관성 텐서
1. 개요
'''Inertia tensor'''
관성 텐서는 기존 관성 모멘트가 회전축에 따라 달라지는 것을 보완하고, 평면 상의 강체 회전 뿐만 아니라 $$ 3 $$차원 상의 회전을 기술하기 위한 관성 모멘트에 대응하는 물리량이다.
2. 사전 배경
각운동량 $$ \mathbf{L} $$은 각속도 $$ \boldsymbol{\omega} $$와 다음과 같은 관계에 있음을 알고 있다.[1]
위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트 $$ I $$는 스칼라이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때이며, 3차원 상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전[2]할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트 $$ I $$는 스칼라가 될 수 없다.
결론부터 얘기 하면, $$ I $$는 스칼라, 벡터 보다 고급인 함수인데, 바로 텐서이다.
3. 관성 텐서의 도출
우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로 부터 도출해보자.
[image]
그림과 같이 고정 좌표계인 $$ x_{i}' $$계와 강체의 질량 중심 $$ \textrm{O} $$을 원점으로, 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) $$ x_{i} $$계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 $$ \boldsymbol{\omega} $$로 회전한다 하면, 아래가 성립한다.[3]
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} $$
- $$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} $$: 고정 좌표계에서 측정한 질점 $$ m_{\alpha} $$의 속도.
- $$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} $$: 고정 좌표계에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도.
- $$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}} $$: 회전 좌표계에서 측정한 질점 $$ m_{\alpha} $$의 속도.
- $$ \displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} $$: 회전 좌표계의 회전에 의한 질점 $$ m_{\alpha} $$이 갖는 속도.
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v}_{\alpha},\,\,\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}\equiv \mathbf{V} $$
$$ \displaystyle \mathbf{v}_{\alpha}=\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} $$
따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이다.
$$ \displaystyle T=\sum_{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}({\mathbf{v}}_{\alpha} \cdot {\mathbf{v}}_{\alpha} )=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) \cdot (\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})] $$
$$ \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2}+\mathbf{V} \cdot \left ( \boldsymbol{\omega} \times \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \right) $$
$$ \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} $$
$$ \displaystyle T= \frac{1}{2} MV^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} $$
$$ \displaystyle \frac{1}{2} MV^{2} \equiv T_{\textrm{trans}},\,\, \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} \equiv T_{\textrm{rotating}} $$
이때, $$ (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} = (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})\cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) $$를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면,
$$ \displaystyle \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[\omega^{2} r_{\alpha}^{2}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}_{\alpha})^{2}] $$
$$ \displaystyle \sum _{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}\left [ \left ( \sum _{i} \omega_{i}^{2} \right ) \left ( \sum _{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-\left ( \sum _{i} \omega_{i}x_{\alpha i} \right ) \left ( \sum _{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ] $$
$$ \displaystyle \sum_{ij}\frac{1}{2} \omega_{i}\omega_{j} \left \{ \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] \right \} $$
$$ \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] $$
$$ \boldsymbol{\mathsf{I} }=\begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) &\displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{2} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{1} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{1} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{2} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{bmatrix} $$
연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수 $$ \rho(\mathbf{r}) $$를 이용하면,
$$ \displaystyle I_{ij} \equiv \int \rho(\mathbf{r}) \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{ k}^{2} \right )-x_{ i}x_{ j} \right ] dV $$
따라서 이것을 이용하면, 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기 가능하다.
$$ \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j} $$
4. 각운동량의 기술
강체의 각운동량은 각 질점의 각운동량의 합과 같으므로
$$ \displaystyle \mathbf{L}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times \mathbf{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times (m_{\alpha} \mathbf{v}_{\alpha}) =\sum_{\alpha}m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times ( \boldsymbol{\omega}_{\alpha} \times \mathbf{r}_{\alpha}) $$
$$ \displaystyle \mathbf{L} =\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left [ r_{\alpha}^{2}\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}_{\alpha}) \mathbf{r}_{\alpha} \right ] $$
$$ \displaystyle L_{i}= \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \omega_{i}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} \left ( \sum_{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ] $$
$$ \displaystyle L_{i} = \sum_{j} \omega_{j} \left \{ \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij} \left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} x_{\alpha j} \right ] \right \} $$
$$ \displaystyle L_{i} = \sum_{j} I_{ij} \omega_{j} $$
$$ \displaystyle \mathbf{L} = \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} $$
각운동량 식에서 양변에 $$ \omega_{i}/2 $$를 곱하고, $$ i $$에 대한 합을 하면,
$$ \displaystyle \sum_{i} \frac{1}{2} \omega_{i} L_{i} = \sum_{ij} \frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i} \omega_{j} $$
$$ \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} $$
5. 관련 정리
5.1. 임의의 축에 대한 관성 모멘트
이번에는 관성 텐서를 이용하여, 임의의 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 어떻게 구하는 지 알아보자.
[image]
위 그림과 같이 각속도 $$ \boldsymbol{\omega} $$로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점 $$ \textrm{O} $$를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터 $$ \hat{\mathbf{n}} $$를 방향 코사인으로 나타내면,
$$ \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma}) $$
$$ \displaystyle I = \sum_{\alpha} m_{\alpha} {r'}_{\alpha}^{2} $$
$$ {r'}_{\alpha}^{2} = (r_{\alpha} \sin{\theta_{\alpha}})^{2} = \left| \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{r}_{\alpha} \right|^{2} $$
[4] 위에서 프라임은 축으로부터 수직으로 측정된 거리임을 강조하기 위해 붙였다.
$$ I=\begin{bmatrix}\cos{\alpha} & \cos{\beta} & \cos{\gamma} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] $$
$$ \displaystyle I = \boldsymbol{\lambda}^{T} \cdot \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\lambda} $$
5.2. 평행축 정리
[image]
위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌 $$ \textrm{Q} $$을 원점으로 잡은 $$ X_{i} $$계를 벡터 $$ \mathbf{a} $$만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인 $$ \textrm{O} $$가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴 $$ x_{i} $$계를 고려해보자. 이때, $$ X_{i} $$계에서 측정된 관성 텐서의 성분을 $$ J_{ij} $$라 놓으면,
$$ \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} X_{\alpha k}^{2} \right )-X_{\alpha i}X_{\alpha j} \right ] $$
$$ \displaystyle \mathbf{R}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}+\mathbf{a} $$
$$ \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left \{ \sum_{k} (x_{\alpha k}+a_{k})^{2} \right \}-(x_{\alpha i}+a_{i})(x_{\alpha j}+a_{j}) \right ] $$
$$ \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ]+\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j} \right ]-2\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left[ \delta_{ij} \sum_{k} x_{\alpha k}a_{k}-(x_{\alpha i} a_{j}+x_{\alpha j} a_{i}) \right] $$
이상에서
$$ \displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j} \right ] $$
6. 관성 주축
위에서 $$ 3 $$차원 상에서 강체의 회전 운동 시 각운동량과 각속도는 서로 평행하지 않음을 알아냈다. 그러나, '''특정 축에선 이들이 평행할 수 있다.''' 그러한 축을 '''관성 주축'''이라 한다. 즉,
$$ \displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} =I \boldsymbol{\omega} $$
$$ \displaystyle (\boldsymbol{\mathsf{I} }-I \boldsymbol{\mathsf{E}} ) \cdot \boldsymbol{\omega} =0 $$
[5] 관성 텐서가 2차 텐서이므로 여기서 단위 텐서는 단위 행렬을 말한다.
$$ \displaystyle \begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_{1}\\ \omega_{2}\\ \omega_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle \begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{vmatrix}=0 $$
여기까지 왔다면, 눈치 챈 사람도 있겠지만, 관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 똑같다는 것을 알 수 있다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고유값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터[6]가 곧 주축에 대응하게 된다.
정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고유값 $$ I $$가 주축의 관성 모멘트임을 알 수 있고, 해당 고유값으로 구해진 각속도 벡터
$$ \displaystyle \boldsymbol{\omega}= (\omega_{1}, \, \omega_{2}, \, \omega_{3}) $$
[6] 여기서는 각속도 벡터가 구해지는데, 각속도는 회전축과 평행하다. 즉, 여기서 구해지는 각속도 벡터가 곧 주축이라 볼 수 있다.
주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴로 나타나게 된다.
$$ \displaystyle \boldsymbol{\mathsf{I} } = \begin{bmatrix}I_{1} &0 &0 \\ 0 & I_{2} &0 \\ 0 &0 & I_{3}\end{bmatrix} $$
관성 텐서의 경우 구해진 주축은 모두 직교하게 되며, 주축의 관성 모멘트는 실수 값이 구해지게 된다. 대칭행렬, 스펙트럼 정리 참조. 이것에 대한 증명은 수준 상 생략한다.
7. 관성 텐서 도입의 장점
관성 모멘트의 정의에서 같은 물체를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 불편함을 해결하기 위해 관성 텐서가 도입되었다.
관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식[7]에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.
8. 관련 문서
[7] $$ L=I \omega $$