아인슈타인 합 규약

 


1. 개요
2. 규칙
3. 기타
4. 예시


1. 개요


아인슈타인 합 규약(Einstein notation/Einstein summation convention)은 주로 상대성 이론에서 사용되는 선형대수학의 표기를 쉽게 하기 위해 알베르트 아인슈타인이 1916년에 고안해낸 표기법이다.

2. 규칙


예를 들어, 다음과 같은 $$ 3 \times 3 $$ 행렬 $$ \mathrm{A} $$와 $$ 3 \times 1 $$ 행벡터 $$ \mathbf{x}, \mathbf{y} $$를 생각하자.
$$ \mathrm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} , \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} $$
(단, $$ x^i $$는 x의 i제곱이라는 뜻이 아니고 그냥 첨자를 위에 붙인 것이다.)
이때 행렬 곱을 이용한 식 $$ \mathbf{y} = \mathrm{A} \mathbf{x} $$를 성분별로 표시하고 싶다면, 다음과 같은 식으로 표현하면 된다.
$$ \displaystyle y_i = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x^j \quad (i = 1,2,3)$$
예를 들어, $$ i = 2 $$일 때 $$ y_2 = a_{21} x^1 + a_{22} x^2 + a_{23} x^3 $$이다. 여기서 아인슈타인 합 규약의 핵심은 '''시그마 기호'''와 $$ (i=1,2,3) $$를 생략하는 것이다. 상대성 이론의 수식들은 이러한 합 기호가 너무 많이 등장해서 일일히 다 쓰기에는 시간낭비이기 때문이다. 따라서 아인슈타인 합 규약을 이용하여 위 식을 쓰면 다음과 같다.
$$ \displaystyle y_i = a_{ij} x^j $$
이렇게 하면 행렬의 곱을 문자 단 3개와 첨자로 짧게 나타낼 수 있으며, 시그마 기호는 생략되어 있다. 구체적으로 아인슈타인 합 규약의 규칙은 다음과 같다.
1. 하나의 항 안에 같은 문자로 된 위 첨자와 아래 첨자가 존재한다면(예: $$ a_i b^i $$), 합 기호 $$ \displaystyle \sum_{i=1}^3 $$가 생략된 것으로 본다. 이러한 문자 $$ i $$를 dummy index라고 한다.
2. 하나의 항 안에 위 첨자와 아래 첨자가 짝을 이루지 않고 하나만 존재한다면(예: $$ x_i = y_i $$), 이는 $$ i=1,2,3 $$을 대입해서 만들 수 있는 3개의 등식을 한번에 쓴 것이다. 이러한 문자 $$ i $$는 free index라고 한다.
또한 규칙에 따르면 $$ y_k = a_{ij} x^j $$와 같은 식은 좌변의 k와 우변의 i의 문자가 서로 다르므로 의미가 없다. 따라서 free index는 양변에 같이 존재해야만 한다.

3. 기타


  • 상대성 이론에서는 보통 첨자를 알파벳으로 쓰면 1~3까지 더하고, 그리스 문자 첨자는 0~3까지 더하는 것을 의미한다. 따라서 $$ a_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 $$이지만 $$ x_\mu^\mu = x_0^0 + x_1^1 + x_2^2 + x_3^3 $$이다.
  • 미분연산자의 분모에는 위 첨자가 들어가더라도 아래 첨자로 간주한다. 예를 들어 $$ \displaystyle a^i \frac{\partial}{\partial x^i} $$는 분모에 $$i$$가 위 첨자로 들어가 있지만 $$ i $$에 대한 합을 계산해야 한다. [1]
  • 반변벡터는 주로 위첨자, 공변벡터는 주로 아래첨자를 사용한다.

4. 예시


내적 $$ \mathbf{a \cdot b } = a^i b_i $$
$$ \displaystyle {df \over dt} = {df \over dx^i} {dx^i \over dt} $$

[1] 이는 contravariant(위 첨자)에 대한 미분 그 자체는 covariant(아래 첨자)로 볼 수 있기 때문이다.