해석 기하학

1. 정의

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analytic geometry · 解析 幾何學
n개의 성분으로 이루어진 좌표를 이용하여 도형의 성질을 탐구하는[1] 기하학.
중학교 때는 합동과 닮음 등을 이용하여 설명하는 논증 기하학을 배우지만[2], 고등학교 1학년 때부턴 고등수학 상의 평면 좌표 단원에서 시작하여 해석 기하학을 주로 배우게 된다. 그 후 기하와 벡터 등에서 본격적인 해석 기하학에 입문하게 된다. 또 대학교에 들어가면 미적분을 다시 배울 때 심화적으로 배우게 된다.
여기서 더 발전하면 비유클리드 기하학으로 넘어간다. 우선 교양 수준의 미분기하학부터 시작하는데, 대체로 벡터장과 벡터 다발을 다룬 뒤 곡선, 곡면을 직교좌표계에서 순수 미적분 등으로 다루는 법을 배우고, 곡선, 곡면으로 정의되는 좌표계[3]를 다루는 법을 배운다. 여기까지 오면 시간에 따른 벡터의 변화를 좌표계로 나타내는 법,[4] 출발점이 다른 두 벡터의 합성[5] 같은 기초적인 개념부터 미적분 등의 복잡한 계산을 필요로 한다.
비유클리드 기하학이기는 하지만 기저가 고정된 특수 상대성 이론은 현대물리에서도 배우지만, 시공간의 변화를 최소 미분기하학 수준의 비유클리드 기하학으로 다뤄야 하는 일반 상대성 이론은 물리학을 전공해도 자기 연구 분야로 삼지 않으면 배울 일이 없는 것만 봐도 그 복잡함을 알 수 있다.

2. 응용

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공간을 다루는데 있어서 빼놓을 수 없다.
도시, 섬 등의 위치를 위도와 경도로 나타내는 것도 해석기하학에서 도입되는 개념이며, 초중학교 교과서에 등장하는 대권항로같은 것은 비유클리드기하학을 다룰 때 등장하는 측지선이라는 개념을 사용한다.
상대성 이론에도 해석기하학이 필수로 들어가는데, 여기서는 공간만이 아닌, 시공간을 다룬다. 중력에 따른 GPS의 오차도 해석기하학적으로 시공간이 휘어진 정도를 계산해서 얼마만큼 보정할지 결정한다.
고체물리학, 통계물리학 등에서는 물체의 위치뿐만이 아니라, 물체의 속도, 파동의 파수 벡터 등으로도 '공간'을 만들어서 '운동량 공간', '파수 공간' 등의 개념을 다루기도 한다.

3. 수학 올림피아드에서

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한국수학올림피아드 등에서는 해석기하적 방법으로 문제를 풀기도 한다. 기하 문제를 해석적으로 푸는 경우와, 해석학(대수 분야) 문제를 기하적으로 푸는 경우가 있다.

3.1. 기하 문제를 해석적으로 푸는 경우

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평면기하 문제의 경우, 좌표평면 위에 문제에서 주어진 상황을 놓고 해석학적인 방법으로 접근하기도 한다.

3.2. 해석학(대수 분야) 문제를 기하적으로 푸는 경우

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대수 분야에서 변수들이 일련의 방정식을 만족하는 경우, 주어진 상황을 기하학적으로 재해석하여 문제를 풀기도 한다. 이를 '구조법'이라고 하기도 하는데, 정식 수학 용어는 아니다. 광의적으로는, 문제의 주어진 조건으로 새로운 수학모형을 만들어내는 방법, 즉 기존과 다른 문제풀이의 경로와 방법을 찾는 것을 구조법이라고 한다. 구조법을 합리적으로 상황에 맞게 이용한다면 복잡한 것을 간단한 것으로 변화시켜 문제를 교묘하게 풀 수 있다. 그래서 구조법은 문제풀이에 종종 이용된다.
구조법을 사용하여 문제를 풀 때에는 여러 방면의 지식을 종합적으로 응용해서 문제를 쉽게 해결할 수 있는 새로운 방법을 강구해야 한다. 따라서 구조법을 공부하면 지식을 풍부하게 하고, 종합적인 사고능력과 창의적인 문제를 푸는 실력을 키울 수 있다. 그렇다고 모든 문제를 구조법으로 풀 수 있는 것은 아니다. 다만 구조법은 특수한 풀이 방법의 하나로서, 상황에 맞게 활용해야 효과적이다. 따라서 모든 문제에 적용하려 들지는 말고 적용 가능하다고 추측될 때 (예를 들어 제2 코사인 법칙을 쓸 수 있을 것 같을 때) 사용하면 아주 효과적이다.

3.2.1. 의의

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해석기하학은 좌표를 변수로 하는 방정식으로써 도형의 성질을 연구하는 학문이다. 즉, 도형을 그림이 아닌 수식으로 이해할 수 있을 뿐만 아니라 역으로 이해하기 힘든 수식을 도형으로 바꾸어 쉽게 이해할 수 있다.
이런 시각이 특히 두드러지는 곳 중 하나가 전자기학에서 쓰이는 맥스웰 방정식으로, 전하/자하#s-5의 존재를 구멍이 없는 입체도형의 겉면 적분으로, 발전기와 전자석의 원리를 닫혀 있는 평면도형의 적분으로 나타내는 식이다.
또한 대수 기하학, 미분 기하학이라는 학문 자체가 이런 시각을 기본으로 깔고 들어간다. 대수 기하학에서 다루는 대상의 하나인 에탈 코호몰로지 문서만 봐도 어떤 느낌인지 알 수 있다.

3.2.2. 구체적인 방법

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3.2.2.1. 두 점 사이의 거리 공식의 활용

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좌표평면 위의 두 점 $$ A (x_1 , x_2) , B (y_1 , y_2) $$ 사이의 거리 $$ AB $$ 는 [math( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }

)]이다.[6]
위 식을 좀 더 아름답게(?) 응용할 수 있다.

모든 실수 $$ x_1, x_2, x_3, ⋅⋅⋅, x_n $$ 과 $$ y_1, y_2, y_3, ⋅⋅⋅, y_n $$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 } + \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 } + ⋅⋅⋅ + \sqrt{x_n ^2 + y_n ^2 } ≥ \sqrt{ (x_1 + x_2 + ⋅⋅⋅ + x_n) ^2 } +\sqrt{ (y_1 + y_2 + ⋅⋅⋅ + y_n) ^2 } $$

【 증명 】

주어진 부등식을 제곱하고 다음의 항등식을 이용하자.
$$ z_i = \sqrt{x_i^2 + y_i^2} $$ 이라고 하면
$$ (z_1 + z_2 + z_3 + ⋅⋅⋅ + z_n)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + ⋅⋅⋅ + z_n^2 + 2 $$ $$\displaystyle \sum z_iz_j $$
이므로 정리하면
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{\ n}(x_i^2 +y_i^2) $$ + 2$$\displaystyle \sum_{i<j} \sqrt{(x_i^2 +y_i^2)(x_j^2 +y_j^2)} ≥\displaystyle \sum_{i=1}^{\ n}(x_i^2 +y_i^2) $$ + 2 $$\displaystyle \sum_{i<j} (x_ix_j + y_i y_j)$$
이고
$$\displaystyle \sum_{i<j} \sqrt{(x_i^2 +y_i^2)(x_j^2 +y_j^2)} ≥ \displaystyle \sum_{i<j} (x_ix_j + y_i y_j)$$
인데, 위 부등식은 코시-슈바르츠 부등식에 의해 성립한다.

3.2.2.2. 코사인 법칙

삼각형 $$\mathrm{ABC}$$를 고려하자. 이때 각 $$A$$, $$B$$, $$C$$의 대변을 각각 $$a$$, $$b$$, $$c$$라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다. [유클리드 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} a&=b\cos{C}+c\cos{B} \\ b&=c\cos{A}+a\cos{C} \\ c&=a\cos{B}+b\cos{A} \end{aligned} $$ [구면 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\ \cos b&= \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B \\ \cos c&= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \end{aligned} $$ [쌍곡 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \cosh b \cosh c + \sinh b \sinh c \cos A \\ \cosh b&= \cosh a \cosh c + \sinh a \sinh c \cos B \\ \cosh c&= \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b \cos C \end{aligned} $$ [유클리드 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} $$ [구면 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cos b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cos c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} $$ [쌍곡 공간] $$\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cosh b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cosh c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} $$

• 차례대로 위가 제1 코사인 법칙, 아래가 제2 코사인 법칙

3.2.2.3. 사인 법칙

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• 유클리드 공간 꼴

$$ \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R $$

• 구면 공간 꼴

$$ \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R $$

• 쌍곡 공간 꼴

$$ \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R $$

코사인 법칙과 더불어서 많이 쓰이는 정리이다.

3.2.2.4. 오일러 공식

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$$a^z = ((\cos \circ \Im)(z \ln a) + i(\sin \circ \Im)(z \ln a))\,e^{\Re(z \ln a)}$$

복소수 범위의 지수함수를 삼각함수로 바꾸는 그 식이다. 이 공식의 의의는 지수식에 삼각함수를 이용한 기하학적 공리[7]를 적용할 수 있다는 것에 있다.
자세한 내용은 오일러 공식 문서 참조.

3.2.2.5. 이차형식

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원의 방정식 같이, 특정 도형을 그리는 이차식을 이용해서 문제를 풀 수 있다.

3.2.3. 예제

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• 위에거 다 제쳐두고 예제로 감잡는 것이 가장 중요하다! 위 식들은 모두 알고 있어야 예제를 풀 수 있고, 예제를 풀 때에는 풀이는 가급적 열지 말자. 구조법은 상상력(?)이 가장 핵심이기 때문에 풀이를 보기 앞서 접근 방식을 고민해보는 것을 추천한다.

'''예제1'''

$$ \sqrt{x^2 -8x +17} + \sqrt{x^2 -2x +5}$$ 의 최솟값을 구하시오.

【 풀이 】 (준 식) = $$\sqrt{(x-4)^2 + 1^2} + \sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2}$$이므로, 좌표평면 위의 세 점 $$X(x,0)$$, $$A(4,1)$$, $$B(1,-2)$$에 대하여 위 식은 $$\overline{\rm AX}+\overline{\rm XB}$$의 최솟값과 같다. 즉, 해당 식이 최소가 되는 경우는 점 $$X$$가 $$\overline{\rm AB}$$ 위에 놓일 경우이다. 따라서 해당 식의 최솟값은 $$\overline{\rm AB}=\sqrt{(4-1)^2+(1-(-2))^2}=3\sqrt{2}$$이다.

'''예제2'''

다음 연립방정식을 만족시키는 양수 $$ x , y ,z$$에 대하여 $$ xy + 2yz + 3zx $$ 의 값을 구하시오. $$\begin{cases} x^2 + xy + \dfrac{y^2}{3} =25 \\ \dfrac{y^2}{3} + z^2 =9 \\ z^2 + zx +x^2 =16 \end{cases}$$

【 풀이 】 식을 차례대로 변형하면 $$ x^2 + \left( \dfrac{y}{ \sqrt{3}}\right)^2 - 2 ⋅ \dfrac{xy}{ \sqrt{3}} ⋅ \cos \dfrac{5}{6}\pi = 5^2 $$ $$ \left( \dfrac{y}{ \sqrt{3}} \right)^2 + z^2 - 2 ⋅ \dfrac{yz}{ \sqrt{3}} ⋅ \cos \dfrac{\pi}{2} = 3^2 $$ $$z^2 + x^2 - 2 ⋅ zx ⋅ \cos \dfrac{2}{3}\pi = 4^2 $$ 이런식으로 변형이 가능한데, 이식은 제2 코사인 법칙을 이용해 도형으로 변환할 수 있다. 선분 $$ k $$ 의 길이가 $$x$$ 가 되고 선분 $$ i $$ 의 길이는 $$ \dfrac{y}{ \sqrt{3}} $$ 가 되며 선분 $$ j $$ 의 길이는 $$z$$ 가 된다. 이제 $$ xy + 2yz + 3zx $$ 의 값을 구해야 하는데 준식은 각 삼각형의 넓이의 합으로 구할 수 있다. 삼각형의 전체 넓이 $$ S = \dfrac{1}{2} ⋅ 3 ⋅ 4 = \dfrac{1}{2} ⋅ \dfrac{y}{ \sqrt{3}} ⋅ z ⋅ \sin \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} ⋅ x ⋅ y ⋅ \sin \dfrac{5}{6}\pi + \dfrac{1}{2} ⋅ x ⋅ z ⋅ \sin \dfrac{2}{3}\pi $$ 이 된다. 따라서 $$ xy + 2yz + 3zx $$ 의 값은 $$24{ \sqrt{3}}$$ 가 되는 것을 알 수 있다.

[1] 이런 좌표는 또 n차원 좌표계에 표현할 수 있다. 그리고 좌표를 이용하여 표현한다는 것은 곧 대수적인 방법으로도 기하학적 구성을 표현할 수 있다는 말이 된다.

[2] 사실은 중3 2학기 피타고라스 정리와 삼각비 단원에서 약간 배운다.

[3] 가장 유명한 좌표계의 예를 들자면, 2차원에는 극좌표계, 3차원에는 원통 좌표계, 구면 좌표계가 있다.

[4] 단순히 좌표 성분의 변화뿐만이 아닌, 기저 벡터의 변화까지 고려해야 한다. 예를 들어, 사람의 키를 pres라는 단위로 재고, 1pres를 해당 시점의 대통령의 키로 정의한다고 해보자. 어떤 사람의 키가 150cm에서 300cm로 커졌을 때, 대통령의 키가 100cm에서 150cm가 되었다면, 그 사람의 키는 1.5pres에서 2.0pres로 증가한다. 그 사람의 실제 키는 2배가 되었지만, 키를 재는 단위인 pres가 100cm에서 150cm로 바뀌면서, 키의 수치만 보면 1.5에서 2.0으로 약 1.33배가 되었다.

[5] 각 시점에서 기저 벡터의 방향을 확인해야 한다. 비유클리드 좌표계에서는 같은 벡터라도, 벡터의 출발점이 달라지면 표현 방식이 달라진다. 예를 들어, 같은 고기 1인분이더라도, 고기집마다 1인분에 해당되는 무게가 다르다. 그러므로 서로 다른 가게에서 고기를 1인분씩 산다면, 각각의 가게에서 1인분이 몇 그램인지 고려해서 계산해야 고기의 총 무게를 알 수 있다.

[6] 이를 유클리드 노름이라고 한다.

[7] 위의 코사인 법칙, 사인 법칙도 포함한다.