야코비 타원 함수
1. 개요
'''야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)'''는 타원 적분에 관련된 함수의 일종으로, 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi; 1804 ~ 1851)가 1829년 자신의 저서 ''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum''에서 소개한 함수이다.
2. 정의
우리는 sine의 역함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle \phi \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}} }\,\mathrm{d}t=\sin^{-1}{\xi} $$
$$\displaystyle u \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,\mathrm{d}t \equiv \mathrm{sn}^{-1}\,{\xi} $$
$$\displaystyle \mathrm{sn}\,u =\xi=\sin{\phi} $$
$$\displaystyle \xi=\mathrm{sn}(u;k) $$
또한, 다른 '''야코비 타원 함수'''는
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{cn}(u;k) &\equiv \cos{\phi} \\ &=\sqrt{1-\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1- \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-\xi^{2}} \\ \\ \mathrm{dn}(u;k) &\equiv \frac{1}{(\mathrm{d}u/\mathrm{d}\phi)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\, \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}} \end{aligned} $$
이상을 정리하면 아래의 표와 같다.
위의 야코비 타원 함수들은 주기성을 가지며, 실수 영역에서, 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;k)&=\mathrm{sn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{cn}(u;k)&=\mathrm{cn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{dn}(u;k)&=\mathrm{dn}\,(u+2K(k);k) \end{aligned} $$
아래는 $$k^{2}=0.5$$일 때, 야코비 타원 함수의 그래프이다.
[image]
3. 타원과의 관계
삼각함수 자체가 원과 관련되어, 반지름 $$r$$인 원에 대하여 그 원 위의 점 $$(x,\,y)$$은
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \end{aligned} $$
야코비 타원 함수에서는 위에서 보았듯, $$u$$라는 것을 변수로 쓰는데 위에서 언급했듯, 야코비 타원 함수는 타원
$$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad (b \geq 1) $$
[1] $$x$$축 위에 긴 반지름이 있는 타원에서도 생각할 수 있으나 $$y$$축 위에 긴 반지름이 있는 경우가 훨씬 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 이것을 사용했다.
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \\ r&=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi} }} \qquad \left( k \equiv \sqrt{1-\frac{1}{b^{2} }} \right) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\ &=\int_{0}^{\phi} r\, \mathrm{d}\theta \end{aligned} $$
$$\displaystyle \phi \equiv \mathrm{am}(u;k) $$
본격적으로 야코비 타원 함수을 분석하기 전에 한 가지 정의를 하고자 한다. 점 $$(x',\,y')$$은 단위원 위의 점이며, $$(x,\,y)$$는 (야코비 타원 함수를 정의하는) 타원 위의 점이다. 또한 $$r$$은 해당 타원을 극좌표계로 변환했을 때의 반지름을 말한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{y'} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}t^{2}}\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \\ &=\mathrm{sn}^{-1}\,y' \end{aligned} $$
$$\displaystyle y'=\mathrm{sn}\,u $$
$$\displaystyle \begin{aligned} y'&=\mathrm{sn}\,u =\sin{\phi} \\ x'&=\mathrm{cn}\,u =\cos{\phi} \\ r^{-1}&=\mathrm{dn}\,u \end{aligned} $$
[image]
직각삼각형의 닮음을 이용하면 결국 타원에 대하여
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\,\mathrm{cn}\,u \\y&=r\,\mathrm{sn}\,u \\ r&=\frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \end{aligned} $$
4. 관련 공식
'''[1] $$\boldsymbol{k \to 0}$$일 때, 야코비 타원 함수'''
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;0)&=\sin{u} \\ \mathrm{cn}(u;0)&=\cos{u} \\ \mathrm{dn}(u;0)&=1 \end{aligned} $$
'''[2] $$\boldsymbol{k \to 1}$$일 때, 야코비 타원 함수'''
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;1)&=\tanh{u} \\ \mathrm{cn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \\ \mathrm{dn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \\ k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{dn}^{2}\,u&=1 \\ \mathrm{dn}^{2}\,u-k^{2}\,\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \end{aligned} $$
'''[4] 야코비 타원 함수의 덧셈 공식'''
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}+\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{cn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}-\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{dn}\,(u_{1}+u_{2})&=\frac{\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \end{aligned} )]
'''[5] 야코비 타원 함수의 미분'''
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{sn}\,u)&=\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{cn}\,u)&=-\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{dn}\,u)&=-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u \end{aligned} $$
'''[6] 야코비 타원 함수의 보조 함수'''
세 야코비 타원 함수 $$\mathrm{sn}\,u$$, $$\mathrm{cn}\,u$$, $$\mathrm{dn}\,u$$의 비로 정의되는 보조 함수들이 존재하며, 각 정의는 아래와 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ns}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{nc}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{nd}\,u &\equiv \frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{sc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \\ \\ \mathrm{cs}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{sd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{ds}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\ \\ \mathrm{cd}\,u &\equiv \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} \\ \\ \mathrm{dc}\,u &\equiv \frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \end{aligned} $$
5. 기타
- 야코비 타원 함수는 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다를 수 있다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기를 어떻게 하는 지를 주의깊게 살펴본 후 써야 한다.
- 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 $$k^{2} \equiv m$$을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.