 알 수 있다. 적분을 통해 단위는 바뀌지 않으므로 $$\rm rad^2 = sr$$이 된다.[7] 이를 반영하듯 일반적으로 구심 가속도의 단위는 $$\rm rad^2$$을 생략한 $$\rm m/s^2$$의 꼴로 많이 기술하는데, 구심 가속도가 가속도의 일종이라는 특성을 좀 더 직관적으로 드러내는 장점도 있는 한편 차원 분석 상으로도 아무런 하자가 없다.