멱집합
1. 개요
A 의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 A 의 멱집합(power set)이라 하고 $$\mathcal{P}(A)$$ 또는 $$2^A$$ 로 나타낸다.
$$\mathcal{P}(A) = 2^A = \left\{X| X \subset A\right\} $$
1.1. 예시
예를 들어 $$ B = \{1,2\} $$ 라고 하자. $$ B $$의 부분집합은 $$ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} $$이다.
그러므로 $$\mathcal{P}(B) = \left\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} \right\} $$ 가 된다.
$$ C = \{a,b,c\} $$ 일때, C 의 멱집합은 아래와 같다.
$$\mathcal{P}(C) = \left\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b \}, \{ c\} , \{a,b \}, \{a,c \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \right\} $$
2. 멱집합의 크기
2.1. 유한집합에서의 멱집합
임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 $$\left|A\right|=n$$ 이라고 할때, 부분집합의 개수는 $$2^n$$ 개가 된다. 임의의 정수 $$ n ( n \ge 0) $$에 대해서 $$2^n > n$$이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.
즉, 유한집합에서는 $$ \left|\mathcal{P}(A)\right| >\left|A\right| $$ 가 항상 성립한다.
2.2. 무한집합의 멱집합
무한집합도 부분집합을 생각할 수있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다. 결론만 말하자면 '''멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다.''' 다시 말해 무한집합에서도 $$ \left|\mathcal{P}(A)\right|>\left|A\right| $$ 가 성립한다.
예를 들어 무한집합인 자연수의 집합 $$\mathbb{N}$$이 있을때, 자연수의 멱집합 $$\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)$$를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 $$ \left|\mathcal{P}(\mathbb{N})\right| > \left|\mathbb{N}\right| $$ 이다.
이것이 의미하는 것은 '''무한집합들 사이에서도 서로 크기가 다른 무한집합이 존재한다'''는 것이다.
자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 게오르크 칸토어가 대각선 논법이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.
서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 초한기수라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 연속체 가설이다.