델(연산자)
1. 소개
'''Del operator'''
델 연산자는 다차원 미분의 기본이 되는 연산자이며, 사실 연산의 스칼라곱 · 벡터곱 여부, 연산 대상의 스칼라 · 벡터 여부에 따라 계산 방식이 다른, 하나의 수학적 표기법(notation)이므로 주의해야 한다.
2. 상세
델 연산자는 '나블라(nabla)'라고도 불리는데 이는 동명의 현악기에서 이름을 따왔으며, $$ \boldsymbol{\nabla} $$라는 역삼각형 모양의 기호로 표기한다. 벡터처럼 다룰 수 있는 연산자이므로 간혹 $$ \overrightarrow{\nabla} $$ 로 표현하기도 한다.
물리학이 학부 수준 이상으로 가게 되면 기본적으로 한 물리량의 변화에 대해 다른 물리량의 변화를 예측한다는 관점이기 때문에 일반 전자기학을 시작으로 양자 역학이나 고전 역학 등등 '''모든''' 곳에서 튀어나온다. 나비에-스톡스 방정식 문서의 두 식에서도 볼 수 있는데, 그 아래의 스칼라식 풀이를 보면 이것이 얼마나 심오한 의미인지를 알 수 있다. 그 외에도 이공계로 대학교 진학을 하게 된다면 절대로 떨어질 수 없는 연산자이므로 열심히 공부해놓자.
아래는 델 연산자의 연산 중 발산과 회전에 대한 이해에 도움을 주는 영상이다. 한글 자막이 깔려 있으므로 시청하는 데에는 무리가 없을 것이다.
2.1. 정의
델 연산자는 아래와 같이 정의된다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} & \equiv \sum_{ i\,=\,1 }^n \dfrac{1}{h_{i}} \dfrac{ \partial }{ \partial x_i } \hat{\mathbf{x}}_{i} \end{aligned} $$
- 직교 좌표계: $$ {h_x = 1,\ h_y = 1,\ h_z = 1} $$
- 구면 좌표계: $$h_r = 1,\ h_{\phi} = r,\ h_{\theta} = r \sin{ \theta }$$
- 원통 좌표계: $${h_{\rho} = 1,\ h_{\theta} = r,\ h_z = 1}$$
참고로 $$\boldsymbol{\nabla} f=\textbf{grad}\,f$$라고 쓰기도 한다.
2.2. 벡터 취급 가능 유무
이 문단에서는 델 연산자를 정말로 벡터로 취급해도 무리가 없는지 살펴볼 것이다. 단, 직교 좌표계에서만 이를 논할 것이며, 증명은 벡터의 좌표변환을 이용할 것이다. 벡터는 좌표변환에 의해 성분을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle V_{i}'=a_{ij}V_{j} $$
[1] 사실 정의하기 나름이다. Scaling factor는 계량 텐서가 대각행렬일 때만 정의할 수 있다. 어떤 책에서는 위에서 보정한 성분을 physical component라고도 한다.
우선 델 연산자 특성상 미분연산자가 포함되어 있기 때문에 어떤 스칼라 함수 $$\phi$$를 도입하자. 그렇다면 델 연산자의 $$i$$번째 성분을 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle \dfrac{\partial \phi'}{\partial x_{i}'}=\sum_{j} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_{j}} \dfrac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}'} $$
[2] 쉽게 말하면 선형변환을 기술하는 행렬이다.
$$\displaystyle x_{j}=\sum_{k} a_{kj}x_{k}' $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\partial \phi'}{\partial x_{i}'}&=\sum_{j} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_{j}} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}'} \left( \sum_{k} a_{kj}x_{k}' \right) \\&=\sum_{j} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_{j}} \left( \sum_{k} a_{kj} \dfrac{\partial x_{k}'}{\partial x_{i}'} \right) \\ &=\sum_{j} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_{j}} \left( \sum_{k} \delta_{ki} a_{kj} \right) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\partial \phi'}{\partial x_{i}'}=\sum_{j} a_{ij} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_{j} } \; \to \; \dfrac{\partial }{\partial x_{i}'}=\sum_{j} a_{ij} \dfrac{\partial }{\partial x_{j} } \end{aligned} $$
3. 관련 연산
3.1. 기울기벡터(Gradient)
기울기벡터 또는 그레이디언트[3]는 스칼라 함수의 변화량을 알기 위해 쓰인다. 이게 변화량, 경사(구배) 등과 관련이 있는 이유는 아랫문단의 방향도함수를 참조해보면 쉽게 이해할 수 있다.
연산의 결과는 스칼라 함수가 벡터 함수로 변환되며, 벡터 함수가 어떤 스칼라 함수의 기울기벡터로 표현된다는 것은 그 함수의 퍼텐셜을 구할 수 있다는 것을 의미하며, 이는 벡터 문제를 스칼라로 환원시킬 수 있다는 점에서 매우 큰 메리트를 갖는다. 대표적인 예로 전기 퍼텐셜이 있다. 물론 세부 정의는 다소 다르지만. 기울기벡터의 역연산은 경로적분이다.[4] 미분의 역연산이 적분인 것을 생각하면 좋을 것이다.
아래는 3차원 직교 좌표계, 구면 좌표계, 원통 좌표계의 기울기벡터를 나타낸 것이다.
- 직교 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla}f = \dfrac{ \partial f}{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\dfrac{ \partial f }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial f }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} $$
- 구면 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla}f = \dfrac{ \partial f }{ \partial r }\hat{\mathbf{r}}+\frac{1}{r}\dfrac{ \partial f }{ \partial \theta }\hat{\boldsymbol{\theta}}+\frac{1}{r\sin{\theta}}\dfrac{ \partial f}{ \partial \phi }\hat{\boldsymbol{\phi}} $$
- 원통 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla}f = \dfrac{ \partial f }{ \partial \rho }\hat{\boldsymbol{\rho}}+\frac{1}{\rho}\dfrac{ \partial f }{ \partial \theta }\hat{\boldsymbol{\theta}}+\dfrac{ \partial f }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} $$
3.1.1. 방향도함수와 기울기벡터
다변수 함수를 생각했을 때, 어떤 변수만을 두고 변화율을 추척하는 것을 편미분이라 한다. 편미분은 한 변수에 대해서만 추적할 수 있는 것이 흠으로 때론 어떤 공간에서 단위 벡터
$$ \displaystyle \mathbf{u}=\sum_{i}u_{i}\hat{\mathbf{x}}_{i} $$
[image]
$$n$$차원 도형에 대해 점 $$(x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{n})$$이 $$h \mathbf{u}$$로 이동된 후의 점을 $$(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{n}+hu_{n})$$으로 쓸 수 있음에 따라 방향도함수를
$$ \displaystyle D_{\mathbf{u}}f=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{n-1}+hu_{n-1})-f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{n-1})}{h} $$
이제 다음과 같은 함수를 고려하자.
$$ \displaystyle g(h) \equiv f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{i}+hu_{i}) $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} g'(0)&=\lim_{h \to 0} \frac{g(h)-g(0)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{i}+hu_{i})-f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{i})}{h} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} g'(0)&=\left. \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial (x_{i}+hu_{i})} \frac{\mathrm{d} (x_{i}+hu_{i})}{\mathrm{d} h} \right|_{h=0} \\&=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}u_{i} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle D_{\mathbf{u}}f=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}u_{i} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f&=\left( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \hat{\mathbf{x}}_{i} \right) \boldsymbol{\cdot} \left( \sum_{i=1}^{n-1} u_{i}\hat{\mathbf{x}}_{i} \right) \\ &=\boldsymbol{\nabla} f \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle D_{\mathbf{u}}f= |\boldsymbol{\nabla} f| \cos{\theta} $$
위 결과로부터 기울기벡터와 방향도함수 사이의 관계를 아래와 같이 요약할 수 있다.
- 방향도함수의 최댓값은 기울기벡터와의 방향이 같을 때이며, 최솟값은 기울기벡터와 반대의 방향일 때이다.
- 따라서 기울기벡터는 함수가 급격히 증가하는 방향을 향한다.
3.1.2. Level set와 기울기벡터
이제부터는 $$n$$차원 공간에서의 도형 $$x_{n}=f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots ,\, x_{n-1})$$를 고려해보자. $$n-1$$차원에서 $$k=f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots ,\, x_{n-1})$$ (단, $$k$$는 상수.)는 $$n$$차원 공간에서의 도형의 함숫값이 같은 영역을 나타내는 도형으로 나타난다. 해당 도형을 'Level set'이라 한다. 예를 들어 3차원 도형은 2차원 공간에서 '등위곡선'을, 4차원 도형은 3차원 공간에서 '등위곡면'을 형성한다.
[image]
위 그림은 3차원 도형 $$x_{3}=f(x_{1},\,x_{2})$$를 이용하여 Level set의 개념을 보여주고 있다. 2차원 상의 Level set 즉, 등위곡선(위 그림의 적색 곡선)은 $$x_{3}=f(x_{1},\,x_{2})$$와 $$x_{3}=k$$의 교선을 $$x_{1}x_{2}$$평면에 나타낸 것이다. 여기서는 등위곡선을 1개만 나타냈지만 실제로는 상수 $$k$$값에 따라 여러개 나타난다.
이제 이 Level set $$f=k$$의 양변을 전미분하면,
$$\displaystyle \mathrm{d}f=0 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{d}f&=\sum^{n-1}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \,\mathrm{d}x_{i} \\ &= \left( \sum^{n-1}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \hat{\mathbf{x}}_{i} \right) \boldsymbol{\cdot} \left( \sum^{n-1}_{i=1} \mathrm{d}x_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} \right) \\ &= \boldsymbol{\nabla} f \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{r} \end{aligned}$$
즉,
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} f \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{r} =0 $$
이상의 결과는 기울기벡터는 Level set 표면에 수직함을 알 수 있다.
3.1.3. 기울기벡터의 기하학적 의미
위 내용을 종합시켜 2, 3차원에 대해서만 국한시켜 말하면,
- 2차원에서의 기울기벡터는 3차원 도형의 등위곡선의 법선 벡터임을 얻는다.
- 3차원에서의 기울기벡터는 4차원 도형의 등위곡면의 표면에 수직하며, 이는 곧 해당 곡면의 접평면의 법선 벡터와 동일함을 얻는다. 이를 이용하여 3차원 도형의 접평면의 방정식을 얻을 수도 있는데 자세한 내용은 평면 문서 참조.
- 기울기벡터의 방향은 변화율이 최대로 되는 방향을 향한다.
3.2. 발산(Divergence)
어떤 국소적인 지점에서 유입되거나 유출되는 벡터장의 선속수를 나타낸다. 물리적으로는 해당 벡터장을 해당 영역에 생성 혹은 소멸시키게 하는 원(Source)의 크기를 나타낸다.
연산의 결과는 벡터 함수가 스칼라 함수로 변환되어 나온다.
정의는 다음과 같다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \equiv \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{h_1 h_2 \cdots h_n} \left( \frac{ \partial }{ \partial x_i } {\frac{h_1 h_2 \cdots h_n}{h_i} A_i } \right )$$
- 직교 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} = \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} $$
- 구면 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, A_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} $$
- 원통 좌표계: $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho A_{\rho}\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z} $$
3.2.1. 정성적 분석
발산을 3차원 직교좌표계 상에서 정성적으로 분석하고자 한다. 발산은 벡터장이 어떠한 국소적인 영역 내부에서 유출되거나 유입되는 선속을 나타내므로 3차원 직교 좌표계에서 길이가 각각 $$\Delta x$$, $$\Delta y$$, $$\Delta z$$인 직육면체를 고려하자. 이 때, 이 직육면체에는 총 6개의 면이 있으며, 이 영역에 유입 혹은 유출되는 벡터장을 $$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$$라 하자. 그런데 각 면에 유입 혹은 유출되는 벡터장의 선속은 그 벡터장의 평면의 법선 벡터와 평행인 성분만 관여를 하게 될 것이다.
[image]
우선적으로 직육면체의 면의 법선 벡터가 $$\hat{\mathbf{x}}$$의 방향과 평행한 경우의 두 면에 대한 선속량을 계산하자. 이 때, 법선 벡터의 방향에 따라 음 혹은 양이 결정됨에 주의하자.
$$ \displaystyle [\mathbf{F}(x+\Delta x,\,y,\, z)-\mathbf{F}(x,\,y,\, z) ] \boldsymbol{\cdot} \Delta y \Delta z \hat{\mathbf{x}} $$
이것은 간단히
$$ \displaystyle [F_{x}(x+\Delta x,\,y,\, z)-F_{x}(x,\,y,\, z) ] \Delta y \Delta z $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} &[F_{y}(x ,\,y+\Delta y,\, z)-F_{y}(x,\,y,\, z) ] \Delta x \Delta z \\&[F_{z}(x ,\,y,\, z+\Delta z)-F_{z}(x,\,y,\, z) ] \Delta x \Delta y \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} &\frac{F_{x}(x+\Delta x,\,y,\, z)-F_{x}(x,\,y,\, z)}{\Delta x} \\ &\frac{ F_{y}(x ,\,y+\Delta y,\, z)-F_{y}(x,\,y,\, z) }{\Delta y} \\& \frac{F_{z}(x ,\,y,\, z+\Delta z)-F_{z}(x,\,y,\, z) }{\Delta z} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} &\frac{F_{x}(x+\Delta x,\,y,\, z)-F_{x}(x,\,y,\, z)}{\Delta x} \to \frac{\partial F_{x}}{\partial x} \\ &\frac{ F_{y}(x ,\,y+\Delta y,\, z)-F_{y}(x,\,y,\, z) }{\Delta y} \to \frac{\partial F_{y}}{\partial y} \\& \frac{F_{z}(x ,\,y,\, z+\Delta z)-F_{z}(x,\,y,\, z) }{\Delta z} \to \frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z} = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F} $$
아주 국소적인 부분에 대하여 벡터장의 유출 혹은 유입을 다루고 있다는 것을 상기하면, $$\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F} >0$$일 때 벡터장은 해당 영역에서 유출(즉, 벡터장을 생성하게 해는 원이 있다는 것으로 해석 가능.)되고 있고, $$\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F} <0$$이면, 해당 영역에 유입(즉, 벡터장을 소멸시키는 원이 있다는 것으로 해석 가능.)되고 있다고 해석한다. 그렇다면, $$\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F} =0$$인 경우도 예측할 수 있을 것이다. 이 영역에서는 유출 혹은 유입이 없다 즉, 벡터장이 유입된 만큼 다시 유출된다는 뜻이다.
참고로 어떤 영역 $$V$$의 벡터장의 유입 혹은 유출되는 선속양은 해당 벡터장을 $$V$$를 둘러싸는 면적 $$\partial V$$에 대하여 면적분
$$ \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac1{\Delta V} \oiint_{\partial V} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d}\mathbf{a} $$
이상의 결과를 요약하면 아래와 같다.
- 발산은 국소적인 영역에서 벡터장의 유입 혹은 유출되는 것을 수치화한 것이며, 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 생성 혹은 소멸 시키게하는 原의 크기를 나타낸다.
- 발산의 부호가 양이면 벡터장은 해당 영역에서 유출되고 있음을 나타내고, 이것은 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 생성하게 하는 원이 있는 것으로 해석될 수 있으며, 발산의 부호가 음이면 벡터장은 해당 영역에서 유입되고 있음을 나타내고, 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 소멸하게 하는 원이 있는 것으로 해석될 수 있다. 발산이 0이면, 벡터장은 해당 영역에서 유입량과 유출량이 같다고 해석한다.
3.3. 회전(Curl)
회전은 국소적인 영역의 단위면적 당 벡터장의 선속이 회전하는 양을 나타낸다.
델 연산자의 외적 연산으로 주어지게 되며, 결과값은 벡터이다.
정의는 다음과 같다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \equiv \sum_{ klm } { \epsilon_{k l m} \frac{ 1 }{ h_l h_m } \left ( \dfrac{ \partial }{ \partial x_l } h_m A_m \right ) { \hat{\mathbf{x}}_k } } $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} =\dfrac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \begin{vmatrix} h_{1}\hat{\mathbf{x}}_{1} & h_{2}\hat{\mathbf{x}}_{2} & h_{3}\hat{\mathbf{x}}_{3}\\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x_{1}} &\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_{2}} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_{3}}\\h_{1}A_{{x}_{1}} & h_{2}A_{{x}_{2}} & h_{3}A_{{x}_{3}} \end{vmatrix}$$
- 직교 좌표계
- 성분 표시
$$\begin{aligned} \displaystyle [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{x}&=\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{y}&=\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{z}&=\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{aligned}$$
- 행렬 표시
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} &\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$
- 구면 좌표계
- 성분 표시
$$\begin{aligned} [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{r}&=\frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{\theta}&=\frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi}-{\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{\phi}&=\frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \end{aligned}$$
- 행렬 표시
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \dfrac{1 }{r^{2}\sin{\theta}}\hat{\mathbf{r}} & \dfrac{1 }{r\sin{\theta}}\hat{\boldsymbol{\theta}} & \dfrac{1}{r}\hat{\boldsymbol{\phi}} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial r} &\displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial \phi}\\ A_r & rA_\theta & rA_\phi\sin{\theta} \end{vmatrix}$$
- 원통 좌표계
- 성분 표시
$$\begin{aligned} \displaystyle [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{\rho}&=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z} \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{\theta}&=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho} \\ [\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}]_{z}&=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\theta)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \theta}\right) \end{aligned}$$
- 행렬 표시
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \dfrac{1 }{\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}} & \hat{\boldsymbol{\theta}} & \dfrac{1}{\rho}\hat{\mathbf{z}} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial \rho} &\displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\ A_\rho & \rho A_\theta & A_z \end{vmatrix}$$
참고로 $$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} =\textbf{curl}\,\mathbf{A}$$라고도 쓰기도 한다.3.3.1. 정성적 분석
회전은 발산에 비해 이해하기 어려운 양이다. 따라서 전자기 유도의 유도기전력에 대해서 생각해보면서 회전을 정성적으로 분석해보고자 한다.
유도기전력은 어떠한 폐곡선에 전하가 전기장에 의해 이동되며 생겨나는 전위차이다. 분석하는 벡터장을 전기장이라 한다면, 결국 회전이라 함은 이 기전력 생성에 얼마나 기여하는 지를 수치회시킨 것으로 이해할 수 있다. 어떠한 폐곡선에서 기여분은 결국 이 폐곡선과 평행한 성분의 일(Work)이므로 폐곡선 전체에서 이 기여분은 결국 폐곡선 전체에 대해 해당 벡터장을 선적분 하면 기여도를 구할 수 있다.
이를 일반화시키면 회전은 벡터장이 한 폐곡선을 따라 얼마나 회전하는 지를 수치화시킨 것으로 볼 수 있다. 위에서 일이라 불렀던 양이 일반적인 벡터장에서는 '''순환(Circulation)'''이라 부르며, 면적이 $$\Delta S$$인 곡면 $$S$$를 둘러싸는 폐곡선 $$\partial S$$과 벡터장 $$\mathbf{F}$$에 대하여
$$\displaystyle \oint_{\partial S} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{l} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac1{\Delta S} \oint_{\partial S} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d}\mathbf{l} $$
위에서 유도기전력 예시를 이해했다면 이 수치는 결국 각속도와 유사하게 한 곡면의 수직한 방향으로 나타날 것임을 예상할 수 있다. 또한 회전에 관련되어 있으므로 영역을 잡을 때는 오른손 법칙을 고려해야 함을 알 수 있다.
[image]
이제부터 3차원 직교좌표계에 대해 이 회전을 정성적으로 유도해보고자 한다. 위 그림과 같이 회전을 구하기 원하는 점 $$(x,\,y,\,z)$$에서 각각의 축으로 $$\Delta x$$, $$\Delta y$$, $$\Delta z$$ 만큼 늘리고, $$xy$$평면, $$xz$$평면, $$yz$$평면에 평행한 사각고리 영역 $$C_{1} \sim C_{3}$$를 고려하자. 따라서 각각의 영역을 조사하면, $$(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{z}}$$, $$(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{y}}$$, $$(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{x}}$$를 구할 수 있으며, 이 성분들을 모두 더하면,
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} ( \hat{\mathbf{x}}+ \hat{\mathbf{y}}+ \hat{\mathbf{z}}) $$
[image]
우선적으로 위와 같이 $$C_{1}$$에 대해 고려해보도록 하자. 이 영역에서의 순환은
$$ \displaystyle \begin{aligned} &\oint_{C_{1}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{l} \\ &= \left( \int_{\text{b} \to \text{c}}-\int_{\text{d} \to \text{a}} \right) F_{y} \,\mathrm{d}y+\left( \int_{\text{a} \to \text{b}}-\int_{\text{c} \to \text{d}} \right) F_{x} \,\mathrm{d}x \\ &=\int_{y}^{y+\Delta y} [F_{y}(x+\Delta x,\,y,\,z)-F_{y}(x,\,y,\,z) ]\,\mathrm{d}y-\int_{x}^{x+\Delta y} [F_{x}(x ,\,y+\Delta y,\,z)-F_{x}(x,\,y,\,z) ]\,\mathrm{d}x \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} F_{y}(x+\Delta x,\,y,\,z)&=\frac{\partial F_{y}(x,\,y,\,z)}{\partial x} \Delta x +F_{y}(x,\,y,\,z) \\ F_{x}(x ,\,y+\Delta y,\,z)&=\frac{\partial F_{x}(x,\,y,\,z)}{\partial y} \Delta y +F_{x}(x,\,y,\,z) \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \int_{y}^{y+\Delta y} \frac{\partial F_{y}(x,\,y,\,z)}{\partial x} \Delta x\,\mathrm{d}y-\int_{x}^{x+\Delta y} \frac{\partial F_{x}(x,\,y,\,z)}{\partial y} \Delta y\,\mathrm{d}x $$
$$ \displaystyle \frac{\partial F_{y}(x,\,y',\,z)}{\partial x} \Delta x \Delta y- \frac{\partial F_{x}(x',\,y,\,z)}{\partial y} \Delta x \Delta y $$
$$ \displaystyle \frac{\partial F_{y}(x,\,y,\,z)}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}(x,\,y,\,z)}{\partial y} $$
$$ \displaystyle (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{z}}=\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{x}}&=\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} ) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{y}}&=\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \end{aligned} $$
각속도 벡터와 유사하게, $$(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}>0 $$이면, 벡터장은 국소화된 영역에 대하여 반시계 방향의 회전에 기여하고 있으며, $$(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}<0$$이면, 시계 방향의 회전에 기여하고 있으며, $$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}=0$$이면, 벡터장이 회전에 기여하지 못함을 알 수 있다. 이 때, $$\hat{\mathbf{n}}$$은 임의의 폐곡선의 오른손 법칙을 적용했을 때의 단위 법선 벡터이다.
즉, 위의 결과는 아래로 요약된다.
- 회전은 벡터장의 선속이 국소적인 영역에서 얼마나 회전하는 지를 수치화시킨 것이다. 수학적으로는 순환의 극한을 나타낸다.
- 회전의 벡터가 어떠한 어떠한 곡면의 법선벡터의 방향과 일치하면, 벡터장은 반시계 방향으로의 회전을, 반전되면 시계 방향의 회전을 하고있으며, 회전이 영벡터이면 벡터장은 회전하지 않음을 나타낸다.
3.3.1.1. 물리학적 회전과의 관계
실제로 회전이 물리학적 회전과 어떠한 관련이 있는지를 이 문단에서 보고자 한다. 어떠한 강체가 어떤 축을 중심으로 회전한다고 하자. 이 때 각속도 벡터를
$$\displaystyle \boldsymbol{\omega} = \omega_{x} \hat{\mathbf{x}}+\omega_{y} \hat{\mathbf{y}}+\omega_{z} \hat{\mathbf{z}} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}&=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \\&=\hat{\mathbf{x}}(-\omega_{z}y+\omega_{y}z)+\hat{\mathbf{y}}(\omega_{z}x-\omega_{x}z)+\hat{\mathbf{z}}(-\omega_{y}x+\omega_{x}y) \end{aligned} $$
이 때, 벡터장의 회전 정도는 각 입자들의 선속도 벡터로 기술될 것으로 기대되므로 이를 회전하면,
$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v}&=2(\omega_{x} \hat{\mathbf{x}}+\omega_{y} \hat{\mathbf{y}}+\omega_{z} \hat{\mathbf{z}}) \\&=2\boldsymbol{\omega} \end{aligned} $$
즉, 회전은 물리학적 회전과 밀접한 영향을 가지고 있으며, 어떠한 벡터장의 영향을 받은 입자가 어떠한 폐곡선 주위로 어떠한 축을 중심으로 회전하게 될 때 주어지는 각속도 벡터의 2배임을 알 수 있다. 와도(소용돌이도, Vorticity)를 $$ \boldsymbol{\zeta} $$라 쓰고,
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\zeta} &\equiv 2 \boldsymbol{\omega} \\&=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \end{aligned} $$
3.4. 라플라시안(Laplacian)
밑의 정의에서 알 수 있듯이, 스칼라의 경우 기울기벡터의 발산을 구한 것이다. 학부 수준에서 다루는 역학 및 전자기학 문제들이 대부분 2계 미분 방정식이라 3차원 등으로 나타내면 이 연산자를 보게 된다.
이 연산자에 대해 고찰해보자면 우선적으로 어떤 스칼라 함수의 기울기벡터를 구한다는 것은 어떤 스칼라의 변화량이 급변하는 방향의 벡터 함수를 구한다는 것과 동치이며, 어떤 벡터장의 발산을 구한다는 것은 국소적인 영역에서의 벡터장의 유입 혹은 유출을 즉, 벡터장이 일정하게 흐르지 않는 영역을 찾는다는 것이다. 따라서 라플라시안은 어떠한 스칼라 함수의 변화량이 급변하는 방향의 벡터장을 다시 발산을 구한 것이므로 해당 스칼라 함수의 기울기벡터가 일정하게 흐르지 않은 영역을 찾는 것이다.
또한, 이 연산자의 매우 흥미로운 물리적 해석이 있는데, 매끄러운 함수 $$f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R}$$의 영역 안에 있는 점 $$(x,\,y,\,z)$$를 상상해보라. 이 점 주변에 있는 점들을 $$(x,y,z)$$의 '근방'이라 한다. $$\nabla^2f(x,\,y,\,z)$$은 $$f(x,\,y,\,z)$$와 이 근방점들의 함수값의 평균적인 차이라고 해석하면 된다.
정의는 다음과 같다.
$$\displaystyle \nabla^{2}f =\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla}f)$$
- 직교 좌표계: $$\displaystyle \nabla^{2}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} $$
- 구면 좌표계: $$\displaystyle \nabla^{2}f=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial f}{\partial r} \right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta} \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}\frac{\partial^{2}f}{\partial \phi^{2}} $$
- 원통 좌표계: $$\displaystyle \nabla^{2}f=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial \phi^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} $$
3.5. 벡터 라플라시안(Vector Laplacian)
벡터 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) - \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) $$
대학 미분적분학을 공부하다 보면 벡터의 외적을 공부하게 되는데 벡터 삼중곱의 성질을 가져와 쓴 것이다. 또한 전자기학에서도 후반으로 가면 이 연산을 쓸 일이 있을 것이다.
3.6. 달랑베르시안(d'Alembertian)
달랑베르시안은 아래와 같이 정의된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \Box &= \partial^{\mu}\partial_{\mu} \\&= g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\partial_{\mu} \\&= {1 \over c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - \displaystyle \sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i ^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t^2 } - \nabla^2 $$[6]
[6] 그리피스의 "기초 전자기학" 책에서는 부호가 이의 반대로 되어 있다. 달랑베르시안은 계량 텐서(metric tensor) $$g^{\mu\nu}$$를 어떻게 정의하느냐에 따라 달라지기 때문이다. 이 문서에서는 metric signature를 ($$+$$, $$-$$, $$-$$, $$-$$)로 채택하였다.
라플라시안과는 달리 달랑베르시안은 통일된 표기법이 없는데, 라플라시안과 형태를 비슷하게 맞추고 스칼라로서의 본성을 강조하기 위해 $$\displaystyle \Box^2$$의 표기를 선호하는 이들도 있고, 4차원에서 수식을 표현하는 것이 당연시되는 물리 분야에서는 단순히 $$\partial^2$$으로 표현하기도 한다.
3.7. 예제
'''(a)'''
$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \phi&=\left[ \hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z} \right] xyz \\&=yz\hat{\mathbf{x}}+xz\hat{\mathbf{y}}+xy \hat{\mathbf{z}} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}&= \frac{\partial}{\partial x}(xy^{2})+ \frac{\partial}{\partial y}(xyz)+ \frac{\partial}{\partial z}(z) \\&=xz+y^{2}+1 \end{aligned} $$
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{V}&= \begin{vmatrix}
\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}& \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\
xy^2 & xyz & z
\end{vmatrix} \\&=xy \hat{\mathbf{x}}+y(z-2x) \hat{\mathbf{z}} \end{aligned} )]
$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^{2} \phi&= \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla} \phi) \\&= \left[ \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \right] xyz \\&= \frac{\partial}{\partial x}(yz)+ \frac{\partial}{\partial y}(xz)+ \frac{\partial}{\partial z}(xy) \\& =0 \end{aligned} $$