람베르트 W 함수
1. 개요
'''람베르트 $$\boldsymbol W$$ 함수(Lambert $$\boldsymbol W$$ function''')는 특수함수의 하나로, 오메가 함수(Omega function) 또는 곱 로그(Product logarithm)[1]라고도 한다.
함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 지수함수를 정의해 보자.
여기서 $$x$$와 $$y$$를 서로 바꾸어 역함수
를 얻는데, 이를 만족하는 $$y$$를 $$y \equiv W(x)$$로 정의하고, 람베르트 $$W$$ 함수라 한다.[2] 즉, $$W(x)e^{W(x)}=x$$이다.
이 함수는 절대로 초등함수로 나타낼 수 없는데, 동일한 수로 곱과 지수가 엉켜 있는 형태이기 때문.
게다가 $$y = xe^x$$가 $$x = -1$$에서 극솟값 및 최솟값 $$-e^{-1}$$을 나타내므로, 람베르트 $$W$$ 함수는 기본적으로 음함수이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 $$y = -1$$을 기점으로 $$W_{-1}(x)$$[* 정의역: [math([-e^{-1}, \,0))]]와 $$W_0(x)$$[* 정의역: [math([-e^{-1},\, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉 $$W(x)$$로 이르는 것은 실제로는
인 셈이다.
아래는 람베르트 $$W$$ 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다.
[image]
$$W_0(x)$$은 매클로린 전개를 이용하여 무한급수로 나타낼 수 있는데 다음과 같다.
한편, $$xe^x = 1$$, 즉 $$W_0(1)$$을 오메가 상수라고 하며 $$\Omega$$로 나타낸다. 위 무한급수 식에 $$x=1$$을 대입하면 얻을 수 있고, 구체적인 값은 약 0.567143이다.
일반화된 버전으로 $$W_n(x)$$가 있는데, $$n$$이 $$-1$$, [math(0)]이 아닌 경우 무조건 복소수 값을 띤다. 심지어 $$n$$이 $$-1$$, [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[4]를 벗어나면 복소수가 된다.
1.1. 미적분
이 함수의 미분은 $$x = W(x)e^{W(x)}$$를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면
로 쓸 수 있다. 그런데 $$x = W(x) e^{W(x)}$$으로부터
이므로
으로 쓸 수 있음에 따라
을 얻는다. 단, $$x=-e^{ -1 }$$에서는 미분 가능하지 않으며, $$x=0$$에서는 치환 전의 식에 따라 $$W'(0)=1$$을 얻을 수 있다.
부정적분을 구할 때는 부분적분법을 이용하면 된다.
중간 과정에서 미분할 때 썼던 몇몇 공식을 이용했다.
1.2. 알려진 값
- $$W\left( -\dfrac\pi2 \right) = \dfrac{i\pi}2$$
- $$W\left(-\dfrac1e\right)=-1$$
- $$W\left( -\dfrac{\ln a}a \right) = -\ln a \quad (e^{-1} \le a \le e)$$
- $$W(0)=0$$
- $$W(1) \equiv \Omega$$: 이 값을 오메가 상수라 한다.
- $$W(e)=1$$
2. 활용
2.1. 방정식의 해 구하기 1
이 문단에서는 방정식 [math(x^x=a)]의 해를 람베르트 $$W$$ 함수로 구해보도록 하자.
양변에 자연로그를 씌우면,
이다. $$x = e^{\ln x}$$ 이므로 위 식은 $$e^{\ln x}\ln x = \ln a$$ 로 변하는데, 이 때 람베르트 $$W$$ 함수를 양변에 취하면 정의에 따라
이고, 식을 정리하면
를 얻는다.[5]
위 결과를 본 방정식에 대입하면
가 되므로 답과 일치한다.
2.2. 방정식의 해 구하기 2
이 문단에서는 $$a^x = bx+c$$의 해를 람베르트 $$W$$ 함수로 구해보자.
$$z = bx+c$$으로 놓으면,
가 되고, 대입하면 $$a^{{(z-c)}/b} = z$$, 양 변에 $$a^{ c/b}$$를 곱하면
가 된다. 여기서 상수를 각각 $$a^{1/b} \equiv p$$, $$a^{ c/b} \equiv q$$로 치환#s-2.1하자.
$$t = p^z \to z = \log_pt$$로 놓으면,
가 되고 이 식을 변형하면
가 된다. 이제 양변에 $$-1/t$$제곱을 취하면
가 된다. 이 때, $$1/t \equiv u$$로 치환해주면,
로, 바로 윗 문단에서 푼 $$x^x = a$$ 꼴이 되었다. $$u$$에 대해 풀고 치환 했던 문자들을 정리하면, $$x$$에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
3. 관련 문서
[1] 정의가 로그함수($$x = e^y$$)와 유사하다.[2] 예를 들어서 $$x=e$$라고 한다면 $$e=ye^y$$를 만족하는 $$y$$의 값은 $$y=1$$이므로 $$y=W(e)=1$$이 된다.[3] $${\bf1}_{\mathbb R}$$은 실수 판별 함수이다. 실수이면 $$1$$, 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서 함숫값이 실수가 아닐 경우 정의역에서 제외된다.[4] $$n=-1$$인 경우 $$-e^{-1} \le x < 0$$, $$n=0$$인 경우 $$x \ge -e^{-1}$$[5] 이 때, $$e^{W(\ln a)}$$를 $$a$$의 초제곱근(Super-root)이라고 한다.