보조선

1. 개요

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adjoint line · 補助線
기하학에서 주로 증명을 하거나 문제의 해답을 찾기 위하여 긋는, 본디 문제를 나타내는 도형에는 없는 새로운 선을 말한다.
원뿔곡선과 관련해서는 따로 '준선(directrix)'이라고 한다.

2. 예시

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'''[문제]''' - 삼각형 $$\rm ABC$$에 대하여 $$\overline{\rm BC}$$ 위의 점을 $$\rm P$$라 할 때, $$\angle \rm A$$의 이등분선을 $$\overline{\rm AP}$$라 하자. $$\overline{\rm BP}$$의 길이 $$x$$의 값을 구하시오.

[풀이 보기]

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문제를 풀기 위하여 다음과 같이 보조선을 긋는다. 그림에서 빨간선으로 표시된 부분이다.

보조선을 이렇게 긋지 않으면 문제를 풀기가 매우 까다로운데[1], 점 $$\rm C$$에서 선분 $$\rm AP$$에 평행한 보조선을 긋고, 그 보조선과 선분 $$\rm AB$$를 연장하여 나오는 또 다른 보조선이 만나는 점을 $$\rm Q$$라 하자.
그림에서 $$\overline{\rm AP} \parallel \overline{\rm CQ}$$이 성립하므로

$$\displaystyle \angle{\rm PAC}=\angle{\rm ACQ} \qquad$$(엇각)

또,

$$\displaystyle \angle{\rm BAP}=\angle{\rm AQC} \qquad $$(동위각)

따라서 삼각형 $$\rm ACQ$$는 $$\overline{\rm AC}=\overline{\rm AQ}$$인 이등변삼각형이므로 $$\overline{\rm AQ}=7$$을 얻는다. 한편, 두 삼각형 $$\rm ABP$$, $$\rm QBC$$에서 $$\angle{\rm BAP}=\angle{\rm AQC}$$, $$\angle{\rm B}$$는 공통이므로

$$\displaystyle \triangle{\rm ABP} \sim \triangle{\rm QBC} \qquad $$($$\rm AA$$닮음)

이다. 따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BA}:\overline{\rm QA}&=\overline{\rm BP}:\overline{\rm CP} \\ 6:7&=x:5 \\ \therefore\, x&=\frac{30}{7}\end{aligned} $$

이다.

3. 문제점

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사실 보조선을 긋는 것은 우연성이 너무 강하다. '''하필이면 그곳에, 그런 각도로, 그런 길이로 그어야 하는가? 그것을 어떻게 알 수 있는가?''' 이것이 바로 기하학의 맹점이다.
르네 데카르트는 이 때문에 기하학에 다소 흥미를 잃고 대수학으로 눈을 돌렸다. 이미 알고 있는 사실만으로 새로운 진리를 도출하는 기하학과 달리, 대수학에서는 구하려는 결론을 진리로 상정하고 분석한다. 데카르트는 이러한 대수학의 특성을 기하학과 접목하는 혁신적인 방안을 고안했는데 그것이 바로 다름 아닌 좌표평면이며, 이는 해석 기하학이라는 수학의 하위 분야로 이어진다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학