야코비 타원 함수

 


1. 개요
2. 정의
3. 타원과의 관계
4. 관련 공식
5. 기타
6. 관련 문서


1. 개요


'''야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)'''는 타원 적분에 관련된 함수의 일종으로, 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi; 1804 ~ 1851)가 1829년 자신의 저서 ''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum''에서 소개한 함수이다.

2. 정의


우리는 sine의 역함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \phi \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}} }\,\mathrm{d}t=\sin^{-1}{\xi} $$
이와 비슷하게, 다음과 같은 정의를 할 수 있다.

$$\displaystyle u \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,\mathrm{d}t \equiv \mathrm{sn}^{-1}\,{\xi} $$
따라서

$$\displaystyle \mathrm{sn}\,u =\xi=\sin{\phi} $$
임을 알 수 있고, $$\mathrm{sn}\,u$$를 '''야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)'''라 한다.("에스엔"이라 읽는다.) 보통은 $$k$$를 밝혀

$$\displaystyle \xi=\mathrm{sn}(u;k) $$
로 표기한다.
또한, 다른 '''야코비 타원 함수'''는

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{cn}(u;k) &\equiv \cos{\phi} \\ &=\sqrt{1-\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1- \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-\xi^{2}} \\ \\ \mathrm{dn}(u;k) &\equiv \frac{1}{(\mathrm{d}u/\mathrm{d}\phi)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\, \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}} \end{aligned} $$
로 정의된다. 위와 마찬가지로 각각 "씨엔", "디엔"으로 읽는다.
이상을 정리하면 아래의 표와 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} u &\equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}}}\,\mathrm{d}t \\&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}}\,\mathrm{d}\theta \end{aligned}$$
$$\mathrm{sn}(u;k)$$
$$\xi=\sin{\phi}$$

$$\mathrm{cn}(u;k)$$
$$\sqrt{1-\xi^{2}}=\cos{\phi}$$
$$\sqrt{1-\mathrm{sn}^{2}\,(u;k)}$$
$$\mathrm{dn}(u;k)$$
$$\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}}=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}}$$
$$\sqrt{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,(u;k)}$$
위의 야코비 타원 함수들은 주기성을 가지며, 실수 영역에서, 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;k)&=\mathrm{sn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{cn}(u;k)&=\mathrm{cn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{dn}(u;k)&=\mathrm{dn}\,(u+2K(k);k) \end{aligned} $$
$$K(k)$$는 위에서 봤던 완전 제1종 타원 적분이다.
아래는 $$k^{2}=0.5$$일 때, 야코비 타원 함수의 그래프이다.
[image]

3. 타원과의 관계


삼각함수 자체가 과 관련되어, 반지름 $$r$$인 원에 대하여 그 원 위의 점 $$(x,\,y)$$은

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \end{aligned} $$
의 관계를 가지고 있듯, 야코비 타원 함수또한 유사하게 $$y$$축 위에 긴 반지름이 있고, 꼭짓점 한 좌표값 $$a=1$$인 타원[1]에서 유사한 관계를 생각해볼 수 있다.
야코비 타원 함수에서는 위에서 보았듯, $$u$$라는 것을 변수로 쓰는데 위에서 언급했듯, 야코비 타원 함수는 타원

$$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad (b \geq 1) $$
[1] $$x$$축 위에 긴 반지름이 있는 타원에서도 생각할 수 있으나 $$y$$축 위에 긴 반지름이 있는 경우가 훨씬 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 이것을 사용했다.
에서 정의된다고 했고, 극좌표계로 변환하여 해당 타원 위의 점 $$(x,\,y)$$에 대하여

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \\ r&=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi} }} \qquad \left( k \equiv \sqrt{1-\frac{1}{b^{2} }} \right) \end{aligned} $$
로 쓸 수 있다. 여기서 $$k$$는 해당 타원의 이심률이고, $$0 \leq k \leq 1$$을 만족한다. 그런데

$$\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\ &=\int_{0}^{\phi} r\, \mathrm{d}\theta \end{aligned} $$
으로 곧 $$u$$는 각 $$\phi$$에 대응되는 반지름 $$r$$의 원의 미소 호의 길이의 합을 $$0 \leq \theta \leq \phi$$ 범위 내에서 모두 더한 것을 의미한다. $$u$$의 역함수로써 amplitude라는 함수를 정의하기도 하는데

$$\displaystyle \phi \equiv \mathrm{am}(u;k) $$
로 쓴다.
본격적으로 야코비 타원 함수을 분석하기 전에 한 가지 정의를 하고자 한다. 점 $$(x',\,y')$$은 단위원 위의 점이며, $$(x,\,y)$$는 (야코비 타원 함수를 정의하는) 타원 위의 점이다. 또한 $$r$$은 해당 타원을 극좌표계로 변환했을 때의 반지름을 말한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{y'} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}t^{2}}\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \\ &=\mathrm{sn}^{-1}\,y' \end{aligned} $$
로 쓸 수 있고, 여기서 $$y'=\sin{\phi}$$이다. 즉,

$$\displaystyle y'=\mathrm{sn}\,u $$
임을 알 수 있다. 계속해서 위에서 정의했던 $$\mathrm{cn}\,u$$, $$\mathrm{dn}\,u$$에 대해서도 해보면 결과적으로 아래와 같은 결과를 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} y'&=\mathrm{sn}\,u =\sin{\phi} \\ x'&=\mathrm{cn}\,u =\cos{\phi} \\ r^{-1}&=\mathrm{dn}\,u \end{aligned} $$
이 결과를 시각화한 결과가 아래 그림에 나타내져 있다.
[image]
직각삼각형의 닮음을 이용하면 결국 타원에 대하여

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\,\mathrm{cn}\,u \\y&=r\,\mathrm{sn}\,u \\ r&=\frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \end{aligned} $$
임을 얻는다.

4. 관련 공식


'''[1] $$\boldsymbol{k \to 0}$$일 때, 야코비 타원 함수'''

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;0)&=\sin{u} \\ \mathrm{cn}(u;0)&=\cos{u} \\ \mathrm{dn}(u;0)&=1 \end{aligned} $$
즉, 이 경우는 야코비 타원 함수는 삼각함수와 같은 것을 알 수 있다.
'''[2] $$\boldsymbol{k \to 1}$$일 때, 야코비 타원 함수'''

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;1)&=\tanh{u} \\ \mathrm{cn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \\ \mathrm{dn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \end{aligned} $$
'''[3] 야코비 타원 함수에 대한 항등식'''

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \\ k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{dn}^{2}\,u&=1 \\ \mathrm{dn}^{2}\,u-k^{2}\,\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \end{aligned} $$
(매개변수 $$k$$는 표기에서 생략했다.)
'''[4] 야코비 타원 함수의 덧셈 공식'''

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}+\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{cn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}-\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{dn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \end{aligned} )]
(매개변수 $$k$$는 표기에서 생략했다.)
'''[5] 야코비 타원 함수의 미분'''

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{sn}\,u)&=\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{cn}\,u)&=-\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{dn}\,u)&=-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u \end{aligned} $$
(매개변수 $$k$$는 표기에서 생략했다.)
'''[6] 야코비 타원 함수의 보조 함수'''
세 야코비 타원 함수 $$\mathrm{sn}\,u$$, $$\mathrm{cn}\,u$$, $$\mathrm{dn}\,u$$의 비로 정의되는 보조 함수들이 존재하며, 각 정의는 아래와 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ns}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{nc}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{nd}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{sc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{cs}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{sd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{ds}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{cd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{dc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \end{aligned} $$
(매개변수 $$k$$는 표기에서 생략했다.)

5. 기타


  • 야코비 타원 함수는 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다를 수 있다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기를 어떻게 하는 지를 주의깊게 살펴본 후 써야 한다.
    • 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 $$k^{2} \equiv m$$을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.

6. 관련 문서