진자
1. 개요
'''Pendulum · 振子'''
일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.
2. 종류
2.1. 단진자
2.2. 물리진자
'''Physical pendulum'''
[image]
수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.
위 그림에서 회전축 $$ \textrm{O} $$로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) $$ \textrm{CM} $$까지의 거리를 $$ L_{\textrm{CM}} $$이라 하자. 이때, 관성모멘트가 $$ I $$인 강체가 받는 토크는
$$\displaystyle I \ddot{\theta}=-mgL_{\mathrm{CM}}\sin{\theta} $$
$$\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\sin{\theta}=0 $$
$$\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\theta=0 $$
$$\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL_{\mathrm{CM} } }} $$
2.3. 비틀림 진자
'''Torsion pendulum'''
[image]
그림과 같이 비틀림 계수가 $$ \chi $$인 줄에 관성 모멘트가 $$ I $$인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 $$ \theta $$만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는
$$\displaystyle I \ddot{\theta} =-\chi \theta $$
$$ \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{ \chi}{I} \theta =0 $$
$$ \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\chi}} $$
2.4. 결합진자
'''Coupled pendulum'''
[image]
결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.
(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.
(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.
[image]
우선 계의 운동 에너지는
$$\displaystyle T=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2}) $$
$$\displaystyle U=mgl(1-\cos{\theta_{1}})+mgl(1-\cos{\theta_{1}})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} $$
$$\displaystyle \cos{\theta_{i}} \approx 1-\frac{\theta_{i}^{2}}{2} $$
$$\displaystyle U=mgl\left( \frac{\theta_{1}^{2}}{2}+\frac{\theta_{2}^{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} $$
$$\displaystyle l \theta_{i} \approx x_{i} $$
$$\displaystyle U=\frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} L&=T-U \\&=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2})-\left[ \frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} \right] \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} x_{1}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{1}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{1}} \right) \\ x_{2}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{2}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2})+\frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \\ (\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2})+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right] (x_{1}-x_{2})&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \ddot{X}+\frac{g}{l}X=0 \qquad \qquad \ddot{Y}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]Y=0 $$
이때, $$ x_{\textrm{1}}=x_{\textrm{2}} $$라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
$$\displaystyle \ddot{x}_{2}+\frac{g}{l}x_{2}=0 $$
$$\displaystyle \ddot{x}_{2}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]x_{2}=0 $$
[image]