서로소
서로素
1. 정수론 (relatively prime, coprime)
중학교 1학년 때 배우는 수학 개념. 여러 개의 수들 사이에서 $$1$$이외의 공약수가 없음을 이르는 말이다. 따라서 두 수의 공약수가 $$1$$밖에 없다고 나타낼 수도 있다. [1]
1.1. 상세
중1 과정의 유리수의 정의에서도 써먹고, 고등학교 단골 증명 문제인 '''[math(\sqrt{2})]는 무리수'''임을 증명할 때도 쓰는 등 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이것을 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다.[2]
서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 쉬운 예를 하나 들어보자. 집합 $$D_{n}$$을 $$n$$의 양의 약수의 집합이라 하자. 즉
집합 $$D_{128}$$는 $$128 = 2^7$$의 약수의 집합,
집합 $$D_{729}$$는 $$729 = 3^6$$의 약수의 집합,
집합 $$D_{15625}$$는 $$15625 = 5^6$$의 약수의 집합이 된다.
세 집합을 원소나열법으로 나타내면
$$D_{128} = \left\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128\right\}$$
$$D_{729} = \left\{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\right\}$$
$$D_{15625} = \left\{1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625\right\}$$
이 되고,
여기서 교집합 $$D_{128}\cap D_{729}\cap D_{15625}=\left\{1\right\}$$이다.
위의 예처럼 집합 $$D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}\cap ... =\left\{1\right\}$$이면 서로소 당첨. 벤 다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, $$1$$은 모든 자연수의 공약수이고, 따라서 모든 자연수의 약수의 집합에 빠짐없이 들어간다. 왜냐하면 곱셈의 항등원이 $$1$$이기 때문이다.
당연히 '''짝수끼리는''' 서로소가 아니다. 짝수끼리는 기본적으로 공약수 $$2$$를 갖고 있기 때문이다.
단, '''홀수끼리는''' 서로소일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 홀수끼리는 기본적으로 공약수 $$1$$을 갖고 있고, 경우에 따라서는 $$1$$ 이외의 공약수를 더 갖고 있을 수도 있기 때문이다.
유리수의 정의는 $$m\over n$$($$m$$과 $$n$$은 서로소인 정수, $$n \neq 0$$)의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 $$m$$과 $$n$$은 $$1$$을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의. 이 성질을 가지고 $$\sqrt{2}$$가 무리수임을 증명할 수 있다. 증명 방법은 해당 문서에 나와있으니 참조.
소수도 서로소로 정의할 수 있는데, $$m$$이 소수라는 사실은 $$0<n<m$$를 만족하는 임의의 정수 $$n$$에 대해서 $$n$$과 $$m$$이 서로소라는 것과 같다.
수학 걸이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3][4]
서로소를 잘만 이용하면 피타고라스 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼 수 있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]
2. 집합론 (disjoint)
어떤 집합들의 교집합이 공집합일 때, 그 집합들을 서로소라고 한다. 어떤 사건들에 해당하는 집합들이 서로소이면, 그 사건들은 배반사건이다.
[1] 두 정수 $$a$$, $$b$$에 대해, (a) "이 둘이 서로소" / (b) "두 수의 최대공약수가 $$1$$" / (c) "두 수의 최소공배수가 $$ab$$" 이 세 명제는 서로 동치이다.[2] 집합론에서도 서로소 개념을 쓰는데 집합 A와 집합 B의 교집합의 원소가 없을 때, 즉 공집합일 때 'A와 B는 서로소'라고 한다.[3] 여기서는 각각의 수를 소인수분해 해서 $$2^{a_1}3^{a_2}\cdots$$ 라는 식으로 나타낸뒤, 이 수를 $$\left(a_1,\,a_2\,\cdots\right)$$ 라는 식으로 나타내서 직교표시가 서로소를 표시하는데 적합함을 보여준다. 근데 이거 한번 익숙해지면 의외로 치기 어렵다.[4] 무한한 차원의 벡터를 사용한다. 참고로 여기서 미르카는 '벡타'라고 부르지만.[5] Elementary. 초등적이라는 소리지 간단하다(Simply)는 소리는 아니다.[6] 이를 이용하면 세 수가 서로 서로소인 피타고라스 수가 무한함을 보일 수 있다.