소인수 계량 함수

'''소인수 계량 함수(Prime omega function)'''[1]는 특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \omega(n) &\equiv \sum_{d|n} \bold{1}_{\mathbb{P}}(d) \\ \Omega(n) &\equiv \sum_{d^x|n} x\,\bold{1}_{\mathbb{P}}(d) \end{aligned} \qquad $$(단, $$d$$는 $$n$$의 약수, $$x,\,n \in \mathbb{N}$$)

[1] '오메가 함수'가 람베르트 W 함수의 이명으로 쓰이기 때문에, 소수 계량 함수의 예를 들어 표제어를 소인수 계량 함수로 했다.

위에서 $$\bold{1}_{\mathbb{P}}$$는 소수 판별 함수로, 약수 중 소인수만을 골라내는 함수이다.
비슷하게 소인수로 정의되는 함수인 뫼비우스 함수와 관련이 있다. 제곱 인수가 없는 수 $$n$$ 에 대해서 뫼비우스 함수와 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$\displaystyle \mu(n) = (-1)^{\omega(n)} = (-1)^{\Omega(n)}$$