관성 모멘트
1. 개요
'''Moment of inertia'''
물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 $$I$$를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
생각해보자. 어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$ 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 $$ \mathbf{F} $$가 주어지면, 계는 가속도 $$ \mathbf{a} $$로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 $$ m $$은 물체가 힘에 '저항'[1]하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌린다고 했을때, 막대의 중심에서 돌리는 것과, 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, '''나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다.''' 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도간의 관계는 $$ \boldsymbol{\tau}=I\boldsymbol{\alpha} $$ 로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
2. 정의
2.1. 회전 운동 에너지로부터의 도출
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.
$$n$$개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 $$\boldsymbol{\omega}$$로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 $$T_{r}$$은 각 질점의 운동 에너지의 합 같다. 이때, $$i$$번째 질점의 선속도를 $$ {\mathbf{v}}_{i}$$라 놓으면,
$$ \displaystyle T_{r}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}({\mathbf{v}}_{i} \cdot {\mathbf{v}}_{i} ) $$
[1] 이를 엄밀히 정의한 것이 '관성의 법칙'이다.
$$ \displaystyle T_{r}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}(r_{i}\omega)^{2}=\frac{1}{2} \left[ \sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2} \right] \omega^{2} $$
$$ \displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^{n} m_i r^2_i$$
따라서 회전 운동 에너지를
$$ \displaystyle T_{r}=\frac{1}{2} I\omega^{2} $$
2.2. 종합
회전축으로 부터 떨어진 거리가 $$r$$인 점질량[2] $$m$$이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어지게 된다.
이때, 같은 축으로 부터 $$n$$개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이다. 즉,
$$ \displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^{n} m_i r^2_i$$
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포함에 따라 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우에는 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로 부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 $$dI=r^2\,dm$$이 된다. 이때, $$\mathbf{r}$$에서의 밀도 $$\rho(\mathbf{r})$$를 도입하면, 미소 질량 $$dm=\rho(\mathbf{r})\,dV$$로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 $$dI=\rho(\mathbf{r})r^2\,dV$$로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
$$ \displaystyle I=\int r^2\,dm=\int \rho(\mathbf{r})r^2\,dV$$
[image]
그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 $$\sigma(\mathbf{r})$$나 얇은 줄 등 선밀도 $$\lambda(\mathbf{r})$$를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 '''단면 2차 모멘트''', '''단면 1차 모멘트'''라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} I &\equiv \int \sigma(\mathbf{r})r^2\,da \\ I &\equiv \int \lambda(\mathbf{r})r^2\,dl \end{aligned}$$
단위는 차원 분석 시 $$[\textrm{Mass}][\textrm{Length}]^{\textrm{2}}$$가 나오므로 $$\textrm{kg} \cdot \textrm{m}^{\textrm{2}}$$가 된다.
3. 관성 모멘트 목록
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.
아래의 모든 강체의 질량은 $$ \displaystyle M$$이며, 밀도는 균일하다.
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트는 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.
4. 관련 정리
4.1. 평행축 정리(parallel-axis theorem)
[image]
평행축 정리는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 $$M$$인 질점계의 질량중심을 $$\textrm{CM}$$이라 하고, 그 점에서 수직하게 지나가는 회전축 $$\textrm{I}$$을 고려해보자. 그 축에서 측정된 계의 관성 모멘트를 $$I_\textrm{CM}$$이라 놓자. 또, 계에서 $$i$$번째 질점을 $$m_{i}$$라 놓고, 회전축 $$\textrm{I}$$을 기준으로 $$i$$번째 질점까지의 위치 벡터를 $$\mathbf{r'}_{i}$$[4]이라 하면,
$$ \displaystyle I_{\textrm{CM}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{r'}_{i} \cdot \mathbf{r'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}$$
이때, 축을 $$\textrm{CM}$$으로 부터 $$\mathbf{a}$$만큼 평행이동한 회전축을 회전축 $$\textrm{II}$$라 하고, 이 축에서 측정된 관성 모멘트를 $$I_\textrm{P}$$라 하자. 이때, 축으로 부터 질점까지의 거리 벡터는 $$\mathbf{R'}_{i}=\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}$$가 된다. 따라서
$$ \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{R'}_{i} \cdot \mathbf{R'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} \left[ (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \right]$$
$$ \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2}-2\mathbf{a} \cdot \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i} $$
$$ \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2}$$
[참고] 총 질량이 $$M$$인 질점계의 질량중심 벡터 $$ \displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i}$$이다.
$$ \displaystyle I_{\textrm{P}} = I_{\textrm{CM}}+Ma^{2}$$
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
4.2. 수직축 정리
[image]
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. $$ xy $$평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[5], 서로 수직한 세개의 축을 각각 $$ x, y, z $$축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 $$I_{x}$$,$$I_{y}$$, $$I_{z}$$라 하자.
이때, 각 축에 대한 $$i$$번째 질점까지의 거리를 $$r_{ix}$$,$$r_{iy}$$, $$r_{iz}$$라 놓으면, $$n$$개의 질점계에 대해
이고, 피타고라스 정리에 의해
$$ \displaystyle r_{iz}^{2}=r_{ix}^{2}+r_{iy}^{2}$$
$$ \displaystyle I_{z} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} (r_{ix}^{2}+r_{iy}^{2})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{ix}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{iy}^{2}$$
$$ \displaystyle I_{z} = I_{x} + I_{y} $$