아인슈타인 합 규약
1. 개요
아인슈타인 합 규약(Einstein notation/Einstein summation convention)은 주로 상대성 이론에서 사용되는 선형대수학의 표기를 쉽게 하기 위해 알베르트 아인슈타인이 1916년에 고안해낸 표기법이다.
2. 규칙
예를 들어, 다음과 같은 $$ 3 \times 3 $$ 행렬 $$ \mathrm{A} $$와 $$ 3 \times 1 $$ 행벡터 $$ \mathbf{x}, \mathbf{y} $$를 생각하자.
(단, $$ x^i $$는 x의 i제곱이라는 뜻이 아니고 그냥 첨자를 위에 붙인 것이다.)
이때 행렬 곱을 이용한 식 $$ \mathbf{y} = \mathrm{A} \mathbf{x} $$를 성분별로 표시하고 싶다면, 다음과 같은 식으로 표현하면 된다.
예를 들어, $$ i = 2 $$일 때 $$ y_2 = a_{21} x^1 + a_{22} x^2 + a_{23} x^3 $$이다. 여기서 아인슈타인 합 규약의 핵심은 '''시그마 기호'''와 $$ (i=1,2,3) $$를 생략하는 것이다. 상대성 이론의 수식들은 이러한 합 기호가 너무 많이 등장해서 일일히 다 쓰기에는 시간낭비이기 때문이다. 따라서 아인슈타인 합 규약을 이용하여 위 식을 쓰면 다음과 같다.
이렇게 하면 행렬의 곱을 문자 단 3개와 첨자로 짧게 나타낼 수 있으며, 시그마 기호는 생략되어 있다. 구체적으로 아인슈타인 합 규약의 규칙은 다음과 같다.
또한 규칙에 따르면 $$ y_k = a_{ij} x^j $$와 같은 식은 좌변의 k와 우변의 i의 문자가 서로 다르므로 의미가 없다. 따라서 free index는 양변에 같이 존재해야만 한다.
3. 기타
- 상대성 이론에서는 보통 첨자를 알파벳으로 쓰면 1~3까지 더하고, 그리스 문자 첨자는 0~3까지 더하는 것을 의미한다. 따라서 $$ a_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 $$이지만 $$ x_\mu^\mu = x_0^0 + x_1^1 + x_2^2 + x_3^3 $$이다.
- 미분연산자의 분모에는 위 첨자가 들어가더라도 아래 첨자로 간주한다. 예를 들어 $$ \displaystyle a^i \frac{\partial}{\partial x^i} $$는 분모에 $$i$$가 위 첨자로 들어가 있지만 $$ i $$에 대한 합을 계산해야 한다. [1]
- 반변벡터는 주로 위첨자, 공변벡터는 주로 아래첨자를 사용한다.
4. 예시
내적 $$ \mathbf{a \cdot b } = a^i b_i $$
$$ \displaystyle {df \over dt} = {df \over dx^i} {dx^i \over dt} $$
[1] 이는 contravariant(위 첨자)에 대한 미분 그 자체는 covariant(아래 첨자)로 볼 수 있기 때문이다.