소수 계량 함수
Prime-counting function
1. 개요
'소수 계량 함수' 줄여서 그냥 '소수 함수'라고 부르기도 한다. '소수 세기 함수'라는 표현을 사용하기도 한다.
일반적으로 prime number의 머릿글자 p에 해당하는 그리스 문자 파이$$(\pi)$$를 써서 $$\pi(x)$$로 표시한다. 다만, 원주율과는 무관하다.
즉, $$\pi(x)=\left\|\mathbb{P}\cap[1,\,x]\right\|$$ ($$x\in\mathbb{N}$$이고, $$\mathbb{P}$$는 소수의 집합)이다. $$[1,\,x]$$는 $$1$$에서 $$x$$까지의 폐구간 집합이다. 우변의 $$\left\|\cdot\right\|$$는 원소의 개수를 세는 것(노름)을 뜻한다.
달리 표현하면 다음과 같다.
$$\displaystyle \pi(x)=\sum_{n=1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)=\int_{1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)\mathrm{d}\lfloor n\rfloor$$
위 식에서 $$\bold{1}_{\mathbb P}(n)$$는 소수 판별 함수, $$\lfloor n\rfloor$$는 최대 정수 함수이다.
$$2$$보다 작거나 같은 소수는 $$2$$ 하나뿐이므로 $$\pi(2)=1$$이고, $$3$$보다 작거나 같은 소수는 $$2$$, $$3$$으로 2개이므로 $$\pi(3)=2$$이다.
소수의 특성상 일반항을 대수적으로 전개할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다. 다만 다른 초월함수와는 달리 연속함수가 아니므로[1] '''미분 불가능'''하나, 증가함수이므로 일단 적분은 가능하다.
1.1. 변형
쌍둥이 소수에 등장하는 하디-리틀우드 추측에서는 이를 약간 변형한 함수를 사용했는데, $$x$$ 보다 '작은' 소수의 개수이다.
만약 $$x$$가 합성수라면 $$\pi(x)=\pi_2(x)$$이며, $$x$$가 소수라면 $$\pi(x)-1=\pi_2(x)$$가 된다.
따라서 다음 등식이 성립한다.
2. 소수 정리
이 소수 계량 함수가 $$\displaystyle \frac{x}{\ln x}$$에 근사한다는 것이 소수 정리이다.
참고로, 이후에는 $$\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t$$라는 근사식[2]으로 갈음되었다. 이 둘은 동치라는 것이 증명되었고, 로그 적분 함수가 실제로 좀 더 근사값에 가까우며 다루기 쉽다는 이유로 대체되었다.
이 소수 정리를 파고 들면 정수론의 최종 보스인 리만 가설에 도달하게 된다.
3. 성질
$$n$$번째 소수 $$p_n$$에 대해 $$\pi(p_n)=n$$이다.
4. 스큐스 수
소수 계량 함수와 관련된 큰 수로는 스큐스 수라는 것이 있다. 해당 항목 참조.