원뿔곡선
1. 개요
conic section · 圓錐曲線
'''원뿔곡선'''은 위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미한다. 종류로는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다.
2. 특징
그리스 수학자 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 연구되었다. 후대에 해석 기하학의 발전으로 이 곡선들이 정확히 $$x$$와 $$y$$에 대한 일반적인 이차곡선, 즉,
$$\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 $$
아폴로니우스는 원뿔면과 절단면이 이루는 각도를 기준으로, 원뿔곡선을 타원, 포물선, 쌍곡선의 세 종류로 다음과 같이 분류하였다.
- ①: 절단면과 원뿔면이 평행하면 포물선을 잘라낸다.
- ②: 절단면이 원뿔면보다 더 기울어져 있으면 타원을 잘라낸다. 닫힌 곡선 하나의 형태로 나타난다. 원은 타원의 특수한 형태로, 절단면이 원뿔의 회전중심과 수직할 때 나타난다.
- ③: 절단면이 원뿔면보다 덜 기울어져 있으면 쌍곡선을 잘라낸다. 직원뿔의 위아래에서 모두 곡선을 잘라내고, 따라서 쌍곡선은 말굽 형태의 곡선 둘이 마주보는 형태이다.
3. 종류
아폴로니우스는 다음과 같은 정의를 도출하였다.
- 포물선: 평면 상의 어떤 직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합
- 타원: 평면의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합
- 원: 평면 상에서 한 정점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점의 집합
- 쌍곡선: 평면상의 고정된 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합
3.1. 그 외의 이차곡선
- 1개의 점(퇴화 타원): 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 가로로 만나면 점이 된다. 예를 들어 $$\displaystyle x^2 + y^2 = 0$$ 의 경우
- 1개의 직선(퇴화 포물선): 원뿔곡선에 평면이 접하면 직선이 된다. 예를 들어 $$\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 = 0$$ 의 경우
- 2개의 교차하는 직선(퇴화 쌍곡선): 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 수직으로 만나면 2개의 직선이 된다. 예를 들어 $$\displaystyle x^2 - y^2 = 0$$ 의 경우
- 2개의 평행하는 직선(퇴화 포물선): $$\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 $$ 형식인 또다른 경우도 있다. 예를 들어 평행하는 2개의 직선 $$\displaystyle x + y = 0$$ 과 $$\displaystyle x + y + 1 = 0$$ 을 서로 곱하면 $$\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 0 $$ 이 되는데, 이는 2개의 평행하는 직선을 나타낸다. 하지만, 원뿔곡선의 정의로는 만들어 질 수 없다.
- 없음(허상): 예를 들어 $$\displaystyle x^2 + y^2 + 1 = 0 $$ 이 식으로 표현되는 실수 해는 존재하지 않는다. 이 경우도, 원뿔곡선의 정의로는 만들어 질 수 없다.
3.2. 3차원 확장
- 구: 모든 방향에서 절단 시 원이 되는 곡면
- 타원면: 모든 방향에서 절단 시 타원이 되는 곡면
- 타원포물면: $$x$$, $$y$$축 방향에서 절단 시 포물선, $$z$$축 방향에서 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면
- 쌍곡면: $$x$$, $$y$$축 방향에서 절단 시 쌍곡선, $$z$$축 방향에서 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면
- 쌍곡포물면: $$x$$, $$y$$축 방향에서 절단 시 포물선, $$z$$축 방향에서 절단 시 쌍곡선이 되는 곡면
- 원기둥(퇴화 타원포물면)
- 타원기둥(퇴화 타원포물면)
- 원뿔면(퇴화 쌍곡면): 원뿔 두 개를 뾰족한 쪽으로 맞닿게 하는 곡면. 이 문서 상단에서 원뿔곡선을 정의하는 곡면이기도 하다.
- 포물기둥(퇴화 쌍곡포물면)
- 쌍곡기둥(퇴화 쌍곡포물면)
4. 직교좌표계에서 이차곡선의 표준화
일반적인 이차곡선의 식 (단, $$ABC \neq 0$$)
$$\displaystyle \Phi(x,\,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 $$
$$ \displaystyle \mathbf{ x^{t}} \boldsymbol{\mathsf{A}} \mathbf{x} + \mathbf{b^t x} + f = 0$$,
$$ \begin{aligned} \displaystyle {\bf x} &= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\mathsf{A}} &= \begin{bmatrix}A & B/2 \\ B/2 & C\end{bmatrix} \\ {\bf b} &= \begin{bmatrix}D \\ E\end{bmatrix} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \cot{2 \theta} = \frac{A-C}{B} \qquad \left( -\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{4} \right) $$
- $$\mathfrak{D}<0$$: 타원 혹은 축퇴형(한 점) 혹은 허타원(없음)
- $$\mathfrak{D}=0$$: 포물선 혹은 축퇴형(두 평행한 직선, 이중 직선, 없음)
- $$\mathfrak{D}>0$$: 쌍곡선 혹은 축퇴형(두 교차하는 직선)
$$\displaystyle \frac{1}{16} \mathfrak{D}_x \mathfrak{D}_y \Phi(x,\,y)= (B^2 - 4 AC) F+ AE^2 -BDE + CD^2$$
5. 극좌표계에서 원뿔곡선
이 문단에서는 극좌표계에서 원뿔곡선은 어떻게 표현되는지 알아볼 것이다. 들어가기 앞서 우리는 가장 간단한 케이스인 곡선의 초점이 원점에 있는 경우만 다룰 것이다.
5.1. 이심률
원뿔곡선에 해당되는 곡선들은 공통적으로 한 가지 특징이 있으며, 곡선 위의 점 $$\mathrm{P}$$가 있고, 점 $$\mathrm{P}$$에서 준선에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라고 하자. 또한, 초점을 $$\mathrm{F}$$라 하면, 원뿔곡선은
$$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}={\sf const.} $$
$$\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }} $$
5.2. 원뿔곡선의 극방정식
5.2.1. 유도
들어가기 앞서 다음을 약속한다.
- 점 $$\mathbf{P}$$: 원뿔곡선 위의 점
- 점 $$\mathbf{F}$$: 원뿔곡선의 초점이자 원점
- 점 $$\mathbf{H}$$: 점 $$\mathrm{P}$$에서 준선에 내린 수선의 발
- 점 $$\mathbf{A}$$: 점 $$\mathrm{P}$$에서 축에 내린 수선의 발
- 점 $$\mathbf{B}$$: 축과 준선의 교점
- $$p>0$$
[image]
$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\cos{\theta} $$이므로
$$\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}=\frac{r}{p-r\cos{\theta}} $$
$$\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}} $$
[image]
$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\cos{\theta} $$이므로
$$\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\cos{\theta} }$$
$$\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}} $$
[image]
$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\sin{\theta} $$이므로
$$\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} }=\frac{r}{p-r\sin{\theta} } $$
$$\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\sin{\theta}} $$
[image]
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\sin{\theta} \end{aligned} $$이므로
$$\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF}} }{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\sin{\theta} } $$
$$\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\sin{\theta}} $$
5.2.2. 종합
이상에서 초점이 원점인 원뿔곡선의 극방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
- 준선이 $$\boldsymbol{x=\pm p\,(p>0)}$$인 경우
- 준선이 $$\boldsymbol{y=\pm p\,(p>0)}$$인 경우
아래는 준선이 $$x=1$$일 때, 세 가지 이심률에 대해 나타나는 곡선을 그래프로 그린 것이다.
[image]
이와 같이 $$e=0.5<1$$일 때는 타원이, $$e=1$$일 때는 포물선이, $$e=1.5>1$$일 때는 쌍곡선이 된다.
6. 기타
- 대한민국 고등학교 수학 교육과정에서는 모든 원뿔곡선을 다 배운다.[5] 다만, 배우는 학년은 다르다.[6]
- 뉴턴의 만유인력의 법칙을 따르는 행성의 궤도를 계산하면 항상 이차곡선이 된다.[7] 행성의 공전 속도를 $$v$$, 항성을 중심으로 한 원운동 속도를 $$v_1$$, 항성에 대한 탈출 속도를 $$v_2$$라 할 때, $$v=v_1$$이면 궤도는 원이 되고, $$v_1
- 파라볼라(parabola) 안테나가 포물선 모양으로 만들어진 것은, 포물면을 향해 똑바로 들어오는 선들은 반사되어 모두 초점으로 모인다는 기하학적 성질을 응용한 것이다.
- 재미있는 사실 중 하나로, 타원은 초등함수로 길이를 나타낼 수 없다. 타원의 둘레를 구하기 위한 적분에서 유래한 것이 그 유명한 타원곡선이다.
7. 관련 문서
[5] 하지만 2020년 10월 15일 기준, 2015년 개정교육과정에서는 기하(기존 기하와 벡터)를 진로선택과목으로 바꿨고 이에 따라 수능 직접출제범위에서 벗어나기 때문에 학생들이 심도 있게 공부할 기회가 훨씬 적어진 것 같다.[6] 과거에는 이 네 가지를 모두 고1 때 배웠으나 5차 교육과정 이후 타원과 쌍곡선, 6차 교육과정 이후 포물선이 올라가 고1 때는 원만 배운다.[7] 정확히 말하면 역제곱 중심력장 안에서 외력이 작용하지 않은 물체는 이차곡선의 궤도를 따라야만 한다.