닮음(행렬)

 


1. 정의
2. 의미
3. 닮음불변량
4. 활용
4.1. 거듭제곱
4.2. 선형 변환의 분해
5. 같이 보기


1. 정의

체 $$F$$에 대해, $$n$$차 정사각행렬 $$A$$, $$B$$가 '''닮음(similar)''', 또는 '''상사(相似)'''[1]라는 것은 $$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$$가 존재하여, $$A=PBP^{-1}$$임을 말한다. 이 경우, $$A\sim B$$라 표현한다.

2. 의미

$$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$$는 $$F^{n}$$의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, $$A$$, $$B$$가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

3. 닮음불변량

닮음불변량이란, 닮음 관계에 있는 행렬들이 서로 같은 값을 갖는 것을 의미하며, 다음과 같은 것들이 있다.

4. 활용


4.1. 거듭제곱

만약, 대각행렬[3] $$D$$이 존재하여, $$A=PDP^{-1}$$라 하자. 그러면, $$ A^{k}=PD^{k}P^{-1}$$이고, $$D^{k}$$를 계산하는 것은, $$A^{k}$$를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다.[4]그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[5] $$B$$에 대해, $$A=PBP^{-1}$$가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

4.2. 선형 변환의 분해

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[6] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.

5. 같이 보기


[1] 행렬 A와 B가 서로 비슷하다는 뉘앙스이다.[2] 예를 들어, $$R^{3}$$에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 $${(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)}$$에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.[3] 주대각선 밖의 원소가 모두 [math(0)]인 행렬 [4] $$D$$가 $$n\times n$$ 형태의 대각행렬일 때, $$D=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}l_m e_{mm}$$이라고 하면, $$D^k$$는 $$D^k=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}{l_m}^k e_{mm}$$이 된다. 즉 대각행렬의 n차 거듭제곱은 각 성분만 n제곱하면 되는 것.
※$$e_{kl}$$은 $$k$$행 $$l$$열만 1이고 그 외의 성분이 0인 특수한 행렬을 의미한다. 즉 $$e_{mm}$$은 m행 m열의 원소만 1이고 그 외의 원소가 모조리 0인 행렬을 의미한다.[5] $$B=\bigoplus B_{i}$$로 표현된다면, $$B^{k}=\bigoplus B_{i}^{k}$$이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, $$D=\bigoplus d_{i}$$이다. [6] $$V=\bigoplus W_{i}$$라면, 선형 변환 $$T$$는 $$T=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}}$$으로 표현될 것이다.

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