겔폰트-슈나이더 상수
1. 개요
겔폰트-슈나이더 상수는 2의 √2 제곱, 즉 $$2^{\sqrt{2}}$$이다. 힐베르트의 23가지 문제 중 “$$a$$가 $$0, 1$$이 아닌 대수적 수이고 b가 유리수가 아닌 대수적 수일 때 $$a^b$$는 초월수인가?”의 증명 과정에서 등장한 수이다.
2. 상세
다비트 힐베르트가 자신의 문제들에서 리만 가설, 페르마의 마지막 정리, 그리고 $$2^{\sqrt{2}}$$의 초월성 증명이 이 순서대로 풀릴 것이라고 말했다. 실제로는 그 반대로 풀려서, 겔폰트-슈나이더 상수가 가장 먼저 초월수임이 밝혀졌고, 그 다음이 페르마의 마지막 정리고, 리만 가설은 현재까지도 풀리지 않았다. 1919년 쿠즈민이 이 상수가 초월수임을 밝혔고, 1934년 겔폰트와 슈나이더가 독자적으로 위의 $$a^b$$가 초월수임을 증명했다.
3. 용도
이 수의 제곱근인 $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$은 무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있음을 보이는 데 쓰일 수 있다. 이 수 자체나 그 제곱근이 초월수인지 아닌지, 심지어 무리수인지 유리수인지 몰라도 가능하다.[1] 단 $$\sqrt{2}$$가 무리수라는 게 전제가 된다.[2]
한편 무리수무리수=유리수는 로그를 갖고도 가능하다. $${\sqrt{2}}^{\log_2 9}=3$$이기 때문. 이건 $$\log_2 3$$가 무리수라는 것만 추가로 더 보이면 되고, 이건 겔폰트-슈나이더 상수를 이용한 증명에서 √2가 무리수임을 보이는 정도의 수준이면 된다.[증명]
또는 $$e^{\ln{10}} = \pi^{\log_\pi 10} = 10$$ 도 가능하...지 않을까 싶은데, 이건 먼저 $${\ln{10}}$$ 이 무리수임을 증명해야 하고 이걸 증명하려면 대개 $$e$$가 초월수인걸 먼저 증명해야 하는 문제가 생긴다. 애초에 $${\ln{n}}$$가 $${n}$$이 1이 아닌 정수일 때 무리수라는 걸 확장해 증명한 게 겔폰트 슈나이더 정리이다. 반면 겔폰트 슈나이더 상수를 이용하면 겔폰트 슈나이더 상수의 제곱근인 상수$${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$ 자체가 유리수든 무리수든 무리수무리수=유리수를 보일 수 있다.
[1] 물론 겔폰트-슈나이더 상수가 초월수이기 때문에 자명하게 무리수가 된다. 만약 $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=p$$가 유리수라면 $$p^2$$ 역시 유리수가 되어야 하지만, $$p^2=2^{\sqrt{2}}$$는 실수의 초월수이므로 자연스럽게 무리수가 되기 때문.[2] 증명은 [math(\sqrt{2})] 참고[증명] 귀류법을 써서 유리수라고 가정하자.$$ \log_2 3= \frac pq$$이면 $$2^{ \frac{p}{q}} = 3$$ 이고 $$ 2^p = 3^q$$이다. 이 때 $$3>2$$이므로 $$p>q$$인 양의 정수 $$p,\,q$$가 존재하고 이때 $$2^p$$는 짝수, $$3^q$$는 홀수이므로 등식이 성립하지 않아 모순이다. 실수인 것은 실수의 완비성에 의해 $$ \mathrm{sup}\{x|2^x<3\}$$이 실수임을 이용하면 된다.