퍼텐셜 에너지

1. 개요

---

'''Potential energy'''
일반적으로, 퍼텐셜 에너지란 역장(force field) 속의 어떤 물체가 특정 위치에서 갖는 스칼라 값이다[1]. 단위는 $$\textrm{J}$$(줄, Joule)이고, 기호로는 $$U$$, $$V$$, $$\Phi$$ 등을 다양하게 사용한다. 구체적인 값은 중요하지 않고 한 위치에서 다른 위치로 물체가 이동할 때의 '''퍼텐셜 에너지의 차이'''만 물리적인 중요성을 갖는다.

2. 정의

---

퍼텐셜 에너지는 보존력(conservative force), 즉 한 위치에서 다른 위치로 물체가 이동할 때 역장이 한 일(work)이 경로에 무관한 힘[2]에 대해서만 정의된다. 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 기준점[3]에서 특정 위치까지 물체를 움직이는 데 들인 일에 음의 부호를 붙인 것으로 정의된다.

$$ \displaystyle U(\mathbf{{r}})=-\int_{\mathbf{{r_{0} } }}^{\mathbf{{r'} } } \mathbf{{F}}(\mathbf{{r}}) \cdot d \mathbf{{r}} $$

[1] 벡터 퍼텐셜이라는 것도 있지만 이 문서에서는 주로 스칼라 퍼텐셜을 다루며 벡터 퍼텐셜에 관한 내용은 아래 문단에 따로 적어놓았다.

[2] 중력, 탄성력, 전기력 등이 그 예이다.

[3] 아무거나 잡아도 된다. 중력(특히 우주에서의 만유인력)이나 전기력 같은 경우에는 관례적으로 무한대를 기준점으로 잡는다.

수학적으로는 선적분(line integral)이다.
이러한 퍼텐셜 에너지의 정의로 인해 언제나 기준점에서의 퍼텐셜 에너지는 0이다.[출처]

3. 퍼텐셜의 예

---

3.1. 중력 퍼텐셜 에너지

---

이 문단에서는 일반적인 만유인력을 탐구해 보겠다. 식을 유도하기 위해 적당한 3차원 좌표계를 잡자. $$M$$이 원점에 있고, $$m$$이 원점으로 부터 $$\mathbf{r}$$에 있을 때, $$m$$이 받는 만유인력은

$$ \displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{GMm}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$

[출처] "The reference point is called the "zero point" of potential energy as the potential energy will be zero there by definition." Isaac Physics\[University of Cambridge\]. Potential Energy.#

이 된다. 중력 퍼텐셜 에너지 $$U$$를 구해보자. 보통 중력과 같이 역제곱 법칙(inverse square law)[4]을 따르는 힘에 대해서는 관례적으로 기준점을 무한대로 잡는다.[5] 따라서 중력 퍼텐셜 에너지는

$$ \displaystyle U(\mathbf{r})=-\int_{\infty}^{\mathbf{r}} \left(-\frac{GMm}{r \mathbf{'}^{2}} \hat{\mathbf{r'}} \right) \cdot d \mathbf{r'}=-\frac{GMm}{r}$$

[4] 힘이 거리의 제곱 분의 1에 비례함.

[5] 이렇게 하면 무한대에서 퍼텐셜 에너지가 0이 되어 뺄셈을 할 필요가 없어 계산하기가 편하기 때문이다.

가 된다.
참고로 '''중력 퍼텐셜'''은 중력 퍼텐셜 에너지와는 다르다. 중력 퍼텐셜 에너지를 운동하는 물체의 질량으로 나눈 값이 중력 퍼텐셜이다. 절대 혼동하지 않도록 조심하기 바란다.(전위와 전기 퍼텐셜 에너지의 차이점을 생각하면 쉬울듯하다.)

3.1.1. 지구 표면에서

---

중학교 때부터 배우는 유명한 공식(사실 이건 공식이 아니다. 퍼텐셜 에너지 공식이란 것은 없다. 단지 역학적 에너지가 보존되는 상황에서 총 역학적 에너지에서 운동에너지를 뺀 값일 뿐이다.) $$\Delta U = mgh \ (=mg \Delta y)$$는 사실 위의 일반적인 공식에서 지구 표면에서의 중력 가속도가 일정하다고 가정한 근사(approximation)이다.
지구 반지름이 $$R$$이라고 하자. 지표면으로 부터 $$h$$만큼 떨어진 물체의 중력 퍼텐셜 에너지는

$$ \displaystyle U(h)=-\frac{GMm}{R+h}$$

이다. 이때, $$h \ll R$$인 상황을 가정하면,

$$ \displaystyle \begin{aligned} U(h)&=-\frac{GMm}{R} \left(1+\frac{h}{R} \right)^{-1} \\& \simeq -\frac{GMm}{R} \left(1 - \frac{h}{R} \right) \end{aligned}$$

가 된다. 지표면 $$h=0$$에서 퍼텐셜 에너지가 [math(0)]이 되게끔 하면,

$$ \displaystyle U(h)=m \left( \frac{GM}{R^{2}} \right) h$$

가운데의 괄호친 항을 중력 가속도 $$ \displaystyle g \equiv {GM}/{R^{2}} $$[참고]으로 정의하면,

$$ \displaystyle U(h)=mgh$$

[참고] 만유인력 상수 $$G=6.673 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^{2} \cdot kg^{-2}}$$, 지구 질량 $$M=5.972 \times 10^{24} \, \mathrm{kg}$$, 지구 반경 $$R=6.371 \times 10^{6} \, \mathrm{m}$$임을 이용하면, $$g \simeq 9.8 \, \mathrm{m \cdot s^{-2}}$$으로 나온다.

로 중력 퍼텐셜이 나옴을 알 수 있다.

3.2. 탄성 퍼텐셜

---

용수철을 $$\mathbf{r}$$만큼 변형시켰을 때, 탄성력은 훅의 법칙에 따라 다음과 같이 주어진다.

$$ \displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=-k {\mathbf{r}} $$

이때, $$k$$는 용수철 상수를 의미한다.
이제 탄성 퍼텐셜을 정의하는데, 기준점을 $$ {\mathbf{r=0}} $$으로 잡자. 탄성 퍼텐셜 에너지는

$$ \displaystyle U(\mathbf{r})=-\int_{0}^{\mathbf{r}} (-k \hat{\mathbf{r'}}) \cdot d \mathbf{r'}=\frac{1}{2}kr^{2}$$

이 된다.

3.3. 전기 퍼텐셜

---

4. 보존장과 퍼텐셜

---

5. 심화

---

5.1. 퍼텐셜 함수와 평형점

---

스칼라 퍼텐셜과 힘의 관계가 다음이 됨을 보존력 문서에서 봤다.

$$ \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U$$

따라서 임의의 힘 함수 $$\mathbf{F}$$가 주어지면, 퍼텐셜 함수 $$U$$를 구할 수 있다.
주의할 것은 퍼텐셜 함수는 연속이어야 한다. 퍼텐셜 함수에 불연속이 생긴다는 것은 결국 미분 불가능한 점이 생긴다는 의미인데, 퍼텐셜 함수를 미분 연산한 것이 힘이라는 것을 생각해보면, 무한한 힘이 가해지지 않는 이상 이런 일이 생길 수가 없다. 그러나 무한한 힘을 물체에게 가한다는 것은 물리적으로 불가능한 상황이기 때문에 퍼텐셜 함수는 연속이어야 한다.

그림과 같이 보존장에서 주어진 $$1$$차원 퍼텐셜 함수를 고려해보자. 이런 퍼텐셜의 경우 가장 큰 특징은 $$U>0$$이면, 물체는 퍼텐셜에 속박되어 있지 않고, $$U<0$$이면 퍼텐셜에 구속돼있다. 가장 쉽게 이해하는 방법은 퍼텐셜을 언덕이라 생각하면 된다.
물체의 총 에너지를 $$E$$라 하면, 이것은 퍼텐셜 $$U$$와 운동 에너지 $$T$$의 합이고, 보존장을 다루므로 총 에너지는 보존된다.

$$ \displaystyle E=T+U \rightarrow T=E-U$$

가 된다. 이때, $$T>0$$을 만족시켜야 하기 때문에 결국엔 $$E$$와 $$U$$ 사이의 거리가 된다.(위 그림 참고)
물체의 총 에너지에 따라 운동 양상은 달라지게 된다.

• $$E=E_{1}$$일 때 즉, 퍼텐셜 함수의 극소점에 위치할 때이다. 이 점에서는 물체는 $$x=x_{1}$$에서 정지한다.
• $$E=E_{2} \,(E_{1}
• $$E=E_{3} \,(E>0)$$는 물체는 무한 원점에서 $$x=x_{4}$$까지 다가오다, $$x=x_{4}$$에서 다시 무한 원점으로 나가게 된다.

참고로, $$ E<E_{1}$$인 경우엔 운동 에너지가 음수를 갖게 되는데, 이럴 경우 물체의 속도가 허수가 나오므로 물리적으로 일어날 수 없는 일이라는 점을 인지하여야 한다.
이번엔 퍼텐셜의 '''평형점(Equilibrium point)'''에 대해서 알아보자. 평형점은 물체에 가해지는 힘 $$\mathbf{F}=0$$을 만족하는 곳이다. $$1$$차원에 대해서

$$ \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U=-\frac{dU}{dx} $$

이므로 평형점의 조건은

$$ \displaystyle \frac{dU}{dx}=0 $$

으로 즉, 퍼텐셜 함수의 극점 혹은 $$ \displaystyle x $$축과 평행한 직선에 해당한다. 이때, 극점은 위로 볼록하거나 아래로 볼록한 두 형태가 있으므로 평형점은 아래와 같은 세 가지 종류가 존재한다.[주의2]

다만, 주목해야 할 것은 위에서 $$x=x_{1}$$과 $$x=x_{2}$$이다. $$x=x_{1}$$의 경우에 입자가 평형점을 미소하게 벗어난다고 해도 위에서 논의했듯, 퍼텐셜 벽 사이에서 왕복하므로 복원력이 작용하여 다시 평형점으로 되돌아갈 수 있다. 또한, 이와 대조적으로 $$x=x_{2}$$와 같이 미소하게 평형점을 벗어나면, 물체는 다시 평형점으로 되돌아갈 수 없는 평형점도 있다.
이처럼 $$x=x_{1}$$과 같이 아래로 볼록한 극점에 위치한 평형점을 '''안정 평형점''', $$x=x_{2}$$와 같이 위로 볼록한 극점에 위치하는 평형점을 '''불안정 평형점'''이라 하며, 위에서 얘기했던 평행한 직선과 같은 평형점을 '''중간 평형점'''이라 한다.
따라서 퍼텐셜 함수 $$U(x)$$가 주어졌을 때, $$x=x_{0}$$에서 안정 평형점이 되는 조건은

$$ \displaystyle \left. \frac{d^{2}U}{dx^{2}} \right|_{x=x_{0}}>0 $$

[주의2] 퍼텐셜 함수는 연속임에 주의한다. 주어진 그림은 어떤 형태로 나오는 지 소개한 그림이지, 한 공간을 기술하는 퍼텐셜을 나타낸 것이 아니다.

이고, 불안정 평형점이 되는 조건은

$$ \displaystyle \left. \frac{d^{2}U}{dx^{2}} \right|_{x=x_{0}}<0$$

이 된다. 만약, $$ \displaystyle \left. {d^{2}U}/{dx^{2}} \right|_{x=x_{0}}=0$$인 경우엔 평형점을 판단하려면 더 높은 미분 항을 조사하여야 한다.

5.2. 퍼텐셜 함수의 근사

---

임의의 퍼텐셜 함수 $$U(x)$$를 고려하자. 그 퍼텐셜의 안정 평형점을 $$x=0$$이라 하고, 이 점을 기준으로 작은 $$x$$에 대하여 퍼텐셜을 전개하면

$$ \displaystyle U(x)=U(0)+\left. x \cdot \frac{dU}{dx} \right|_{x=0}U(0)+\left. \frac{x^{2}}{2!}\frac{d^{2} U}{dx^{2}} \right|_{x=0} U(0)+\cdots $$

가 된다. 퍼텐셜 특성 상 $$U(0)$$는 상수이므로 이것을 무시할 수 있고, 안정 평형점은 극점이므로 $$\left. {dU}/{dx} \right|_{x=0}=0$$이 된다. 따라서 퍼텐셜은

$$ \displaystyle U(x) \simeq\frac{x^{2}}{2!} \left. \frac{d^{2} U}{dx^{2}} \right|_{x=0} U(0) =\frac{1}{2}kx^{2}$$

로 쓸 수 있다. 여기서 $$k \equiv \left. {d^{2} U}/{dx^{2}} \right|_{x=0} U(0) $$이고, $$x^{3}$$항 부터는 $$x$$가 미소변위 내에서 움직이므로 무시했다.[6]
따라서 위 결과는 안정 평형점 근처의 퍼텐셜은 조화 진동자의 퍼텐셜로 근사할 수 있으며, 물체를 안정 평형점으로 부터 미소한 변위만큼 위치를 변화시키면 조화 진동자와 같은 양상으로 미소 진동함을 알 수 있다.

5.3. 전환점, 허용・금지된 영역

---

위 그림은 1차원 조화 진동자의 퍼텐셜

$$ \displaystyle U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$$

[6] 여담이지만 고차항을 무시하면 실험결과와 이론이 잘 맞지 않는 겅우도 있다. 그것이 고체의 열팽창으로, 그것들은 모두 고체의 격자 진동 에너지 양자인 포논으로 설명한다. 따라서 고체 물리학에선 이 비조화 항 즉, 고차항을 생각해주게 된다.

를 나타낸 것이다.
에너지가 $$E$$인 입자는 (고전역학적으로) 잘 알고 있듯이 $$-x_{0} \leq x \leq x_{0}$$ 영역을 왕복운동하는 양상을 보인다. 그러면, 물체가 $$\left| x \right|> x_{0}$$인 영역에서 입자는 어떤 양상의 운동을 보일까? 퍼텐셜 함수를 잘 이해했다면, 쉽게 '''해당 영역에서 물체의 운동은 불가능함'''을 쉽게 알 수 있다. 그 이유는 '''운동 에너지가 음수가 되기 때문이다.[7]'''
이때, 고전역학적으로 물체가 운동하는 점과 아닌 점을 구분하는 점(위 상황에선 $$x=\pm x_{0}$$.)을 '''전환점(Turning point)'''라 하고, 운동 에너지가 음수가 되어 물체의 운동이 불가능한 영역(위 상황에선 $$\left| x \right|> x_{0}$$.)을 '''금지된 영역(Forbidden regions)''', 그 외 운동이 가능한 영역(위 상황에선 $$-x_{0} \leq x \leq x_{0}$$.)을 '''허용된 영역(Allowed regions)'''이라 한다.
따라서 고전역학 적으로는 물체는 전환점을 만나면, 반사하여 본래의 운동 방향과 반대로 돌아가게 된다.
'그러면, (유한한 퍼텐셜이 존재할 때) 양자역학적으로는 금지된 영역에서 물체는 존재할 수 있는가?'라는 질문을 할 수 있다. 결론만 놓고 말하면, '''존재할 수 있다.''' 다만, 해당 영역에서 파동함수는 급격히 감소하는 경향을 보이기 때문에 허용된 영역에서 보다는 극히 적은 확률로 입자가 존재할 수 있다. 양자 조화 진동자를 참조하자.

6. 벡터 퍼텐셜

---

위에서 다뤘던 퍼텐셜은

$$ \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U$$

[7] 고전적으로 운동 에너지가 음수가 되려면, 물체의 속도가 허수이거나 질량이 음수가 되어야 한다. 이것은 불가능한 일이다.

로 표현되는 스칼라 퍼텐셜이었다. 또 다른 조건에서 정의되는 '''벡터 퍼텐셜''' 또한 존재한다.
장 $$\mathbf{F}$$에 대하여, 다음을 만족하는 $$\mathbf{A}$$를 벡터 퍼텐셜이라 정의한다.

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{F}$$

벡터 해석학에서 벡터에 Curl을 취한 뒤, Divergence를 취하면, [math(0)]이 됨을 알고 있다. 따라서

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )=\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F} =0 $$

이 성립하는데, 즉, 벡터 퍼텐셜이 정의되는 조건은

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F} =0$$

이고, 이런 장을 '''Solenoidal field(솔레노이드형 장 혹은 비발산장)'''이라 한다. 이런 장의 예로는 자기장이 있으며, 그렇기에 벡터 퍼텐셜의 대표적인 예도 자기 퍼텐셜이다.
이때, 다음의 벡터 퍼텐셜을 고려해보자.

$$ \displaystyle \mathbf{A'} \equiv \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda} $$

이때, $$\mathit{\Lambda} $$는 임의의 스칼라이다. 이것에 Curl을 취하면,

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'}= \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla}\mathit{\Lambda})$$

벡터 항등식에서 우변의 제 $$2$$항은 [math(0)]이 된다. 따라서

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'}= \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}$$

를 얻으므로 $$\mathbf{A}$$나 $$\mathbf{A'}$$나 같은 장으로 환원됨을 알 수 있다. 따라서 벡터 퍼텐셜 또한, 어떤 장을 서술하는 퍼텐셜이 하나만 존재하는 것이 아닌, 여러 개로 존재함을 알 수 있다.

6.1. 예 : 자기 퍼텐셜

---

7. 양자역학에서 퍼텐셜

---

양자역학에서는 관측가능한 물리량은 연산자로 나타낼 수 있다고 가정한다. 따라서 퍼텐셜 에너지의 연산자를 $$ \displaystyle \hat{V} $$로 나타내자. 이때, 퍼텐셜이 위치에 대한 함수라면,

$$ \displaystyle \hat{V}(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z} ) $$

로 나타낼 수 있다. $$ \displaystyle \hat{x} $$, $$ \displaystyle \hat{y} $$, $$ \displaystyle \hat{z} $$는 위치에 대한 연산자이다. 그런데, 위치에 대한 연산자는 $$ \displaystyle \hat{x}=x $$, $$ \displaystyle \hat{y}=y $$, $$ \displaystyle \hat{z}=z $$이므로 결국, 퍼텐셜의 연산자는

$$ \displaystyle \hat{V}=V(x,\,y,\,z)$$

로 퍼텐셜 함수가 된다.
예를 들어, 1차원 조화 진동자에 대한 퍼텐셜 연산자는

$$ \displaystyle \hat{V}=\frac{1}{2}k{\hat{x}}^{2} = \frac{1}{2}kx^{2} $$

가 된다.

8. 관련 문서

---

• 물리학 관련 정보
• 보존력
• 운동 에너지