아이젠슈타인 정수

1. 개요

---

가우스 정수와 비슷하며, 두 정수 a, b 에 대해서 $$ a + b\omega $$ 로 표현되는 수이다.
여기서 $$\omega$$ 는 [math(\omega^3 = 1)] 또는 $${\omega}^2 + \omega + 1 = 0$$의 허근 중 한 값이며, 정확하게는 $$\displaystyle \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i = e^{i\cdot{2\pi}/{3}}$$ 이다.
수학자 고트홀트 아이젠슈타인에 의해 연구되었고, 이 사람의 이름이 붙었다.

2. 상세

---

아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 기호로 보통 $$\mathbb{Z}[\omega]$$로 나타낸다.
이 집합은 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 $$1$$을 가지는 가환환을 이룬다. 또한, 유클리드 정역(ED)이고, 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, PID)이며, 유일 인수분해 정역(UFD)이다.
가우스 정수와 특성이 유사하다.
복소평면상에서는 삼각형 격자를 그린다.

3. 아이젠슈타인 소수

---

아이젠슈타인 정수는 유일 인수분해 정역(UFD)이며, 다시 말해 아이젠슈타인 소수로 '''유일하게''' 소인수 분해가 가능하다.
가우스 정수와 마찬가지로 자연수에서는 소수이지만 아이젠슈타인 소수는 아닌 경우가 나오는데, 예를 들어 자연수에서는 7은 소수이지만, 한편으로는 $$7 = (3 + ω)(2 − ω)$$으로 분해가 가능하기에 아이젠슈타인 소수는 아니다.

4. 페르마의 마지막 정리와의 연관성

---

이 아이젠슈타인 정수는 뜬금 없이 페르마의 마지막 정리와도 연결이 된다.
n = 3 인 경우에 대한 식 $$x^3 + y^3 = z^3$$ 에 대해서
이 식은 3차 단위근 $$ \omega = e^{2 \pi i / 3}$$ 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.
$$\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3$$
그러므로, 아이젠슈타인 정수에 대해서 파고 들면 FLT 의 n=3 인 경우에 대해서 해결이 가능하다.
좀더 자세한 내용은 대수적 정수론 문서 참조.