유전율
1. 개요
Permittivity · 誘電率
외부에서 전기장을 가했을 때 전하가 얼마나 편극되는지 나타내는 척도이다. 도체에 대해서는 이야기하지 않는데, 전기장을 걸면 그냥 전도가 일어나기 때문이다.[1] 부도체, 다시 말해 유전체의 경우 전류가 직접적으로 흐르지 않고 외부에서 전기장을 걸면 전하가 내부에서 편극되는 현상을 보이는데, 이 편극의 정도가 얼마나 되느냐가 유전율의 척도이며, 그러한 관점에서 부도체를 곧 '유전체'라고 쓰기도 하며, 엡실론(ε)으로 나타낸다.
2. 편극(polarization)
편극 벡터는 다음과 같이 나타내어지는데
$$ \displaystyle \vec{P} = \epsilon_0\chi_e\vec{E} $$
여기서 $$\chi_e $$는 전기장에 대한 감수율(Electric Susceptibility)이다.
여기서 전기장 $$ \vec{E} $$는 외부에서 걸리는 장이고, $$ \epsilon_0 $$는 진공의 유전율로 상수이다.
물질에 따라서 서로 다른 값인 전기 감수율 $$\chi_e $$이 바로 편극의 정도를 나타내는 척도이다.
여기서 생각해야 할 점은 이러한 '''편극을 생각할 수 있는 때는 거시적인 관점(macroscopic view)에서 어떠한 계를 바라볼 때'''라는 것이다.
예를 들면, 고전적인 원자핵 또는 전자 하나하나를 관찰할 때는 이러한 편극을 생각할 수 없을 것이다. 왜냐하면 말 그대로 점전하를 관찰하고 있으니까. 한 점에 양전하가 몰려 있거나 음전하가 몰려 있고 이들이 진공 중에 분포하는 계는 $$\vec{D}, \vec{H}$$ 같은 값을 도입할 필요가 없는 것이다.[2]
그런데 만일 계가 거대해져서 고체나 액체상 혹은 플라즈마 등을 다루기 시작하면 우리는 쉽게 이런 물질들이 외부 전자기장에 반응하여 정렬하려는 모습을 상상할 수 있을 것이다. 이러한 양상이 바로 편극이며, 외부 전자기장에 대한 반응으로 생기는 정렬로 인해 새로운 전자기장이 생성되는 것을 고려할 필요가 있기에 새로운 물리량인 $$\vec{D}, \vec{H} $$가 도입되는 것이다.
이 문서에서는 전기장에 대한 물질의 반응과 관련 있는 물리량인 유전율을 다루고 있으므로 $$\vec{D} $$에 대하여 생각해보도록 한다.
$$\vec{D} = \epsilon_0\vec{E} + \vec{P}$$ [3]
이다.
3. 유전 상수 또는 상대 유전율
유전 상수 또는 상대 유전율(dielectric constant)은 진공을 기준으로 유전율의 크기를 표시하는 단위이며, 일반적으로 절대유전율보다 유전 상수를 많이 사용한다.
$$ \displaystyle \vec{D} = \epsilon\vec{E} $$
의 꼴로 전속밀도와 전기장사이를 매개하는 유전상수이다.
$$ \vec{D} = \epsilon_{0} \epsilon_{r} \vec{E} = \epsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} $$
$$ \vec{D} $$ : 전속밀도
$$ \vec{E} $$ : 전기장
$$ \epsilon_{0} $$ : 진공에서의 유전율
$$ \epsilon_{r} $$ : 유전 상수, 상대 유전율, 비유전율
$$ \chi_e $$ : 전기 감수율(Electric susceptibility)
유전율은 물질의 굴절률과도 직접적으로 관계된다. (굴절율의 제곱이 유전율로 나타남)
4. 유전율은 상수일까?
물론 유전율은 상수가 아니다. 먼저 바로 위에서 사용한 식
$$ \displaystyle \vec{D} = \epsilon\vec{E} $$
부터가 선형매질(Linear Media)를 가정할때만 유전율이 상수로 성립한다.
우선 전기장 및 전속밀도가 시간에 대해 독립인 경우에
$$ \displaystyle \vec{D}(\vec{x}, \omega) = \epsilon(\omega)\vec{E}(\vec{x}, \omega) $$
의 식으로 유전율은 주파수에 의존하는 값이 된다.
상기했다시피 유전율과 투자율은 굴절률과 다음과 같은 관계가 있다.[4]
$$ \displaystyle \sqrt{{\epsilon\mu \over \epsilon_0\mu_0}} = {c \over v} = {n}$$
여기서 강자성(Ferromagnet) 물질이 아니라면 투자율 변화는 거의 없는 편이므로 $$ \mu = \mu_0$$로 놓을 때
$$ \displaystyle n = \sqrt{{\epsilon \over \epsilon_0}} $$
즉 굴절률은 유전율의 제곱근에 반비례한다. 따라서 우리는 프리즘에 빛을 통과시킬 때 무지개로 분리되는 이유를 바로 여기서 찾을 수 있다. 빛의 파장은 주파수에 반비례하고, 주파수는 다시 유전율에 관계가 있는데, 유전율의 제곱근은 또다시 굴절률에 반비례하므로 서로 다른 물질의 경계를 지날 때 파장에 따라 빛이 분리되는 것이다.
그 외에도 선형이면서 비분산인(Linear, Non-dispersive)이거나 비등방형 (anisotropic)인 경우, 혹은 아예 비선형 매질인 경우가 있다. 이런 경우에는 유전율이 저 형태로 안 나온다[5].
이런 경우에는 유전상수를 위와 같이 단순히 전기장과 전속밀도와의 식으로 놓을 수 없다.
5. 복소 유전율(Complex Permittivity)
만일 어떤 매질의 도전율을 고려하는 상황이라면, 즉 아래의 옴의 법칙을 가정할 때,
$$ \displaystyle \vec{J} = \sigma\vec{E} $$
$$ \displaystyle \sigma << 1 $$인 경우라면 위의 유전율을 그대로 적용해도 좋지만 그렇지 않다면
$$ \displaystyle \epsilon = \epsilon_r + i\epsilon_i = \epsilon_r + i{\sigma \over \omega} $$ 를 사용해야 한다.
이 경우에는 굴절률 또한 복소수로 나타나고 매질을 통과하면서 전기장의 크기에 손실이 발생하게 된다.
6. 관련항목
[1] 물론 엄밀히는 아래의 복소 유전율과 도전율(導電率, Conductivity) 및 표피 깊이 같은 개념들이 연관이 있다. 표피 깊이에 대해 설명하자면, 전자기파가 물질에 입사하여 물질 안으로 전파될 때, 그 세기가 물질로 입사되기 전의 37% 정도로 줄어드는 곳의 깊이를 말한다. 전기쟁이라면 여기서 37%라는 수치가 왜 나왔는지를 반드시 알아야 한다. 전자기파가 물질에 입사되었을 때의 세기를 A라 하고 미분방정식을 풀면 $$Ae^{-\frac{t}{\tau}}$$ 형태의 함수가 도출되는데, 시간이 시정수에 도달하면 e-1A ≒ 0.368A가 되기 때문이다. 다시 설명하면, 표피 깊이는 '시간이 시정수에 도달했을 때 전자기파가 도달한 깊이'를 뜻한다.[2] 물론 고전 역학의 범주를 벗어나면, 즉 양자 역학이나 상대론의 관점에서는 틀린 이야기이다. 여담이지만 전자가 점전하인 것으로 가정하는 고전적인 전자기학과 달리, 양자 역학에서는 전자 하나가 전하도 가질 뿐더러 EDM(전기 쌍극자 모멘트)까지 갖는다. 심지어는 중성인 중성자도 EDM을 갖는다![3] 물론 이 식도 아주 정확한 것은 아니다. 이 식은 외부 자기장과 그에 따른 쌍극자 모멘트로의 편극에 대해서 고려하고 있는데 이는 단순히 근사항일 뿐이다. 이 뒤로 $$\vec{D} = \epsilon_0\vec{E} + \vec{P} + \vec{Q} + \vec{H} + ...$$처럼 더 높은 사중극이나 팔중극 항들을 고려할 수도 있을 것이다.[4] 스넬의 법칙 문서에 조금 더 자세히 설명되어 있다.[5] 비등방형인 유전율은 0차 텐서인 스칼라가 아니라 행렬꼴의 2차 텐서다