대칭군
1. 대수학에서 집합의 치환들을 모은 군
Symmetric group
1.1. 개요
대칭군이란 군의 일종으로, 어떤 집합 $$S$$에 대해 $$S$$에서 $$S$$로 가는 '''일대일 대응 함수(bijective function)'''[1]들을 원소로 갖는 군이다. 자기 자신으로 가는 함수는 원소의 순서를 섞는 것이므로 이 함수를 '''순열'''이라고 부른다. 군이론에서 가장 기본이 되는 군이면서 중요한 군이므로 대수학을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아 두도록 하자
1.2. 정의
어떤 집합 $$A$$가 주어졌을 때, 그 집합 $$A$$의 치환#치환(군론)[2]들로 만들어지는 모든 것을 원소로 갖는 군을 대칭군이라 한다.
보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.
집합 $$A$$에서 유도된 대칭군을 $$S_A$$와 같이 표현한다.[5] 또 $$\left|A\right|=n$$이면 $$S_{n}$$으로도 표현하고[6], 이를 "$$n$$차 대칭군"이라고 한다.
1.3. 대칭군의 성질
1.3.1. 대칭군의 직관적인 이해
군 문서에서 알 수 있듯이 모든 군은 어떤 수학적 대상의 "대칭 구조"에서 자연스럽게 나온 대상이다.
대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로
모든 군이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다,
예를 들어서 정사각형에서 유도되는 이면군을 생각해보자
정사각형의 각 꼭짓점에 반시계 방향으로 번호를 붙여 그 배열을 $$\left(1,~2,~3,~4\right)$$로 표현하면 정사각형을 회전해서 $$\left(2,~3,~4,~1\right)$$과 같은 배열을 만들 순 있으나 $$\left(2,~1,~4,~3\right)$$ 같은 배열은 정사각형의 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려도 $$\left(1,~3,~2,~4\right)$$와 같은 배열은 만들 수 없다[7]
하지만 $$\left(1,~2,~3,~4\right)$$를 단순히 점들의 집합으로 본다면 $$\left(1,~3,~2,~4\right)$$ 같은 것을 포함한 모든 배열이 가능하다.
즉, 모든 이면군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는 것이다.
여기서 알 수 있듯이 대칭군은 어떠한 규칙 없이 집합의 원소를 섞는 것으로 만들어진다는 것을 알 수 있다.[8]
일상생활에서는 특별한 규칙 없이 무작위로 섞는 '''카드 섞기'''가 대칭군의 성질을 띤다는 것을 알 수 있다.
수학적 대상을 생각한다면 $$n$$차원 단체(simplex)에서 유도되는 군이 $$S_n$$, $$A_n$$임을 알 수 있다.
1.3.2. 대칭군 원소의 표기법
일반적으론 위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 $$2$$행 표기법을 쓴다.[9]
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}$$
그러나 제$$1$$행에는 반드시 항등치환의 순서가 오기 때문에 치환 함수에서는 종종 제$$1$$행을 생략하고 교환하는 순서만을 표기한 $$1$$행 표기법이 쓰이기도 한다. 이때 부동점은 편의상 생략된다.
$$\sigma_{1542}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}$$
1.3.3. 순환(cycle)
어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 $$\left\{1,~5,~4,~2\right\}$$뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나. $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 3 & 5 & 4\end{pmatrix}$$에서 변하는 원소들의 모임은 $$\left\{4,~5\right\}$$, $$\left\{1,~2\right\}$$이므로 순환이 아니다.
모든 순환은 $$\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}$$와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, $$1 \rightarrow 5$$, $$5 \rightarrow 4$$, $$4 \rightarrow 2$$, $$2 \rightarrow 1$$로 바꾸는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, $$\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}$$은 $$2$$와 $$3$$을 맞교환하는 것이다.
이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 개수를 순환의 길이라 한다. $$\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}$$는 길이가 $$4$$인 순환, $$\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}$$은 길이가 $$2$$인 순환이다. 또한, 이렇게 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다.
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}$$을 예로, 이 대칭군은 $$\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}$$와 $$\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix}$$ 두 개의 순환하는 원소를 가지며, 두 순환은 서로소이다.
모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현되며, 위의 예시를 예로 들면 다음과 같다.
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix}$$
1.3.4. 호환과 짝치환, 홀치환
$$\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}$$과 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[10]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 윗 문단에서 예시로 든 $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix}$$에서 $$\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix}$$는 호환이며, $$\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}$$는 $$\begin{pmatrix}1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 4\end{pmatrix}$$로 나타낼 수 있다.
단, 이 표현은 유일하지 않다.[11] 그러나 표현하는 데에 필요한 호환의 개수와 홀짝성은 일정하다. 즉, $$3$$개의 호환으로 표현되는 치환은 $$2$$개의 치환으로 나타낼 수 없다. 따라서 치환에 홀짝성을 부여할 수 있고, 홀수 개 호환의 곱으로 표현되면 홀치환, 짝수 개 호환의 곱으로 표현되면 짝치환이라고 한다.
1.3.5. 교대군
$$S_n$$에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군이라 하며 $$A_n$$으로 나타낸다 $$n\ge 5$$일 때, 단순군이다.
1.3.6. 기본적인 유한 대칭군의 성질
$$S_n$$에 대해[12],
- 원소의 개수는 $$n!$$개[13]이다.
- 정규부분군은 자기 자신과 $$\left\{e\right\}$$, 교대군$$A_n$$[14] 뿐이다. 반례) $$S_4$$의 정규부분군은 $$\left\{e\right\}$$, $${<(12)(34), (13)(24)>}$$, 교대군$$A_n$$, $$S_n$$이다.
- 짝치환의 개수와 홀치환의 개수는 같다.[15] 즉, 둘의 개수는 모두 $$\dfrac{n!}2$$이다.
- $$A_{n}$$의 모든 원소는 $$3$$순환치환의 곱으로 표현된다.
- $$n\ge 5$$에 대해, $$A_n$$은 단순군이다.[16]
- 호환[17]의 역원은 자기 자신이다.
- 서로소[18]인 두 치환은 교환적이다.
- $$n\ge3$$이면 비가환군이다.
- $$n\ge5$$이면 비가해군이다.[19]
- 모든 군은 치환군의 부분군이다[20]
- 모든 군은 교대군의 부분군이다
2. 도형 및 공간의 대칭들을 모은 군
Group of symmetry / Symmetry group [21]
주로 기하학에서 대칭, 즉 대상을 보존하는 모든 변환들을 모아 놓은 군이다. 보통 생각할 수 있는 유클리드 평면이나 공간에선 대칭은 합동변환이고, 다른 종류의 공간에서는 그 공간 위에서 특수하게 정의된 구조를 보존하는 변환들을 생각하게 된다. 뉘앙스는 약간 다를 수 있겠지만 변환군(transformation group)이라고 지칭되기도 한다.
대칭군의 항등원은 항상 아무 것도 하지 않는 항등변환이 된다. 대칭이 구조를 보존한다면 대칭끼리의 합성이나 역변환도 구조를 보존해야 하므로, 대칭군이 군의 다른 공리들을 만족함도 직관적으로 생각할 수 있다. 군의 개념 자체가 광범위한 대칭을 연구하는 데에서 시작되었으므로, 추상적 정의로서의 군보다도 이 대칭군으로 군을 간주하는 것이 어떻게 보면 더욱 근본적이다. 굳이 따지자면 위의 대칭군도 구조가 전혀 없는 집합에서의 변환군으로 간주할 수도 있다.
예를 들면 정삼각형의 대칭 조작은 0도, 120도, 240도 회전, 그리고 세 중선에 대한 선대칭 3개 총 6개로 이루어져 있다. 이들 6개 조작은 군을 이루고, 그 구조는 (1번 항목의) 대칭군 $$S_3$$과 동형이다. 비슷하게 정n각형의 대칭군에서 나온 원소 $$2n$$개 짜리 이면군(dihedral group)을 생각할 수 있다. 만약 평면을 뒤집지 않는 변환들(즉 평행이동과 회전이동의 합성들)만을 생각한다면 정n각형의 대칭군은 순환군 $$C_n$$이 될 것이다. 공간에서도 정6면체나 정8면체의 회전 대칭군이 $$A_4$$와 동형이라던가, 정12면체나 정20면체의 회전 대칭군이 $$A_5$$와 동형이라는[22] 사실은 학부대수학에서 표현론의 도입 예시 중 하나로 종종 써먹을 것이다.
평면의 유한한 도형의 대칭군은 이면군과 순환군 두 종류밖에 없지만, 반복되는 무늬나 격자, 결정 등의 대칭의 경우 무한군이 나올 수 있다. 평면의 이산적 대칭군에 대해 더욱 자세한 것은 대칭 문서를 참고하자. 이산적인 경우 뿐만이 아니라 원의 대칭군 $$\mathrm{O}_2$$(반사 포함) 혹은 $$\mathrm{SO}_2$$(미포함)의 경우처럼 연속적인 대칭군도 얼마든지 나올 수 있다.
한편으로는 공간 속의 도형 하나의 대칭에서 벗어나 공간 자체의 대칭을 생각할 수도 있다. 거리가 주어진 공간[23]의 경우 모든 합동변환(즉 등장변환 혹은 등거리사상)들을 모조리 모아놓는데, 유클리드 공간의 경우는 평행이동과 회전/반사 이동들의 합성들을 모두 모은
$$ \displaystyle \mathrm{E}_n = \{ x \mapsto Ax + b : A \in \mathrm{O}_n, \, b \in \mathbb{R}^n \} $$
이 $$\mathbb{R}^n$$의 대칭군인 유클리드 군(Euclidean group)이 될 것이다. 비유클리드 기하학에서는 구면기하학의 대칭군으로 나오는 $$\mathrm{SO}_3$$이나 쌍곡기하학의 대칭군인 $$\mathrm{PSL}_2$$ 등등을 생각할 수도 있다. 거리가 없는 공간이라도 공간에 주어진 구조[24]를 보존하는 대칭군을 생각할 수 있고, 상대성 이론에서 나오는 로런츠 군 등이 이런 예시에 속한다.현대 기하학에서는 대칭군 전체의 대수학적/기하학적 성질을 탐구해 공간에 대한 성질을 얻어내는 것이 주요 사고방식 중 하나가 되었다. 예로 구면 위에서의 라플라스 방정식의 해인 구면 조화 함수 같은 경우 $$\mathrm{SO}_3$$의 표현론에서 그 답을 얻어낼 수도 있다. 한편으로는 이 대칭이라는 것도 대다수의 경우 행렬의 군으로 나타낼 수 있으므로, 물리학자들이 말하는 우주적인 대칭이니 등등의 아무리 추상적인 공간을 생각하려고 해도 결국에는 특정 행렬군들만을 대칭군의 후보로서 연구하면 충분하다는 것을 알려준다. 그게 매우 어려워서 문제지만...
[1] 고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다.[2] 자기 자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다.[3] 치환은 함수이므로, 치환 함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다 [4] 어떤 원소도 바꾸지 않는 치환[5] $$S$$는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다.[6] 대칭군은 집합의 원소 자체가 아니라 치환에 의해 원소 순서가 어떻게 바뀌었는지에 주목하기 때문에, 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같으면 두 집합의 대칭군은 서로 같다.[7] $$1$$과 $$3$$은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다.[8] $$1$$ 옆에 $$2$$, $$2$$ 옆에 $$3$$, $$3$$ 옆에 $$4$$, $$4$$ 옆에 $$1$$ 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다.[9] 행렬과 혼동할 수 있기 때문에 보통 행렬 쪽은 대괄호로 표기한다.[10] 즉 길이가 $$2$$인 순환[11] 항등치환은 한 번 시행한 호환을 다시 시행하면 되므로 호환의 제곱꼴로 유일하게 표현된다. 예를 들어 $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$$라 할 때, 항등 치환 $$\rm id$$는 $${\rm id} = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\sigma^2$$이다.[12] 세 번째 것은 예외[13] $$n$$개 원소를 나열하는 개수가 $$n!$$개이므로 자명하다.[14] 짝치환들로만 이루어진 군[15] 증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물론, 같은 쪽에 합성해야 한다.)[16] $$\left\{e,~\left(12\right)\left(34\right),~\left(13\right)\left(24\right),~\left(14\right)\left(23\right)\right\}=V_4\vartriangleleft A_4$$ [17] 두개의 원소만 바꾸는 연산[18] 치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, $$\sigma_{12}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$$와 $$\sigma_{45}=\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix}$$는 서로소이다.[19] 이것이 아벨-루피니 정리(일반적인 $$5$$차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않음)의 근본적인 이유이다.[20] 다음에 소개되는 정리의 따름 정리인 듯 보이지만, 오히려 그 반대이다. 즉, 후자를 증명하는 데에 이 성질이 필요하다.[21] 'symmetry'와 'symmetric'의 차이에 유념하자. 한글에서는 주로 같은 활자로 번역되므로 문맥에 따라 이해해야 한다.[22] 위 두 예시 모두 회전대칭만을 생각한 것이다. 반사까지 생각하면 여기에 $$C_2$$가 곱해진다.[23] 엄밀히 말하면 리만 다양체[24] 주로 공간 위의 형식을 보존하는 경우가 많다.