로가리듬
Logarithm
한국에서는 고등학교 과정에서 처음 배우는데, 안타깝게도 처음 로그를 접하는 학생들은 로그의 실제적이고 수학적인 장점을 충분히 느끼지 못하는 경우가 많다. 그냥 배워온 방정식으로 표현하면 될 걸 뭐하러 영단어 써가면서 기호 위치 바꾸고 이상하게 표현하냐는 것. 실제로 새로운 개념이 나온다는 부담감에 더해 계산도 한층 복잡해지는 극한과 로그, 그리고 미적분을 즈음하여 수포자가 대거 발생하는 것이 현실이기도 하다.
이는 교육 방식에도 다소 문제가 있는데, 사실 로그는 자연로그와 이를 이용한 계산을 할 때 본격적으로 그 강점을 실감할 수 있다. 반면 한국 교육과정의 경우 별도의 표기가 없는 $$\log$$의 밑을 상용로그를 기본으로 두고[4], 상용로그표를 이용한 계산까지 시키는 등 상용로그에 상당히 집착하는 모습을 보인다. 로그의 성질을 이해하기 위해 상용로그의 설명이 선행되어야 하는건 맞고, 상용로그가 계산의 편리함으로 과거 수학자들의 연구와 삶의 만족도(...)를 크게 개선시킨것도 엄연한 사실이지만, 이걸 지금에 이르러서 강조해 봐야 이미 학생마다 과거의 슈퍼컴퓨터급 단말기를 가지고 있는 시대이기에 코웃음이 나오는게 현실. 이렇기에 본격적인 로그의 응용에 들어가기도 전에 불필요한 계산으로 학생들이 새로운 개념에 질려버리는 경우가 많은 점이 문제로 꼽힌다.
좀 다른 관점으로 로그의 성질을 설명한다면, 로그는 일종의 '''둔한 저울'''이라고 생각해볼 수 있다. 언뜻 보기에는 이러한 점이 어떻게 장점이 되는지 와닿지 않을 수 있다. 그러나 아주 큰 숫자는 경우에 따라 아주 큰 골칫거리이다. 당장 10조를 써보면, 10,000,000,000,000가 된다. 특히나, 저런 단위의 숫자가 계속해서 등장하는 문서를 써야된다고 생각하면, 라플라스가 로그 덕분에 천문학자들의 수명이 두 배가 늘었다고 한 것이 과장이 아닐 것이다. 즉, 아주 큰 수를 불편한 것이라고 생각하고, 적당히 작은 수를 편리한 것이라고 생각한다면, 아주 무거운 것을 올려놓아도 눈금이 조금밖에 움직이지 않는 둔한 저울이 상대적으로 편리한 작은 수를 나타내 주는 훌륭한 도구라고 생각해 볼 수 있다.
지수(exponent) $$x$$와 밑수(base) $$a$$, 진수(value) $$b$$가 $$a^x = b$$를 만족한다고 할 때 $$x = \log_ab$$로 정의한다.[5] 즉, 곱하기가 나누기의 역연산인 것처럼 로그는 지수의 역연산이다. 읽을 때는 '$$a$$를 밑으로 하는 로그 $$b$$'라고 하는데 귀찮으니 대부분 '로그 $$a$$의 $$b$$'라고 읽는다. 실수 $$a$$, $$b$$에 대해 $$\log_ab$$가 실수 범위에서 값이 나오기 위해서는 $$a \ne 1$$, $$a>0$$, $$b>0$$이라는 조건이 붙어야 한다.
로그의 정의에 대해 쉽게 설명해보자. 예를 들어서 $$\log_{10}1000$$은 "$$1000$$으로 만들기 위해 필요한 $$10$$의 거듭제곱수"를 의미하며 이는 곧 $$3$$이므로 $$\log_{10}1000 = 3$$이라 표현했다고 이해하면 된다. 더 쉽게 설명하자면, "$$10$$을 몇 번 거듭 제곱해야 $$1000$$이 될까?"라는 질문에 대한 답을 구하는 것이다. 이 답을 구하기 위해 함수의 꼴로 만든 것이 로그함수이다.
특히 $$\ln x$$의 경우 어떤 미적분학 교재에서는 $$\ln x$$를 $$\dfrac1x$$의 정적분 즉, $$\displaystyle \ln x=\int_1^x \frac1t\,{\rm d}t\,(x>0)$$로 정의한다.[6] 자연로그의 밑 [math(e)]는 방정식 $$\ln x = 1$$의 근으로 정의되며 $$e^x$$를 $$\ln x$$의 역함수로 정의한 뒤[7], 우리가 아는 로그, 지수의 성질을 증명한다.
1614년에 존 네이피어가 만들었으며 당시엔 수십 자릿수의 곱셈을 할 수 있는 거의 유일한 방법이었기 때문에 정확한 로그표를 만들기 위해 평생을 바친 수학자도 있었다. '로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 두 배가 되었다'는 말이 있었을 정도. 계산기 하나와 컴퓨터면 거의 다 해결되는 시대가 되었지만, 지수 방식으로 표현하는 계산기와 컴퓨터는 저장 공간 상의 한계로 어쩔 수 없이 오차가 생긴다. '''정말 정확하게 계산하려면 로그를 써야했다.'''
물론 그 당시 로그의 정의는 지금과 상당히 달랐기에 '네이피어 로가리듬(Napierian Logarithm)'이라는 이름과 함께 $$\mathpunct{\rm NapLog}x$$라 나타내는 경우도 있다. 그 당시에만 해도 $$\sin$$값이 단위원[8]을 기준으로 정해지는 것이 아니라 반지름이 $$10^7$$ 정도로 큰 원을 기준으로 정해졌었는데, 그만큼 큰 값으로 계산을 할 일이 많았기 때문이다. 하지만 로그라는 이름으로 지금까지 내려온 만큼, 당시에 발명된 로그는 지금의 로그와 1차 선형 관계[9]에 있는 수준이다. 네이피어 로가리듬의 정의는 다음과 같다.
[image]
길이가 $$10^7$$인 선분 $$\overline{AB}$$와 반직선 $$\overrightarrow{CD}$$에 대하여 $$\overline{AB}$$위의 점 $$P$$와 $$\overrightarrow{CD}$$위의 점 $$Q$$가 각각 $$A$$와 $$C$$를 동시에 같은 속도로 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 할 때, 점 $$P$$의 속도는 $$\overline{PB}$$의 길이에 비례하고 점 $$Q$$는 등속 직선 운동을 하는 상황을 가정한다. 이 때, 거리 $$\overline{CQ}$$를 $$\overline{PB}$$의 로그라 정의했다. $$\overline{PB}$$의 길이는 시간이 지날수록 짧아지는데 이 길이와 점 $$P$$의 속도 $$v_P(t)$$가 비례하므로 다음과 같은 관계식을 세울 수 있다.
$$\overline{AP}(t)=\overline{AB}-\overline{PB}(t)=10^7-\overline{PB}(t)$$이며, $$\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{AP}(t)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(10^7-\overline{PB}(t))=-\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{PB}(t)$$이므로 위 식은 다음과 같은 1계 선형 미분방정식이 된다.
위 미분방정식은 변수 분리형이므로 $$\dfrac{{\rm d}\overline{PB}(t)}{\overline{PB}(t)}=-k{\rm d}t$$로 변형하고 양변을 $$t=0$$부터 $$t=t$$까지 적분해주면 된다. $$\overline{PB}(0)=\overline{AB}=10^7$$이므로
한편, 점 $$Q$$의 속도 $$v_Q(t)$$는 $$v_P(t)$$의 초기 속도이므로 $$v_Q(t)=v_P(0)=10^7k$$이며 $$\overline{CQ}(t) = 10^7 kt$$로 나타낼 수 있다. 오늘날의 로그를 이용하여 $$\overline{CQ}$$와 $$\overline{PB}$$의 관계를 나타내면
이므로, 최종적으로
가 된다. 오늘날의 관점에서 네이피어 로그는 상수항이 있기 때문에 진수의 곱을 로그의 합으로 바꿔주기 위해서는 두 진수의 곱을 $$10^7$$으로 나눠주는 조작을 가하거나, 두 네이피어 로그의 합에서 $$7{\cdot}10^7\ln10\fallingdotseq161180956.5$$를 빼야 했다. 이러한 특성 때문에 당시엔 로그함수가 지수함수의 역함수라는 성질이 잘 드러나지 않았다.
이렇듯 존 네이피어가 정의한 로가리듬이 결과적으로 자연로그였기 때문에, '자연로그의 '''구체적인 값''''을 연구한 최초의 수학자라는 타이틀이 붙기도 한다. 이 공로를 감안하여 일부 수학 서적에서는 자연로그의 밑 [math(e)]를 '네이피어 상수'(Napier's Constant)라고 하는 경우도 있으나, 전술한 바와 같이 $$e$$ 자체에 대해 연구한 것은 아니기 때문에 공식 명칭으로 받아들여지지는 않고 있다.
지수의 역함수 정도로 알고 넘어간 입장에서, 이러한 물리학에 입각한 로그의 초창기 정의를 보면 멘붕이 올 수도 있다. 로그의 성질에서 지수와의 연관성을 찾아내 지수함수의 역함수 형태로 정리한 오일러는 진짜로 대단한 것이다. 그러나 어려운 로그의 정의에도 불구하고, 그 당시 쓰던 삼각함수보다는 엄청나게 나았기 때문에 계산기가 등장하기 전까지 사용되었다. 예를 들어, 삼각함수로 계산할 때는 주로 수학Ⅱ에서 배우는 '합을 곱으로, 곱을 합으로' 라는 공식을 사용한다. 그런데 이 공식은 단순한 곱셈, 제곱은 의외로 잘 되지만 $$n$$제곱근 계산에 매우 취약하다. 로그계산을 하면 제곱 및 제곱근 계산이 매우 쉬운 것을 확인할 수 있는데, 말 그대로 천문학적인 수를 다뤄야 했던 천문학자들은 모두 환영했을 것임이 분명하다.
지수함수에서 밑이 생략되지 않는 것처럼 로그함수에서도 원칙상 밑은 생략하면 안 된다. 다만 $$2$$, $$10$$, 자연로그의 밑 [math(e)]일 때에 한하여, 다른 수들에 비해 그 중요성이 매우 높거나 빈번하게 쓰이기에 약속된 생략 기호가 있는데, 혼동을 피하기 위해 숫자만 생략하는 게 아니라 함수 표기를 다음과 같이 바꿔 쓴다. 아래 표에서 알 수 있듯이 모든 종류의 로그에 $$\log$$가 '다른 표기'로 들어가 있는 것처럼, 아직 로그함수의 약기는 통일되어있지 않으며 각 분야마다 중구난방 급으로 약속이 제각각이라는 것을 알 수 있다. 보통 $$\log$$를 특정 로그의 약기로 채택하고 있으면 다른 로그는 별도의 표기로 약속하고 있는 경우가 많으니 교재에서 어떻게 정의하고 있는지 잘 숙지해두자. 볼드체는 한국에서 주로 쓰이는 약기이다.
진수의 곱셈이 로그 값의 덧셈이 되는 특성상 천문학적인 큰 수의 곱셈에 유용하게 쓰인다. 계산기가 개발된 지금은 원래 목적으론 잘 안 쓰이긴 한다. 하지만 금융, 공학 등의 응용수학 분야에선 나타내고자 하는 값들이 넘사벽급으로 증가하여 변화를 알 수 없거나 거시적인 관점에서 전체를 보고 싶을 때[16] 축의 값에 $$\log$$를 취하여 사용하는 일이 다반사. 이런 그래프를 나타낼 때는 '로그 스케일(log scale)'이라는 말을 사용한다.
적절한 예가 바로 음향 이퀄라이저. 조정하는 주파수($$\rm Hz$$)는 대체로 로그 스케일인데, $$50\,{\rm Hz} \sim 20\,{\rm kHz}$$까지 일일이 선형 스케일로 가려다간 다 표시하지 못한다. 전술한 바와 같이 음압의 크기를 나타내는 데시벨은 정의 자체에 상용로그를 포함하고 있다. 또 다른 예로는 의외로 생물Ⅱ에서 등장하는데, 단순히 사망률과 인구를 비교할 때 '사람형', '히드라형', '굴형'이라고 구분할 때 쓰인다. 그래프 왼쪽에 '대수 지표'라고 써있지만 상술한 것처럼 '로그'를 의미하는 단어로서의 '대수'는 대한민국에서 거의 사어 수준인 관계로 이게 로그인지 대부분 모른다. 심지어 선생님들도 모르는 경우가 대다수.
일반적인 중등교육과정에서는 지수를 먼저 배우고 그의 역함수로서 로그를 배우지만, 미분과 적분의 관계처럼 실제로는 로그가 먼저 탄생했다. 거꾸로 배우고 있는 셈이다. 물론 고등수학 이상에서는 적분과 로그를 먼저 정의한 후, 이를 이용해 지수를 정의하기도 한다.
한편 해석적 정수론에서도 로그의 비중이 매우 크다. 정수론적 함수를 계산할 때 자주 등장하는데, 일례로 로그 적분 함수 $$\displaystyle {\rm li}(x)=\int_0^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}$$로 소수 계량 함수를 나누면 그 극한값이 $$1$$이 된다는 소수 정리가 있다.
복소해석학에서는 로그의 각 변수를 복소수로 확장한 함수가 나오는데, $$\begin{cases} a\ne0,~1 \\ b\ne0\end{cases}$$인 복소수 $$a$$, $$b$$에 대해서 $$\log_ab$$를 정의할 수 있다.
일반적으론 $$a = e$$이고 $$b$$가 복소수인 경우, 즉 복소수의 자연로그에 대해서만 다룬다. 자세한 내용은 복소로그함수 문서를 참고하자.
카시오 570같은 일부 공학용 계산기나 윈도우 내장 기본 계산기 등에서 로그의 계산을 하는 방법을 기술한다
먼저 log 버튼은 상용로그를, ln은 자연로그를 의미하며, 진수를 먼저 입력하고 버튼을 눌러야 제대로 계산이 된다. 즉 $$\log1000$$을 구하고 싶으면 1000을 먼저 입력한 뒤 log 버튼을 눌러야 한다. 단, 일부 계산기는 반대로 log를 누르고 진수를 입력해야 값을 뱉어내기도 한다. 후자의 대표격으로 모닝글로리의 ECS-101이 있다.
Windows 10 기본 계산기의 경우 ln 버튼이 보이지 않는데, 2nd 아이콘을 누르거나 계산기 창을 가로로 키우면 숨겨진 버튼이 드러난다.
밑이 $$10$$, $$e$$ 이외의 로그는 단순 버튼 입력으로는 구할 수 없기 때문에, $$\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$$ 라는 로그의 성질을 이용하여 계산을 해줘야 한다.
예를 들어 $$\log_28$$의 값을 알고 싶으면 (log 8)/(log 2) 혹은 (ln 8)/(ln 2)를 입력하면 된다. 이 때에도 입력 순서는 8 → log → ÷ → 2 → log로 진수를 먼저 입력해야하는 점에 주의. 다행히도 위 입력을 $$\log \dfrac8{\log 2}$$로 인식하진 않으며 혹, 진수에 분수가 들어간 값을 계산하고 싶으면 해당 분수를 먼저 입력한 뒤 log 버튼을 누르면 된다.
이것이 번거롭다면 윈도우 스토어에서 계산기 플러스를 받으면 된다. log(a)b 를 입력할 수 있다. 다만 그런 환경이 되지 못하는 경우 이 방법을 참고하면 좋다.
1. 개요
고대 그리스어로 '계산' 또는 '비(比)'를 뜻하는 λόγος(lŏgŏs)의 어간 log-와 '수'를 뜻하는 ἀριθμός(arithmŏs)의 합성어[1]에서 유래했다. 줄여서 로그(log)라고 한다. 한자어로는 지수(수학)에 대비된다는 의미에서 '대수(對數)'라고 하는데, 음이 같은 '대수(代數)'가 더 널리 쓰이는 데다 혼동을 일으킬 우려가 있어 거의 쓰이지 않는다.[2] 가끔 옛날 책에서 $$e$$를 정의할 때 '자연대수($$\ln$$)의 밑'이라고 쓰인 것이 있는데 이 '대수'가 로그를 가리키는 말이다. 물론 중국어와 일본어에서는 발음이 다르기에[3] 그대로 사용한다.'''로그로 천문학자들의 수명이 두 배로 늘었다.'''
2. 상세
한국에서는 고등학교 과정에서 처음 배우는데, 안타깝게도 처음 로그를 접하는 학생들은 로그의 실제적이고 수학적인 장점을 충분히 느끼지 못하는 경우가 많다. 그냥 배워온 방정식으로 표현하면 될 걸 뭐하러 영단어 써가면서 기호 위치 바꾸고 이상하게 표현하냐는 것. 실제로 새로운 개념이 나온다는 부담감에 더해 계산도 한층 복잡해지는 극한과 로그, 그리고 미적분을 즈음하여 수포자가 대거 발생하는 것이 현실이기도 하다.
이는 교육 방식에도 다소 문제가 있는데, 사실 로그는 자연로그와 이를 이용한 계산을 할 때 본격적으로 그 강점을 실감할 수 있다. 반면 한국 교육과정의 경우 별도의 표기가 없는 $$\log$$의 밑을 상용로그를 기본으로 두고[4], 상용로그표를 이용한 계산까지 시키는 등 상용로그에 상당히 집착하는 모습을 보인다. 로그의 성질을 이해하기 위해 상용로그의 설명이 선행되어야 하는건 맞고, 상용로그가 계산의 편리함으로 과거 수학자들의 연구와 삶의 만족도(...)를 크게 개선시킨것도 엄연한 사실이지만, 이걸 지금에 이르러서 강조해 봐야 이미 학생마다 과거의 슈퍼컴퓨터급 단말기를 가지고 있는 시대이기에 코웃음이 나오는게 현실. 이렇기에 본격적인 로그의 응용에 들어가기도 전에 불필요한 계산으로 학생들이 새로운 개념에 질려버리는 경우가 많은 점이 문제로 꼽힌다.
좀 다른 관점으로 로그의 성질을 설명한다면, 로그는 일종의 '''둔한 저울'''이라고 생각해볼 수 있다. 언뜻 보기에는 이러한 점이 어떻게 장점이 되는지 와닿지 않을 수 있다. 그러나 아주 큰 숫자는 경우에 따라 아주 큰 골칫거리이다. 당장 10조를 써보면, 10,000,000,000,000가 된다. 특히나, 저런 단위의 숫자가 계속해서 등장하는 문서를 써야된다고 생각하면, 라플라스가 로그 덕분에 천문학자들의 수명이 두 배가 늘었다고 한 것이 과장이 아닐 것이다. 즉, 아주 큰 수를 불편한 것이라고 생각하고, 적당히 작은 수를 편리한 것이라고 생각한다면, 아주 무거운 것을 올려놓아도 눈금이 조금밖에 움직이지 않는 둔한 저울이 상대적으로 편리한 작은 수를 나타내 주는 훌륭한 도구라고 생각해 볼 수 있다.
3. 정의
지수(exponent) $$x$$와 밑수(base) $$a$$, 진수(value) $$b$$가 $$a^x = b$$를 만족한다고 할 때 $$x = \log_ab$$로 정의한다.[5] 즉, 곱하기가 나누기의 역연산인 것처럼 로그는 지수의 역연산이다. 읽을 때는 '$$a$$를 밑으로 하는 로그 $$b$$'라고 하는데 귀찮으니 대부분 '로그 $$a$$의 $$b$$'라고 읽는다. 실수 $$a$$, $$b$$에 대해 $$\log_ab$$가 실수 범위에서 값이 나오기 위해서는 $$a \ne 1$$, $$a>0$$, $$b>0$$이라는 조건이 붙어야 한다.
로그의 정의에 대해 쉽게 설명해보자. 예를 들어서 $$\log_{10}1000$$은 "$$1000$$으로 만들기 위해 필요한 $$10$$의 거듭제곱수"를 의미하며 이는 곧 $$3$$이므로 $$\log_{10}1000 = 3$$이라 표현했다고 이해하면 된다. 더 쉽게 설명하자면, "$$10$$을 몇 번 거듭 제곱해야 $$1000$$이 될까?"라는 질문에 대한 답을 구하는 것이다. 이 답을 구하기 위해 함수의 꼴로 만든 것이 로그함수이다.
특히 $$\ln x$$의 경우 어떤 미적분학 교재에서는 $$\ln x$$를 $$\dfrac1x$$의 정적분 즉, $$\displaystyle \ln x=\int_1^x \frac1t\,{\rm d}t\,(x>0)$$로 정의한다.[6] 자연로그의 밑 [math(e)]는 방정식 $$\ln x = 1$$의 근으로 정의되며 $$e^x$$를 $$\ln x$$의 역함수로 정의한 뒤[7], 우리가 아는 로그, 지수의 성질을 증명한다.
4. 역사
1614년에 존 네이피어가 만들었으며 당시엔 수십 자릿수의 곱셈을 할 수 있는 거의 유일한 방법이었기 때문에 정확한 로그표를 만들기 위해 평생을 바친 수학자도 있었다. '로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 두 배가 되었다'는 말이 있었을 정도. 계산기 하나와 컴퓨터면 거의 다 해결되는 시대가 되었지만, 지수 방식으로 표현하는 계산기와 컴퓨터는 저장 공간 상의 한계로 어쩔 수 없이 오차가 생긴다. '''정말 정확하게 계산하려면 로그를 써야했다.'''
물론 그 당시 로그의 정의는 지금과 상당히 달랐기에 '네이피어 로가리듬(Napierian Logarithm)'이라는 이름과 함께 $$\mathpunct{\rm NapLog}x$$라 나타내는 경우도 있다. 그 당시에만 해도 $$\sin$$값이 단위원[8]을 기준으로 정해지는 것이 아니라 반지름이 $$10^7$$ 정도로 큰 원을 기준으로 정해졌었는데, 그만큼 큰 값으로 계산을 할 일이 많았기 때문이다. 하지만 로그라는 이름으로 지금까지 내려온 만큼, 당시에 발명된 로그는 지금의 로그와 1차 선형 관계[9]에 있는 수준이다. 네이피어 로가리듬의 정의는 다음과 같다.
[image]
길이가 $$10^7$$인 선분 $$\overline{AB}$$와 반직선 $$\overrightarrow{CD}$$에 대하여 $$\overline{AB}$$위의 점 $$P$$와 $$\overrightarrow{CD}$$위의 점 $$Q$$가 각각 $$A$$와 $$C$$를 동시에 같은 속도로 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 할 때, 점 $$P$$의 속도는 $$\overline{PB}$$의 길이에 비례하고 점 $$Q$$는 등속 직선 운동을 하는 상황을 가정한다. 이 때, 거리 $$\overline{CQ}$$를 $$\overline{PB}$$의 로그라 정의했다. $$\overline{PB}$$의 길이는 시간이 지날수록 짧아지는데 이 길이와 점 $$P$$의 속도 $$v_P(t)$$가 비례하므로 다음과 같은 관계식을 세울 수 있다.
$$\overline{AP}(t)=\overline{AB}-\overline{PB}(t)=10^7-\overline{PB}(t)$$이며, $$\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{AP}(t)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(10^7-\overline{PB}(t))=-\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{PB}(t)$$이므로 위 식은 다음과 같은 1계 선형 미분방정식이 된다.
위 미분방정식은 변수 분리형이므로 $$\dfrac{{\rm d}\overline{PB}(t)}{\overline{PB}(t)}=-k{\rm d}t$$로 변형하고 양변을 $$t=0$$부터 $$t=t$$까지 적분해주면 된다. $$\overline{PB}(0)=\overline{AB}=10^7$$이므로
한편, 점 $$Q$$의 속도 $$v_Q(t)$$는 $$v_P(t)$$의 초기 속도이므로 $$v_Q(t)=v_P(0)=10^7k$$이며 $$\overline{CQ}(t) = 10^7 kt$$로 나타낼 수 있다. 오늘날의 로그를 이용하여 $$\overline{CQ}$$와 $$\overline{PB}$$의 관계를 나타내면
이므로, 최종적으로
가 된다. 오늘날의 관점에서 네이피어 로그는 상수항이 있기 때문에 진수의 곱을 로그의 합으로 바꿔주기 위해서는 두 진수의 곱을 $$10^7$$으로 나눠주는 조작을 가하거나, 두 네이피어 로그의 합에서 $$7{\cdot}10^7\ln10\fallingdotseq161180956.5$$를 빼야 했다. 이러한 특성 때문에 당시엔 로그함수가 지수함수의 역함수라는 성질이 잘 드러나지 않았다.
이렇듯 존 네이피어가 정의한 로가리듬이 결과적으로 자연로그였기 때문에, '자연로그의 '''구체적인 값''''을 연구한 최초의 수학자라는 타이틀이 붙기도 한다. 이 공로를 감안하여 일부 수학 서적에서는 자연로그의 밑 [math(e)]를 '네이피어 상수'(Napier's Constant)라고 하는 경우도 있으나, 전술한 바와 같이 $$e$$ 자체에 대해 연구한 것은 아니기 때문에 공식 명칭으로 받아들여지지는 않고 있다.
지수의 역함수 정도로 알고 넘어간 입장에서, 이러한 물리학에 입각한 로그의 초창기 정의를 보면 멘붕이 올 수도 있다. 로그의 성질에서 지수와의 연관성을 찾아내 지수함수의 역함수 형태로 정리한 오일러는 진짜로 대단한 것이다. 그러나 어려운 로그의 정의에도 불구하고, 그 당시 쓰던 삼각함수보다는 엄청나게 나았기 때문에 계산기가 등장하기 전까지 사용되었다. 예를 들어, 삼각함수로 계산할 때는 주로 수학Ⅱ에서 배우는 '합을 곱으로, 곱을 합으로' 라는 공식을 사용한다. 그런데 이 공식은 단순한 곱셈, 제곱은 의외로 잘 되지만 $$n$$제곱근 계산에 매우 취약하다. 로그계산을 하면 제곱 및 제곱근 계산이 매우 쉬운 것을 확인할 수 있는데, 말 그대로 천문학적인 수를 다뤄야 했던 천문학자들은 모두 환영했을 것임이 분명하다.
5. 사용
지수함수에서 밑이 생략되지 않는 것처럼 로그함수에서도 원칙상 밑은 생략하면 안 된다. 다만 $$2$$, $$10$$, 자연로그의 밑 [math(e)]일 때에 한하여, 다른 수들에 비해 그 중요성이 매우 높거나 빈번하게 쓰이기에 약속된 생략 기호가 있는데, 혼동을 피하기 위해 숫자만 생략하는 게 아니라 함수 표기를 다음과 같이 바꿔 쓴다. 아래 표에서 알 수 있듯이 모든 종류의 로그에 $$\log$$가 '다른 표기'로 들어가 있는 것처럼, 아직 로그함수의 약기는 통일되어있지 않으며 각 분야마다 중구난방 급으로 약속이 제각각이라는 것을 알 수 있다. 보통 $$\log$$를 특정 로그의 약기로 채택하고 있으면 다른 로그는 별도의 표기로 약속하고 있는 경우가 많으니 교재에서 어떻게 정의하고 있는지 잘 숙지해두자. 볼드체는 한국에서 주로 쓰이는 약기이다.
$$10$$을 생략하는 건 우리가 쓰는 수체계가 십진법이기 때문이며, 비슷하게 컴퓨터 공학 분야는 이진법 체계로 구축되었기 때문에 $$\log_2 \to \log$$로 생략하는 편이다.[12] $$e$$도 미적분학에서 매우 중요한 수이며 이 분야에서는 자연로그가 상용로그보다 빈번하게 쓰이기 때문에 $$\ln$$이 아닌 $$\log$$로 표기되는 경우가 잦고[13] 일본 고등학교 교육과정에서도 자연로그를 $$\log$$로 쓰는데, 한국의 수학 교육과정이 일본의 영향을 많이 받았기 때문에 한국의 옛날 수학 서적을 보면 자연로그를 $$\log$$로 표기한 예를 많이 볼 수 있다. 다만, 수학이 아닌 이공계 전공 서적으로 가면 상용로그가 많이 보인다. 물리학에서는 데시벨, 화학에서는 pH[14], 지구과학Ⅱ의 '천체와 우주'에서 거리지수를 구할 때에도 상용로그를 쓴다. $$\ln10\fallingdotseq2.303$$이므로 경우에 따라선 $$\ln x$$로 써야 할 곳에서도 $$2.303 \log x$$로 쓰는 경우를 볼 수 있다.[15] 또한 굉장히 큰 범위의 결과를 그래프로 그릴 때에는 축의 값을 상용로그로 나타내어 주는 경우도 많다. 아래의 이퀄라이저와 동일한 원리.
진수의 곱셈이 로그 값의 덧셈이 되는 특성상 천문학적인 큰 수의 곱셈에 유용하게 쓰인다. 계산기가 개발된 지금은 원래 목적으론 잘 안 쓰이긴 한다. 하지만 금융, 공학 등의 응용수학 분야에선 나타내고자 하는 값들이 넘사벽급으로 증가하여 변화를 알 수 없거나 거시적인 관점에서 전체를 보고 싶을 때[16] 축의 값에 $$\log$$를 취하여 사용하는 일이 다반사. 이런 그래프를 나타낼 때는 '로그 스케일(log scale)'이라는 말을 사용한다.
적절한 예가 바로 음향 이퀄라이저. 조정하는 주파수($$\rm Hz$$)는 대체로 로그 스케일인데, $$50\,{\rm Hz} \sim 20\,{\rm kHz}$$까지 일일이 선형 스케일로 가려다간 다 표시하지 못한다. 전술한 바와 같이 음압의 크기를 나타내는 데시벨은 정의 자체에 상용로그를 포함하고 있다. 또 다른 예로는 의외로 생물Ⅱ에서 등장하는데, 단순히 사망률과 인구를 비교할 때 '사람형', '히드라형', '굴형'이라고 구분할 때 쓰인다. 그래프 왼쪽에 '대수 지표'라고 써있지만 상술한 것처럼 '로그'를 의미하는 단어로서의 '대수'는 대한민국에서 거의 사어 수준인 관계로 이게 로그인지 대부분 모른다. 심지어 선생님들도 모르는 경우가 대다수.
일반적인 중등교육과정에서는 지수를 먼저 배우고 그의 역함수로서 로그를 배우지만, 미분과 적분의 관계처럼 실제로는 로그가 먼저 탄생했다. 거꾸로 배우고 있는 셈이다. 물론 고등수학 이상에서는 적분과 로그를 먼저 정의한 후, 이를 이용해 지수를 정의하기도 한다.
한편 해석적 정수론에서도 로그의 비중이 매우 크다. 정수론적 함수를 계산할 때 자주 등장하는데, 일례로 로그 적분 함수 $$\displaystyle {\rm li}(x)=\int_0^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}$$로 소수 계량 함수를 나누면 그 극한값이 $$1$$이 된다는 소수 정리가 있다.
6. 복소함수로의 확장
복소해석학에서는 로그의 각 변수를 복소수로 확장한 함수가 나오는데, $$\begin{cases} a\ne0,~1 \\ b\ne0\end{cases}$$인 복소수 $$a$$, $$b$$에 대해서 $$\log_ab$$를 정의할 수 있다.
일반적으론 $$a = e$$이고 $$b$$가 복소수인 경우, 즉 복소수의 자연로그에 대해서만 다룬다. 자세한 내용은 복소로그함수 문서를 참고하자.
7. 계산기에서
카시오 570같은 일부 공학용 계산기나 윈도우 내장 기본 계산기 등에서 로그의 계산을 하는 방법을 기술한다
먼저 log 버튼은 상용로그를, ln은 자연로그를 의미하며, 진수를 먼저 입력하고 버튼을 눌러야 제대로 계산이 된다. 즉 $$\log1000$$을 구하고 싶으면 1000을 먼저 입력한 뒤 log 버튼을 눌러야 한다. 단, 일부 계산기는 반대로 log를 누르고 진수를 입력해야 값을 뱉어내기도 한다. 후자의 대표격으로 모닝글로리의 ECS-101이 있다.
Windows 10 기본 계산기의 경우 ln 버튼이 보이지 않는데, 2nd 아이콘을 누르거나 계산기 창을 가로로 키우면 숨겨진 버튼이 드러난다.
밑이 $$10$$, $$e$$ 이외의 로그는 단순 버튼 입력으로는 구할 수 없기 때문에, $$\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$$ 라는 로그의 성질을 이용하여 계산을 해줘야 한다.
예를 들어 $$\log_28$$의 값을 알고 싶으면 (log 8)/(log 2) 혹은 (ln 8)/(ln 2)를 입력하면 된다. 이 때에도 입력 순서는 8 → log → ÷ → 2 → log로 진수를 먼저 입력해야하는 점에 주의. 다행히도 위 입력을 $$\log \dfrac8{\log 2}$$로 인식하진 않으며 혹, 진수에 분수가 들어간 값을 계산하고 싶으면 해당 분수를 먼저 입력한 뒤 log 버튼을 누르면 된다.
이것이 번거롭다면 윈도우 스토어에서 계산기 플러스를 받으면 된다. log(a)b 를 입력할 수 있다. 다만 그런 환경이 되지 못하는 경우 이 방법을 참고하면 좋다.
8. 기타
- EZ2AC EC 이전까지의 점수체계는 로그를 사용한다. 자세한 건 EZ2AC 항목의 세부항목 참조.
- 계산자
- 네이피어 계산봉
- 상용로그, 자연로그
- 로그함수
- 로그 적분 함수
- 폴리로그함수
[1] 즉, 직역하면 비수(比數)가 될 것이다.[2] 대한수학회에서도 '로그'만을 정식 명칭으로 채택했다.[3] 중국어: 对数(duìshù; 로가리듬), 代数(dàishù; 대수)
일본어:対 数 (로가리듬), 代 数 (대수)[4] 해외에서는 아예 고등학교 과정부터 밑을 생략한 것을 자연로그로 가르친다.[5] 다만 복소수 범위에서는 $$x$$가 유일하지는 않기 때문에 유일하게 만들려면 $$a^x = b$$를 만족하는 $$x$$ 중 실수 $$x$$ 등의 조건을 붙여야만 한다. 보통은 분기를 절단하여 하나의 값을 가지게 한다.[6] $$\displaystyle \int x^m\,{\rm d}x=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C\,(m\ne-1)$$에서 알 수 있듯이 $$\dfrac1x$$는 $$m=-1$$에 해당하기 때문에 단항식의 적분을 적용할 수 없다.[7] 엄밀히 말하면 $$\ln x$$의 역함수를 $$\exp(x)$$로 정의한 뒤, $$\exp(x) = e^x$$임을 증명한다.[8] 반지름이 $$1$$인 원[9] $$y = ax+b$$ 꼴로 나타내어지는 관계.[10] ISO 31-11[11] 대학 미적분학의 일부 분야 한정. 이 경우 상용로그를 볼 일이 거의 없기 때문에 자연로그를 $$\log$$로 정의하고 상용로그는 밑 $$10$$을 일일이 명시해주거나 로그함수의 특성(밑 변환)을 이용하여 $$\log_{10}a = \dfrac{\log a}{\log 10}$$와 같이 나타낸다. 특히 복소함수론으로 넘어가서 변수가 $$z$$가 되면 복소수의 크기 $$|z| = r$$외에도 편각(argument) $$\arg z = \theta$$라는 다른 변수가 추가되는데, 각도의 특성상 똑같은 복소수 값이라 하더라도 편각이 단 하나로 정의되지 않기 때문에 역삼각함수의 주값(principal value)처럼 편각의 구간이 [math((-\pi,~\pi])[12] 다만 C언어, Java, 하스켈, BASIC등의 경우 미적분학처럼 $$\log$$가 자연로그를 가리키고, 그 이외의 로그($$\rm lg$$ 등)는 따로 정의해야 한다.[13] 저명한 몇몇 미적분학 전공 수학자들은 $$\ln$$이라는 약기를 꺼려하고, 특히 헝가리 출신 미국의 수학자 폴 할모스(Paul Halmos)는 그의 자서전 《나는 수학자가 되고 싶다: 자서수학전》(''I Want to Be a Mathematician: An Automathography'', 1985)에서 $$\ln$$에 대해 '유치한 $$\ln$$ 표기'(''childish $$\ln$$ notation'')라며 비판한 바 있다. 그도 그럴 것이 $$\ln$$이라는 표기는 어빙 스트링엄(Irving Stringham)이 1904년에 독자적으로 도입한 것이기 때문이다.[14] 용액의 [math(\rm pH)]는 수소 이온 $$\rm H^+$$의 활동도를 $$a_{\rm H^+}$$라 나타냈을 때 $${\rm pH} = -\log a_{\rm H^+}$$로 정의되는데 여기에서의 $$\log$$가 상용로그이다.[15] $$\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$$이므로 $$\log_{10}x\times \ln 10=\ln x$$이다.[16] 다이내믹 레인지(Dynamic Range; DR)라고 한다. DR이 클수록 값을 한눈에 보기가 힘들다.
일본어: