힐베르트의 23가지 문제

1. 소개

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20세기에 활동했던 독일의 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)가 1900년 개최된 국제 수학자 총회에서 제안한 23가지 문제를 말한다. 이 문제들은 하나하나가 모두 중요한 수학적 의미를 갖고 있다.
이런 어려운 문제를 제시하는 것이 수학계에 도움이 된다는 판단으로 21세기에 돌입하면서는 7개의 밀레니엄 문제를 선정해 발표했다. 그리고, 리만 가설은 유일하게 2연속으로 선정되었다.

2. 제안 배경

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원래 독일을 중심으로 한 대륙계열 학자와 영국계열 학자는 사이가 그다지 좋지 않았다. 일반인도 많이 알고 있는 가장 유명한 분쟁은 미적분을 누가 발견했는가 하는 논쟁이었는데, 대륙계는 라이프니츠를, 영국계는 아이작 뉴턴을 발견자라고 내세운 것이었다(지금은 그냥 사이좋게, 서로 동시에 각기 발견했다고 인정한다). 이유는 여러 가지가 있겠지만, 당시에는 도버 해협을 건너는 것이 쉽지 않았던 것도 한 이유였다.
하지만, 과학기술의 발달로 교통수단이 진보하면서, 대륙계와 영국계의 학문적 교류가 활발해지기 시작했고, 신대륙인 미국의 참여도 늘어만 갔다. 이에 전세계의 수학자들은 서로간의 학문적 성과를 공유하고 친목을 다지기 위해 세계 수학자들의 모임을 개최하기로 하고, 1800년대 후반에 결국 미국에서 첫 행사를 개최했다.
한편, 당시의 수학계는 수학의 한계가 어디까지인지, 또한 당시의 수학 발전상이 어떤 방향으로 가야 하는지에 대한 이야기를 하기 시작했다. 결국, 세계 수학자 총회에서는 당시의 대학자였던 다비트 힐베르트에게 수학의 발전방향에 대한 강연을 부탁하게 된다.
힐베르트는 한참을 고민한 끝에, 수학의 발전방향을 언급하면서 당시 수학계가 시급히 해결해야 할 중요한 문제를 발표하기로 하고, 자신이 할 강연의 수준에 걸맞는 23개의 문제를 선정하게 된다.
강연은 성공적이었고(다만 강연에서 이야기한 문제는 10개였다), 강연 내용은 전세계로 번역되어 퍼지게 된다.

3. 문제와 해결 현황

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3.1. 연속체 가설은 참인가

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해결
현재의 집합론 공리 상에서 참이라고 가정했을 때 무모순임을, 거짓이라고 가정했을 때 무모순임을 쿠르트 괴델과 폴 코언이 각각 증명하였다. 즉, 참과 거짓을 증명할 수 없다. 불완전성 정리의 첫 번째 유의미한 실례로 꼽힌다. 자세한 문제의 정의와 해결은 문서 참조.

3.2. 산술의 공리가 무모순인가

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지나치게 조건이 약해서 해결되었는지가 불분명하다.

• 괴델의 제2 불완전성 정리에 의해 증명될 수 없는 명제라는 의견이 있다.
• 겐첸의 증명으로 참임이 증명되었다는 의견도 있다.

3.3. 부피가 같은 두 다면체가 주어졌을 때 하나의 다면체를 유한 번 절단하여 다른 다면체를 항상 만들 수 있는가

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해결
거짓으로 증명되었다. 이 문제는 삼각뿔을 잘라 부피가 같은 정육면체를 만들 수 있는가로 이해하면 된다. 증명이 굉장히 빨리 된 명제인데, 명제가 발표된 그 해에 힐베르트의 제자인 막스 덴(Max Dehn)이 덴 불변량을 사용하여 이것이 일반적으로 불가능함을 증명하였다.

3.4. 측지선(Geodesic line)을 사용하여 모든 거리공간(Metric space)을 만들 수 있는가

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해결
1973년 포고렐로프(A.V. Pogorelov)가 해결하였다. 단 비대칭(non-symmetric) 거리공간에 대해선 아직 미해결이다. 지나치게 조건이 약해서 문제가 정의되지 않는다고 보기도 한다.

3.5. 연속군(continuous group)은 언제나 미분군(differential group)인가

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문제의 해석상 차이로 해결되었는지의 견해가 나뉜다.

• 앤드루 글리슨(Andrew Gleason)이 해결했다고 보는 사람들이 있다.
• 다른 사람들은 이 문제를 힐베르트-스미스 추측으로 보는 사람이 있고, 이 추측은 아직 미해결 문제이다.

3.6. 물리학의 공리를 수학적으로 표현하라

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미해결
물리학 이론들을 기하학처럼 체계적인 모습으로 공리화하라는 문제이다. 힐베르트는 그 일환으로 두가지 구체적 문제를 제시했다. 하나는 확률론을 공리화 하는 문제이며 다른 하나는 원자론으로 연속체의 방정식인 오일러 방정식이나 나비에-스토크스 방정식을 유도하는 문제이다.
첫째는 1933년 안드레이 콜모고로프가 확률론의 공리를 제시하면서 해결되었다고 보기도 한다. 콜모고로프의 공리화는 불충분하다고 보는 시각도 있다.
유체역학 방정식을 유도하는 문제는 아직 미해결이다. 1974년 오스카 랜포드(Oscar E. Lanford)는 기체가 평균자유시간의 일부분 동안 볼츠만 방정식을 따른다는 것을 증명했다. 하지만, 긴 시간에 대해선 아직 미해결이다.
물리학을 공리화하라는 문제는 모든 것의 이론과도 관련이 있으며 이는 물리학의 요원한 미해결 문제이다.

3.7. a가 0, 1이 아닌 대수적 수이고 b가 유리수가 아닌 대수적 수일 때 $$a^b$$는 초월수인가

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해결
겔폰트-슈나이더 정리에 의해 참으로 증명되었다. 초월수 문서 참조.

3.8. 리만 가설, 그 밖에 골드바흐 추측, 쌍둥이 소수 추측 등 소수 관련 추측은 참인가

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아직 해결되지 않았다. 각 문서 참조.

3.9. 대수적 수체에 대해 성립하는 일반적인 이차상호법칙이 있는가

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부분적으로 해결되었다. 아벨 확장에 대해서는 있음이 증명되었으나, 아벨 확장이 아닌 다른 수체에 대해서는 아직 미해결 상태이다. 12번 문제와 연관이 있다.

3.10. 주어진 유한차 디오판토스 방정식의 해를 구하는 일반적인 알고리즘은 존재하는가

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해결
마티야세비치(Matiyasevich) 정리에 의해 거짓으로 증명되었다. 디오판토스 방정식은 페르마의 마지막 정리 등 변수가 정수인 다항방정식의 총칭이다.

3.11. 대수적 수를 계수로 갖는 이차형식의 해를 항상 구할 수 있는가

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부분적으로 해결되었다. 여기서 이차형식이라 함은 $$x^2 + y^2$$, $$x^2 - 3xy + 2y^2 - z^2$$ 같이 둘 이상의 변수를 갖는 2차항으로만 이루어진 다항식을 말한다.

3.12. 크로네커-베버 정리의 아벨 확장을 유리수체 이외의 임의의 수체로 확장할 수 있는가

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아직 해결되지 않았다.

3.13. 임의의 7차방정식을 2변수 함수를 이용해 언제나 풀 수 있는가

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여기서 힐베르트가 고려한 7차방정식의 형태는 x⁷ + ax³ + bx² + cx + 1 = 0 꼴이다.
미해결
블라디미르 이고레비치 아르놀드에 의해 임의의 7차방정식은 연속적인 2변수 함수를 이용해서 풀 수 있음이 증명되었다. 해결 이력이 대단한데, 19살이었다(!!). 해결한 당사자는 이 문제는 대수적 함수인 2변수 함수로 생각하고 있으며, 이 경우 이 문제는 아직 미해결 문제이다. 문제는 대수적 함수인 2변수 함수의 경우에는, 결국 갈루아 이론이 확장이 필요한데, 이게 매우 큰 장애물이다.

3.14. 다항식환처럼 동작하는 대수적 군의 불변량은 항상 유한생성되는가

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해결
나가타 마사요시가 반례를 찾아냄으로써 거짓으로 증명되었다.

3.15. 슈베르트의 enumerative calculus 에 대한 엄밀한 기초를 제시하라

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부분적으로 해결되었다.
슈베르트(Schubert)의 enumerative calculus는 현대 대수기하학에서 공간의 교점을 헤아리는 enumerative geometry의 시작이 되는 이론이다. 미적분이나 음악가와는 관련없다.

3.16. 대수적 곡선에 대한 폐곡면의 상대적 위치를 평면상의 다항식의 벡터장을 유한번 이용해 묘사하라

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아직 해결되지 않았다. 심지어 8차 대수적 곡선에 대해서도 미해결 상태이다.

3.17. 음이 아닌 유리함수를 다항식의 제곱의 합의 몫으로 나타낼 수 있는가

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해결
1927년 에밀 아틴에 의해 가능함이 증명되었다.

3.18. 정다면체가 아니면서도 쪽매맞춤(anisohedral tiling)을 할 수 있는 다면체가 있는가? 그렇지 않다면 구체를 가장 조밀하게 쌓는 방법은 무엇인가?

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해결
이 문제는 두 개로 이루어져 있다.
첫번째 문제는 카를 라인하르트(Karl Reinhardt)에 의해 참임이 증명되었다.
두 번째 문제는 토머스 캘리스터 헤일스가 제시한 컴퓨터 증명에 의해 사각배치를 하든 육각배치를 하든 74%가 상한임이 증명되었다. 케플러의 추측 문서 참고.

3.19. 변분법으로 해결한 해는 항상 해석적인가

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해결
참으로 증명되었다. 해결이력이 독특한데, 에니오 데 조르지(Ennio de Giorgi)와 존 내시(뷰티풀 마인드의 그 존 내시다!)가 독립적으로 증명하였다.

3.20. 특정한 경계치를 가진 변분법 문제는 항상 해를 갖는가

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해결
참으로 증명되었다. 이 문제의 해결에는 다수의 수학자가 공헌하였기에 해결연도가 불분명하다.

3.21. 주어진 모노드로미 군을 해로 가지는 선형 미분방정식은 항상 존재하는가

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해결
조건을 어떻게 추가하는가에 따라 참으로도, 거짓으로도 증명 가능하다.
아이러니하게도 이 문제를 해결한 것은 문제를 낸 힐베르트 자신이었다.

3.22. 보형함수(automorphic function)를 사용한 해석적 관계의 균일화

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해결

3.23. 변분법의 추가적인 개선

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해결이 불가능한 문제이다(변분법을 어떻게 개선하라는지가 없다).

3.24. 제24번 문제: 수학적 증명에서 간단함의 기준은 무엇인가? 그리고 주어진 증명이 가장 간단함을 증명할 수 있는 증명이론을 개발하라

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2000년에 다시 재발굴된 문제이며, 아직 해결되지 않았다.
이해하기 좀 어려운 문제일 수도 있는데, 예를 한번 들어보면, 피타고라스의 정리를 증명한다고 하자. 그 여러 가지 증명 중 가장 간단한 증명은 무엇이며, 그러한 간단함을 진단할 수 있는 기준이 무엇인가를 묻는 것이라 보면 된다. 이것을 확장해서, 어떤 임의의 수학적 문제에 대한 증명이 주어졌을 때, 그것이 가장 간단한가를 묻는다고 생각하면 된다.

4. 비고

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이 문제를 발표하면서 힐베르트는 다음 취지의 말을 했다고 한다.

"위 문제들과 수학의 여러 중요한 문제들 중, 리만 가설은 몇년 안에 해결될 것이고, 페르마의 마지막 정리는 여기 오신 분들의 자녀분들이 죽기 전에 해결될 것이며, $$a^b$$가 초월수임을 판정하는 문제는 몇 백 년이 걸릴지도 모릅니다."

재미있게도 힐베르트의 예상은 완전히 정반대로 진행되었다. $$a^b$$의 초월수 판정법은 겔폰트-슈나이더 정리가 1930년대에[1] 증명되면서 가장 먼저 해결되었고, 페르마의 마지막 정리는 1995년에 해결되었으며 리만 가설은 2021년 현재까지도 미해결 상태로 남아있다.
Mathematical Mysteries : The Beauty and Magic of Numbers라는 책을 쓴 캘빈 클로슨에 따르면 힐베르트가 천년 뒤의 세상에 할 첫 질문으로 '그래서 리만가설은 풀었니?'를 꼽았다는 걸 보면 본인도 반쯤은 허세로 한 말인 듯 하다.

[1] 이때 힐베르트는 아직 살아 있었다. 세 문제 중 힐베르트가 살아 있을 때 해결된 유일한 문제이다.