섭동 이론
Perturbation theory
1. 개요
섭동 이론이란 원래 물리학 전반에서 정확한 해가 잘 알려진 어떤 계에 미세한 변화를 줬을 때 그 해가 어떻게 변화하는지를 수학적으로 풀어내기 위한 도구인데, 특별한 경우가 아니면 보통 양자역학에서의 섭동 이론을 지칭하게 된다. 따라서 본 문서에서도 양자역학의 섭동 이론에 대해 기술한다.
2. 시간에 무관한 섭동 이론
슈뢰딩거 방정식의 경우와 마찬가지로 섭동이 시간에 의존하지 않는 경우와 의존하는 경우로 나눠서 생각해 볼 수 있는데, 먼저 '''시간에 무관한 섭동 이론(time-independent perturbation theory)'''에 대해서 살펴 보도록 한다. 외부에서 어떠한 영향도 받지 않을 때의(unperturbed) 해밀토니안을 $$\mathcal{H}_{0}$$라 하고 외부에서 영향을 주는(그러나 시간에 무관한) 섭동(perturbation)을 $$\mathcal{H}'$$라고 하면 계의 (변화한) 총 해밀토니언은 $$\mathcal{H}=\mathcal{H}_{0}+\mathcal{H}'$$이 된다. 이 때 원래 해밀토니안에 대한 방정식을 $$\mathcal{H}_{0} \left| n^{0} \right> = E_{n}^{0} \left| n^{0} \right> $$ 이라 하면 $$E_{n}^{0}$$과 $$\left| n^{0} \right>$$은 잘 알려져 있다고 하고(특히$$\left| n^{0} \right> $$들은 직교 규격화(orthonormalized)되어 있다고 본다), 이제 이로부터 $$\mathcal{H} \left| n \right> = E_{n} \left| n \right>$$의 해를 얻고자 한다(마찬가지로 $$\left| n \right>$$들은 직교 규격화되어 있다고 본다). 이 과정에서 다시 해들의 겹침 상태(degenerated)가 있는지 없는지에 대해서 경우가 또 갈리게 된다. 겹침 상태란 어떤 계에서 서로 다른 두 개 이상의 상태함수가 같은 고유 에너지를 가질 때를 말하는데 특히 겹침 상태일 경우, 이 섭동에 의해서 그 겹침이 갈라지게 되는 경우가 자주 발생한다.
2.1. 예시
수소 원자의 에너지 준위가 n=2 이상일 때부터 s오비탈 1개와 p오비탈 3개 등 서로 다른 오비탈 자리에 전자가 들어가 있을 수 있지만, 그 에너지 준위는 모두 같다.[1] 즉 에너지 준위가 겹침 상태에 있다고 말할 수 있다. 그런데 이 때 외부에서 전기장을 걸어 주면 전자가 전기장의 영향을 받아 이 에너지 준위가 여러 갈래로 갈라지게 되는데, 이를 '''슈타르크 효과(Stark effect)'''라고 한다. 이 외부 전기장에 의한 섭동을 $$\mathcal{H}'$$로 놓고 계산하면 이 에너지가 얼마나 갈라지는지를 구할 수 있다. 또한 전기장 뿐만 아니라 자기장을 걸어줘도 전자의 전체 각운동량(궤도 각운동량 + 스핀)이 영향을 받아 에너지 준위가 바뀌게 되는 것을 알 수 있는데, 이를 '''제이만 효과(Zeeman effect)'''라고 한다. 그런데 외부에서 이런 섭동이 가해지지 않아도 수소 원자 내에서 일어나는 여러가지 현상 때문에 수소 원자의 각 상태마다 에너지 준위가 미세하게 차이가 난다. 일단 전자가 원자핵을 매우 빠른 속력으로 자전하고 있음을 고려해서 해밀토니언에서 운동량 부분을 상대론적으로 보정해주게 된다면 원래 해밀토니언에서 추가로 생성되는 항이 생기게 되고 이를 섭동 이론으로 계산한다면 보다 올바른 수소 원자의 에너지 준위를 구할 수 있다. 또한 위에서 말한 궤도 각운동량과 스핀이 외부 자기장이 없이 그 자체만으로 서로 영향을 받기 때문에(L-S coupling) 이것에 의한 섭동 또한 상대론적인 보정과 함께 더해주면 더 정밀하게 수소 원자의 에너지 준위를 예측할 수 있다. 이것을 '''미세 구조(fine structure)'''라고 한다. 또한 수소 원자핵 또한 스핀을 가지고 있으므로 자기장의 영향을 받게 되는데, 이렇게 갈라지는 것은 미세 구조보다 훨씬 미세하다고 '''초미세 구조(hyperfine structure)'''라고 한다(...)
3. 시간에 의존하는 섭동 이론
섭동이 시간에 의존해서 계가 시시각각 변할 때, 즉 $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{0}+\mathcal{H}'(t)$$일 때를 풀고자 할 때 쓰이는 기법이 '''시간에 의존하는 섭동 이론(time-dependent perturbation theory)'''이다. 이럴 때는 계의 상태 사이에 시간에 따른 전이가 일어나게 되어서, 그 시간마다 어느 상태로 전이가 일어날 확률이 얼마나 되는지를 구하게 된다. 예를 들어 외부에서 전자기파를 어떤 계에 조사하게 되면, 전자기파는 시간에 따라서 끊임없이 전기장과 자기장이 진동하는 파동이므로 이 시간에 의존하는 섭동 이론을 이용해서 풀었을 때 계의 원래 상태에 있던 전자가 언제 어느 상태로 얼만큼 들뜰지를 계산할 수 있다.
3.1. 단열 근사와 베리 위상
시간에 따른 계의 해밀토니언의 변화가 다소 느리다면, 우리는 이 계를 단열 근사(adiabatic approximation)시켜서 풀 수 있다. 또한 계가 주기성을 가지고 어느 정도 시간이 흐른 뒤에 처음의 상태로 되돌아 온다면 베리 위상(Berry's phase) 의 개념을 도입하게 된다. 혹은 기하학적 위상(geometric phase)이라고도 한다.
4. 한계
해밀토니언의 변화가 다소 크거나, 혹은 수소 원자를 넘어서 헬륨 원자나 수소 분자 이온 $$\mathrm{H_{2}^{+}}$$ 등의 복잡한 계를 다루게 될 때는 이 섭동 이론조차 제대로 맞지 않는 경우가 생겨서, WKB 근사법이나 변분 원리 등의 다른 근사법을 도입해야 된다.
그런데, 만약 짧은 시간동안만 상호작용하면 섭동이 일어난다는 사실[2]과, 유한한 시간동안 섭동이 일어나는 횟수는 짧은시간을 무수히 나눈 수 만큼 반복됨을 이용하면, 해밀토니안의 변화가 작지 않더라도 계산이 가능하다는 것을 알 수 있다. 다만, 계산이 가능할 뿐 여전히 문제가 남게 되는데, 입자물리학에서 에너지가 높아지면 높아질 수록 양자상태가 붕괴하여 다른 입자로바뀔 확률이 무한대로 향하는 문제가 발생한다. 이것 또한 해결할 수 있는 방도가 있는데, 그것이 바로 재규격화(Renormalisation)이다.