닮음(행렬)

1. 정의

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체 $F$에 대해, $n$차 정사각행렬 $A$, $B$가 '''닮음(similar)''', 또는 '''상사(相似)'''[1]라는 것은 $P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$가 존재하여, $A=PBP^{-1}$임을 말한다. 이 경우, $A\sim B$라 표현한다.

2. 의미

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$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$는 $F^{n}$의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, $A$, $B$가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

3. 닮음불변량

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닮음불변량이란, 닮음 관계에 있는 행렬들이 서로 같은 값을 갖는 것을 의미하며, 다음과 같은 것들이 있다.

• 고유다항식
• 최소다항식
• 고유값과 고유값의 중복도
• 대각화 가능 여부
• (존재할 경우) 조르당 표준형
• 대각합
• 행렬식
• 계수(rank)

4. 활용

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4.1. 거듭제곱

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만약, 대각행렬[3] $D$이 존재하여, $A=PDP^{-1}$라 하자. 그러면, $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$이고, $D^{k}$를 계산하는 것은, $A^{k}$를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다.[4]그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[5] $B$에 대해, $A=PBP^{-1}$가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

4.2. 선형 변환의 분해

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선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[6] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.

5. 같이 보기

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• 대각화
• 조르당 분해
• cyclic decomposition
• primary decomposition

[1] 행렬 A와 B가 서로 비슷하다는 뉘앙스이다.

[2] 예를 들어, $R^{3}$에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 ${(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)}$에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.

[3] 주대각선 밖의 원소가 모두 [math(0)]인 행렬

[4] $D$가 $n\times n$ 형태의 대각행렬일 때, $D=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}l_m e_{mm}$이라고 하면, $D^k$는 $D^k=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}{l_m}^k e_{mm}$이 된다. 즉 대각행렬의 n차 거듭제곱은 각 성분만 n제곱하면 되는 것.
※$e_{kl}$은 $k$행 $l$열만 1이고 그 외의 성분이 0인 특수한 행렬을 의미한다. 즉 $e_{mm}$은 m행 m열의 원소만 1이고 그 외의 원소가 모조리 0인 행렬을 의미한다.

[5] $B=\bigoplus B_{i}$로 표현된다면, $B^{k}=\bigoplus B_{i}^{k}$이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, $D=\bigoplus d_{i}$이다.

[6] $V=\bigoplus W_{i}$라면, 선형 변환 $T$는 $T=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}}$으로 표현될 것이다.