초월수
1. 개요
Transcendental Number · 超越數
정수[1] 계수로만 이뤄진 유한 차수 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수. 반대로 그 해가 될 수 있는 수는 '대수적인 수(algebraic number)'라고 한다.[2][3]
무리수와는 비슷해 보여도 많이 다른 개념이다. 우리가 잘 아는 무리수 중에서 초월수는 [math(\pi)], 자연로그의 밑 [math(e)] 등이 있다. 반대로, $$\sqrt{2}$$는 무리수이지만 $$x^2-2 = 0$$의 해 중 하나이므로 초월수는 아니다. 또한, 초월수 같지만 초월수가 아닌 수로는 $$\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}}$$가 있다. [4]
초월수이지만 무리수가 아닐 수도 있다. 무리수의 정의는 유리수가 아닌 실수이므로, 무리수가 아닌 초월수는 모두 실수가 아니다. 예시로, $$\pi i$$는 무리수가 아닌 초월수이다.
정수들의 사칙 연산 및 거듭제곱근으로 나타낼 수 있는 수는 모두 대수적 수이다. 따라서 작도할 수 있는 수 역시 모두 대수적인 수이다. 예를 들어 정17각형을 작도할 수 있다는 것을 응용해서 $$\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}}$$는 작도 가능하므로 대수적인 수이다. 하지만 모든 대수적인 수가 작도 가능한 것은 아니다. 예를 들어 $$ x^3=2$$ 의 실근은 작도 불가능한 수이다. 또한 정수들의 사칙 연산 및 제곱근으로 나타낼 수 없어도 대수적인 수가 될 수 있는데, 5차 이상 고차 방정식의 일반해는 사칙 연산과 제곱근으로 나타낼 수 없지만 계수가 정수이기만 하면 대수적인 수가 되기 때문이다.
초월수의 개수(cardinal number)는 게오르그 칸토어가 복소수 집합이 실수집합과 같은 비가산집합이라는 걸 증명해냈기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수 보다 아득하게 많다. 전자는 셀 수 없는 비가산집합이고 후자는 셀 수 있는 가산집합이므로. 좀 더 자세한 내용을 알고 싶으면 집합론의 파트 중 countable set(가산 집합) 에 관한 내용을 찾아보는 것을 추천한다. 말은 어려워 보여도 실제 내용은 조금 과장해서 말하면 중학생도 이해 가능한 수준이니 한번쯤 알아둬서 나쁠 건 없다. 초한기수 항목을 참고하는 것도 괜찮다. 일단 정리하면 다음과 같다.
초월수가 많다는 것과 별개로 어떤 수가 초월수인지 밝혀내는 것은 꽤 까다롭다. [math(\pi)]와 [math(e)]는 친숙한 초월수의 대표주자이지만[7] 정작 $$\displaystyle \pi+e$$가 초월수인지 아닌지는 아직 밝혀내지 못했다.[8]대수적 수가 정수 유한차수 다항식의 해가 되는 수이므로, 대수적 수의 집합은 '''대수적 중복을 허용한 정수 유한차수 다항식의 해의 전체집합'''의 부분집합이다.[5]
그리고, 정수 유한차수 다항식은 $$n$$차 다항식에 대해서 $$\Sigma_{k=0}^{n}\mathbb{Z}^{k}$$과 그 수가 동치가 되고, 무한기수의 성질[6]
에 의해 $$\Sigma_{k=0}^{n}\mathbb{Z}^{k}\sim\mathbb{Z}^{k}\sim\mathbb{N}$$이기 때문에 $$\aleph_{0}$$. 즉 자연수의 개수인 가산집합과 일대일로 대응된다는 것이 밝혀져 있다.즉, 정수 유한차수 다항식의 전체집합은 결국 가산집합끼리의 가산합집합이 되어서, 가산집합이 되어서 $$\aleph_{0}$$지만, 실수/복소수의 기수는 $$\beth=2^{\aleph_{0}}$$이므로 대각선 논법에 의해서 가산집합과의 일대일대응을 만족시킬 수 없기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수보다 많아질 수 밖에 없다.
특이한 경우로는, 소수점 자릿수에 규칙이 있지만 대수적으로는 못 구하는 경우도 있다. 이런 경우도 무리수인데다 초월수다. 예를 들어서 0.12345678910111213141516171819...(챔퍼노운 수) 같은 경우에는 누구나 보면 언뜻 유리수처럼 보이지만 반복되지 않는 무한소수이므로 무리수다. 이런 것과 관련해 다양한 바리에이션이 존재한다. 소수를 적는 진법에 따라 다른 경우로, 0.11011100101110111100010011010...(2)가 있다. (2)의 의미는 이 숫자가 2진법으로 쓰여져 있다는 것이다.[9] 또 다른 경우로는 0.235711131719232931...이 있는데, 소수만 나열해 놓은 경우다.(코플랜드-에르되시 상수) 그 외에도 이 방식으로 최초로 제시된 초월수는 리우빌 상수(Liouville’s constant)가 존재한다. $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!}$$로 표기되며, 소수점 아래로 $$0.110001000000000000000001000...$$로 이어지는 무한소수다.
힐베르트의 23가지 문제 중 하나는 $$a^b$$ 꼴의 수가 초월수임을 판정하는 방법에 관한 것이었다. 이 문제는 문제가 발표되고 몇 년만에 해결되었는데, 지금은 아래와 같이 서술되는 겔폰트-슈나이더 정리로 불린다.
$$a^b$$에서 $$a$$가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이고(복소수라도 상관 없음), $$b$$가 유리수가 아닌 대수적 수라면(복소수라도 상관 없음)라면, $$a^b$$는 초월수이다. 여기서 대수적 수는 유한차 유리수 계수 방정식의 해가 되는 수를 말한다.
따라서 겔폰트-슈나이더 상수(무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수일 수 있다는 명제와 연관된다)$$2^{\sqrt{2}}$$, $$e^{\pi}$$ (= $$(-1) ^{-i}$$ ) 같은 수는 초월수다. 반면, $$\pi^e$$ 는 아직 무리수인지도 판정하지 못했다.($$\pi$$가 대수적 수가 아니어서 위 정리를 적용할 수 없다.) 마찬가지로, $$e+\pi$$ 또한 아직도 초월수인지 아닌지 밝혀지지 않았다.[10] 현재 "샤누엘 추측(Schanuel’s conjecture)이 참이라면 $$e+\pi$$는 초월수이다."라는 명제가 참이라는 것 까지는 증명된 상태지만, 정작 샤누엘 추측의 참/거짓 여부가 불명이다.
초월수의 정의가 '''유한 개'''의 항으로 표현할 수 없는 수라고 한 것에 주의하자. 무한 개의 항이라면, $$e$$와 $$\pi$$도 다음과 같이 대수적 표현이 가능하다.[11]
$$e= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} $$
$$\pi= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{4(-1)^{n-1}}{2n-1} $$
의외로 사람들이 헷갈려하는 오개념 중 하나인데, '''대수적 수와 초월수는 무리수의 하위 분류가 아니다.''' 무리수를 굳이 나눈다면 '대수적인 무리수'와 '초월수인 무리수'로 나눌 수는 있다. 대수적 수라는 말은 정수 계수의 방정식으로 나올 수 있는 해를 말하고, 초월수는 그렇지 못한 수기 때문에 대수적 수는 모든 수 체계의 수가 될 수 있고, 초월수는 하다못해 $$\pi i$$같은 복소수도 포함시킬 수 있다. 또한 대수적 수인 유리수도 많다. 단, 유리수인 초월수라는 것은 있을 수 없기 때문에 실수인 초월수는 모두 무리수이긴 하다.
한편 이것의 함수 버전도 있는데, 초월함수라고 한다. 초월수처럼 유한 차수 다항식으로 정의되지 않는 함수이다.
잘 알려진 초월수는 원주율, 자연로그의 밑, log₂3[12]등이 있다.
2. 관련 문서
[1] 유리수라고도 서술하는데 분모의 최소 공배수를 곱하면 정수로 바뀌니 결국 같은 의미다.[2] 여기서 유리수(정수) 계수로만 이루어진 방정식이라는 조건이 중요하다. 극단적으로 아래에서 설명할 대표적인 초월수인 $$\pi$$,$$e$$조차도 실수 계수 방정식 하에선 $$x - \pi = 0$$, $$x - e = 0$$과 같은 매우 간단한 방정식의 해가 되어 버리기 때문이다. 이를 좀 더 대수학적으로 표현하면 유리수체 $$\mathbb{Q}$$ 위에서 초월적인 수라고 할 수 있다.[3] 또한 이 초월수의 존재로 인하여 유리수체 $$\mathbb{Q}$$의 대수적 폐포 $$\mathbb{Q_A}$$는 절대로 실수체 $$\mathbb{R}$$나 복소수체 $$\mathbb{C}$$가 될 수 없다. 대수적 폐포의 정의 자체가 해당 체의 확대체 중에서 해당 체에서 상정 가능한 모든 다항식을 1차식으로 분해 가능한 체(=모든 근이 포함된 최소의 확대체)로 정의되기 때문에 실제로 체의 확대를 통해 분류할 경우 $$\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{Q_A}\subsetneq\mathbb{C}$$로 분류된다.[4] $$\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}}$$의 값은 $$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} {{ \sqrt{17 - \sqrt{17} - \sqrt{2} \left( \sqrt{34 + 6 \sqrt{17} + \sqrt{2} \left( \sqrt{17} - 1 \right) \sqrt{17 - \sqrt{17}} - 8 \sqrt{2} \sqrt{17 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17 - \sqrt{17}} \right) }}}$$여서 굉장히 복잡하게 보이지만 결국 정수의 사칙연산과 정수차수 제곱근으로 표현되므로 대수적 수가 된다. 이는 카를 프리드리히 가우스가 정17각형에 대해 연구한 수이다.[5] 예를 들어서, $$x^{2}-1=0$$와 $$x-1=0$$, $$x+1=0$$의 해의 집합은 대수적 중복을 허용했을 때 $$\{1_{x-1=0},1_{x^{2}-1=0},-1_{x^{2}-1=0},-1_{x+1=0}\}$$으로 4개의 원소로 이루어져 있으나, 실질적인 해집합은 $$\{ 1, -1\}$$의 2개의 원소로만 구성되어 있다. 즉, 대수적으로 중복되는 근이 생기기 때문.[6] 초한기수 $$\alpha, \beta$$가 주어졌을 때 $$\alpha\beta=\alpha+\beta=\mathbf{Max}\left(\alpha, \beta\right)$$라는 성질. 여담으로 $$\alpha\neq 0, \beta\neq 0$$이라면 둘 중 하나가 유한기수라고 해도 성립한다.[7] 다만 이 두 상수 역시 초월수인 것을 제대로 증명하는 것은 상상 이상으로 어렵다. 관심이 있으면 Lindemann-Weierstrass Theorem을 찾아보자. 적어도 학부 수준 대수학과 해석학, 정수론에 대한 지식이 있어야 이해가 가능하다.[8] 사실 이 $$\displaystyle \pi+e$$는 무리수인지 아닌지조차 아직 모른다.[9] 이렇게 소수점 이하에서 해당 진법으로 표시된 자연수를 순서대로 무한히 나열하는 방식으로 만든 초월수를 섐퍼나운 상수(Champernowne constant)라 한다. D.G.섐퍼나운이라는 영국의 수학자 겸 경제학자가 창안한 것.[10] 한편 $$e+\pi$$와 $$e\pi$$ 둘 중 하나는 적어도 초월수라는 것은 자명하다. $$e$$와 $$\pi$$를 해로 갖는 이차방정식 $$(x-e)(x-\pi) = x^2-(e+\pi)x+e\pi = 0$$에서 $$e+\pi$$와 $$e\pi$$ 둘 다 대수적인 수라면 $$e$$와 $$\pi$$가 초월수라는 것에 모순이기 때문.[11] 이를 테일러 급수라고 한다.[12] 로그의 정의에 따라 2''x''=3을 만족시키는 ''x''의 값이다.