가우스 정수
1. 개요
Gaussian integer
'복소정수'라고도 한다.
두 정수 $$a$$, $$b$$ 에 대해서 $$ a + bi \left(i^2 = -1\right)$$로 표현되는 수를 의미한다.
이름 그대로 카를 프리드리히 가우스가 연구하여 이 이름이 붙었다.
2. 상세
가우스 정수 전체의 집합은 기호로 보통 $$\mathbb{Z}[i]$$로 나타내고 이는 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 $$1$$을 가지는 가환환을 이룬다. 더 나아가서 $$N(a+bi)=a²+b²$$로 정의된 함수 $$N:\mathbb{Z}[i]→\mathbb{Z}$$를 유클리드 노름으로 가지는 정역(유클리드 정역, ED)이다. 유클리드 정역이기 때문에 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, PID)이고 따라서 유일 인수분해 정역(UFD)이다.
이런 수들 중 절댓값이 $$1$$인 수($$\pm 1$$, $$\pm i$$)를 통틀어 단원(또는 가역원, unit)이라고 하며 보통 $$\epsilon $$로 표기한다. 사실 곱셈에 대한 항등원을 가지는 환에서 단원이란 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소를 말한다. 하지만 가우스 정수 집합에서는 앞서 말한 네 개 말고는 단원이 존재하지 않으므로 절댓값이 $$1$$인 수로 생각해도 무방. 두 가우스 정수 $$\alpha $$, $$\beta $$가 어떤 유닛 $$\epsilon $$에 대해 $$\alpha =\epsilon \beta $$로 나타낼 수 있는 경우에 $$\alpha $$, $$\beta $$는 연관되어 있다고 한다. (쉽게 말해 $$a+bi$$, $$-b+ai$$, $$-a-bi$$, $$b-ai$$는 서로 연관되어 있다) 물론 모든 가우스 정수는 자기 자신과 연관되어 있다.
3. 가우스 소수
정수와 마찬가지로 가우스 정수 범위에서도 소수 등을 정의할 수 있다. 단원을 제외한 두 개 이상의 가우스 정수의 곱으로 나타낼 수 없는 수를 '가우스 소수(Gaussian prime)'이라 부른다. 가우스 소수의 종류로는 $$1+i$$, $$s\pm ti$$[1], $$4k+3$$꼴 소수($$p$$)가 있으며, 어떤 수가 가우스 소수가 되는 것과 예시로 든 3가지 중 하나와 연관되어 있는 것과 동치이다.
다만 정수에서 $$-2$$, $$-3$$도 $$\pm 1$$을 제외한 두 개 이상의 정수의 곱으로 나타낼 수 없으므로 소수이지만, 보통 소수라고 하면 양의 소수를 우선적으로 보기 때문에 $$-2$$, $$-3$$은 소수를 다룰 때 끼워주지 않듯이, 가우스 정수 범위에서도 1사분면에 속한 수[2]들을 주로 사용한다.
모든 가우스 정수는 1사분면에 속한 가우스 소수들로 소인수분해하는 법이 '''단 한 가지'''이다. 다시 말해 가우스 정수 $$\mu $$를 $$\epsilon \pi \kappa \rho \cdots$$($$\epsilon $$는 unit, $$\pi $$, $$\kappa $$, $$\rho $$ 등은 1사분면에 속한 가우스 소수)와 같이 표기 가능한 $$\pi $$, $$\kappa $$, $$\rho $$,···의 쌍은 재배열을 한 가지로 취급하면 유일하게 결정된다. 이때 $$\epsilon $$도 유일하게 됨은 자명하다.
$$ x^2 - y^2 = \left(x + y\right)\left(x - y\right) $$ 로 인수 분해되는 것과 마찬가지로. $$ x^2 + y^2 = \left(x + yi\right)\left(x - yi\right)$$ 로 인수 분해될 수 있다. 예를 들어, 가우스 정수 체계에서는 $$2 = \left(1+i\right)\left(1-i\right)$$ 로 소인수분해될 수 있으며, 2 는 가우스 소수가 아니다.
가우스 소수의 분포를 복소평면에 나타내면 '''원점 대칭'''이 된다. 더 정확히는 정사각형 배치의 격자점이다.
4. 관련 문서
- 아이젠슈타인 정수 - 가우스 소수와도 비슷하다.