타원
1. 개요
ellipse, oval · 楕圓
기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 수학적 정의는
이다. 그러므로 원 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.
원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다.
2. 상세
2.1. 타원의 방정식
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.
- 방정식: $$\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} $$
- 그래프
- $$a>b>0$$일 때
[image]
- $$b>a>0$$일 때
[image]
- 조건: $$\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=\textsf{const.}$$
- 중심의 좌표: $$\mathrm{C}(x_{0},\,y_{0})$$
- 초점의 좌표
- $$a>b>0$$일 때: $$\mathrm{F}(\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0})$$, $$\mathrm{F'}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0})$$
- $$b>a>0$$일 때: $$\mathrm{F}(x_{0},\,\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0})$$, $$\mathrm{F'}(x_{0},\,-\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0})$$
- 꼭짓점의 좌표: $$\mathrm{A}(a+x_{0},\,y_{0})$$, $$\mathrm{A'}(-a+x_{0},\,y_{0})$$, $$\mathrm{B}(x_{0},\,b+y_{0})$$, $$\mathrm{B'}(x_{0},\,-b+y_{0})$$
- 긴 반지름의 길이
- $$a>b>0$$일 때: $$a$$
- $$b>a>0$$일 때: $$b$$
- 짧은 반지름의 길이
- $$a>b>0$$일 때: $$b$$
- $$b>a>0$$일 때: $$a$$
- 중심이 원점인 타원 $$\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1}$$ 위의 점 $$\boldsymbol{(x_{1},\,x_{2})}$$ 위를 지나는 접선의 방정식: $$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 $$
- 중심이 원점인 타원 $$\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1}$$의 기울기 $$\boldsymbol{m}$$의 접선: $$\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} $$
2.1.1. 유도
[image]
우리는 우선적으로 가장 간단한 경우를 보고자한다. 즉, 타원의 중심이 원점이고, 두 '''초점(Foci)'''[1]이 $$x$$축 위에 있는 경우를 보자. 그림과 같이 두 초점이 $$\mathrm{F}(c,\,0)$$, $$\mathrm{F'}(-c,\,0)$$이고, '''꼭짓점(Vertex[2], Co-vertex[3])'''이 $$\mathrm{A}(a,\,0)$$, $$\mathrm{A'}(-a,\,0)$$, $$\mathrm{B}(0,\,b)$$, $$\mathrm{B'}(0,\,-b)$$인 타원을 고려해보자. 타원의 정의에 따라 $$\overline{\mathrm{F'P}}+\overline{\mathrm{FP}}$$는 일정해야하고, 타원 위의 점 $$\mathrm{P}$$가 $$\mathrm{A}$$위에 있다면, 그 길이는 $$2a$$가 돼야 하므로,
$$\displaystyle \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a $$
$$\displaystyle \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} $$
$$\displaystyle cx+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} $$
$$\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$$
$$\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2} $$
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$
$$\displaystyle 0<b<a $$
만약, 중심이 원점이며, 초점이 $$y$$축에 있고, $$\mathrm{F}(0,\,c)$$, $$\mathrm{F'}(0,\,-c)$$이며, 타원의 꼭짓점이 $$\mathrm{A}(a,\,0)$$, $$\mathrm{A'}(-a,\,0)$$, $$\mathrm{B}(0,\,b)$$, $$\mathrm{B'}(0,\,-b)$$인 타원을 고려하면, 위와 같은 논법으로 타원의 방정식은 다음이 됨을 보일 수 있다.
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$
$$\displaystyle 0<a<b $$
$$\displaystyle a^{2}=b^{2}-c^{2} $$
두 경우 모두 타원의 중심이 $$(x_{0},\,y_{0})$$에 있다면, $$x$$축으로 $$x_{0}$$만큼, $$y$$축으로 $$y_{0}$$만큼 평행이동하면 되므로, 방정식은 아래와 같이 된다.
$$\displaystyle \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 $$
한편, 위와 같은 방정식 형태를 '''표준형'''이라 한다.
2.1.2. 일반형
타원의 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
$$\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 $$
2.1.3. 긴 반지름과 짧은 반지름
타원의 중심과 두 초점을 지나는 유일한 선분을 '''긴 지름(Major axis)'''이라고 한다. 그럴 때, 이 긴 지름으로부터 중심까지의 절반이 되는 선분을 '''긴 반지름(Semi-major axis)'''이라고 한다. 간단하게 말하자면 타원의 중심에서 타원까지의 가장 먼 거리라고도 할 수 있다.[4] 긴 반지름과는 반대로, '''짧은 반지름(Semi-minor axis)'''은 타원의 중심에서 타원까지 이르는 가장 짧은 길이의 선분을 의미한다.[5] 아래의 그림을 참조하자:
[image]
2.1.4. 이심률
타원의 '''이심률(Eccentricity)'''은 타원이 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 수치화한 양으로 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle k=\sqrt{1-\frac{r_{\text{min}}^{2}}{r_{\text{max}}^{2} }}=\frac{r_{\text{focus}} }{ r_{\text{max}} }$$
타원은 일반적으로 $$0 <k<1$$의 이심률을 갖고, $$k \to 0$$일 때 타원은 원에 가까워지며, $$k \to 1$$일 때, 타원은 포물선 둘을 이어 붙인 모습에 가까워 진다.
2.1.5. 양함수 형태
우리가 유도한 타원의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 형태로 바꾸면, 미적분 등의 연산을 할 수 있게 된다. 양함수 형태로 바꾸게 되면, 아래와 같이 나오게 된다.
$$\displaystyle y=\pm \sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}(x-x_{0})^{2}}{a^{2} }}+y_{0} $$
[image]
2.1.6. 매개변수 방정식
[image]
위와 같이 원 $$C_{1}\, : \, x^{2}+y^{2}=b^{2}$$과 $$C_{2}\, : \, x^{2}+y^{2}=a^{2}$$를 고려하자.[6]이다. 원점에서 그은 한 직선과 각 원이 만나는 점을 $$\mathrm{Q,\,R}$$이라 하자. 이때, 점 $$\mathrm{R}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라 하고, 점 $$\mathrm{Q}$$에서 선분 $$\mathrm{RH}$$에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{P}$$라 하자. 이때, $$\mathrm{\angle QOH \equiv \theta}$$라 하면, 점 $$\mathrm{P}$$의 좌표는
$$\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} $$
[6] 우리는 $$a>b>0$$인 경우를 다루나, 그 반대의 경우로 성립한다.
$$\displaystyle \cos{\theta}=\frac{x}{a} \qquad \qquad \sin{\theta}=\frac{y}{b} $$
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1 $$
$$\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} $$
각각의 좌표가 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환했을 때 각각의 좌표의 표현법과 유사하기 때문에 혼동하기 쉬우나 사용한 매개변수인 각이 극좌표계의 각(angle) 변수(즉, 위 그림에서 $$\angle \rm POH$$.)와 동일한 것이라 생각하면 안된다. 극좌표계에서 각각의 변수를 어떻게 정의했는지 생각해보면 왜 그런지 알 수 있다. 그렇기 때문에 극좌표계에서 다시 직교 좌표계로 변환했을 땐 이 문단의 결과가 나오지 않으므로 반드시 주의하여야 한다.(바로 아래 문단을 보라.)
2.1.7. 극 좌표계에서 중심이 원점에 있는 타원의 표현
타원
$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \frac{r^2\cos^{2}{\theta}}{a^2}+\frac{r^2\sin^{2}{\theta}}{b^2}=1 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{a^2}{b^2} \right )\sin^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{b^2}{a^2} \right )\cos^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} $$
$$\displaystyle k=\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{a^2}{b^2}} \qquad &(0<a<b) \\ \\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \qquad &(0<b<a) \end{cases} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} [ 1-k^{2}\sin^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} [ 1-k^{2}\cos^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} r&=\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<a<b) \\ r&=\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} $$
이상의 결과를 타원
$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$
- $$\boldsymbol{0
- 극 좌표계에서의 표현
- 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환
- $$\boldsymbol{0
- 극 좌표계에서의 표현
- 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환
2.1.8. 원의 선형 변환에서의 유도
사실상 타원은 원을 $$x$$축과 $$y$$축으로 일정 배만큼 늘린 것이라고도 볼 수 있다. 이를테면, 좌표평면 상 중심이 원점이고, 반지름이 1인 원의 방정식은
$$\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 $$
$$\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &0 \\ 0& b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} $$
$$\displaystyle x=\frac{x'}{a} \qquad \qquad y=\frac{y'}{b} $$
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$
2.2. 타원의 넓이와 둘레
2.2.1. 넓이
우리는 위에서 타원을 $$\theta$$에 대한 매개변수 방정식으로
$$\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) $$
따라서 타원의 넓이는 면적소 $$dA=y\,dx$$를
$$\displaystyle \int y\,dx $$
$$\displaystyle y\,dx=-ab \sin^{2}{\theta} d\theta$$
$$\displaystyle 2ab\int_{0}^{\pi} \sin^{2}{\theta} \, d\theta=ab \pi $$
2.2.2. 둘레
우리는 위에서 타원을 $$\theta$$에 대한 매개변수 방정식으로
$$\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) $$
$$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2} }\,d\theta $$
$$\displaystyle 4 \int_{0} ^{\pi/2} \sqrt{ a^{2} \sin^{2}{\theta} +b^{2} \cos^{2}{\theta} }\,d\theta $$
[math(\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 4a\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta}}\,d\theta
\qquad & (0
$$\displaystyle E(k) \equiv \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d \theta $$
$$\displaystyle 4r_{\text{max}} E(k) $$
2.2.2.1. 타원 적분
2.3. 타원과 직선
2.3.1. 타원과 직선의 위치 관계
우리는 임의의 직선
이 타원
$$\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} $$
3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:
- 판별식의 부호가 양이다 : 타원과 직선은 두 점에서 만난다.
- 판별식이 0이다 : 타원과 직선은 접한다.(즉, 타원과 직선은 한 점에서 만난다.)
- 판별식의 부호가 음이다 : 타원과 직선은 만나지 않는다.
[image]
2.3.2. 타원의 접선
2.3.2.1. 타원 위의 점을 지나는 접선의 방정식
우리는 문제 상황을 쉽게 하기 위해 우선은 타원의 중심이 원점인 경우를 먼저 다루자. 타원 위의 접선의 기울기는 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있다.
$$\displaystyle \frac{2x}{a^{2}} +\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y} $$
$$\displaystyle -\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}} $$
$$\displaystyle y-y_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) $$
$$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}= \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} $$
$$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1$$
$$\displaystyle \frac{(x-x_{0})(x_{2}-x_{0})}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})(y_{2}-y_{0})}{b^{2}}=1$$
2.3.2.2. 특정한 기울기의 접선의 방정식
우리가 구하는 접선을 $$y=mx+n$$ ($$m,\, n$$은 상수)으로 놓자. 이것을 타원의 식에 대입하고, 적절히 정리하면, 다음이 나온다.
$$\displaystyle (a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mnx+a^{2}(n^{2}-b^{2})=0 $$
$$\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$$
$$\displaystyle y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$$
$$\displaystyle y=m(x-x_{0})\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}+y_{0}$$
2.4. 기타 성질
2.4.1. 성질 1
[image]
위 그림과 같이 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0)$$와 두 초점 $$\rm F'$$, $$\rm F$$가 있고, 임의의 외부의 점 $$\rm A$$과 임의의 내부의 점 $$\rm B$$를 고려하자. 이때, $$\overline{\rm F'B}$$의 연장선상 혹은 $$\overline{\rm F'A}$$에는 타원 위의 점 $$\rm P$$가 있다. 단, 그림에서는 두 경우에 대하여 $$\rm P$$가 같은 것으로 묘사돼있지만 일반적으로는 다르다는 점에 유의한다.
이제 우리는 $$\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}$$, $$\overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}$$에 대해 탐구해보고자 한다.
'''[1] $$\overline{\rm \bf F'A}+\overline{\rm \bf FA}$$의 경우'''
$$\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF} $$
$$\displaystyle \overline{\rm FP}<\overline{\rm PA}+\overline{\rm FA} $$
$$\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}&>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \\&=2a \end{aligned} $$
'''[2] $$\overline{\rm \bf F'B}+\overline{\rm \bf FB}$$의 경우'''
$$\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}=\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF} $$
$$\displaystyle \overline{\rm BF}<\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF}&<\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} \\ &=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}&<\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \\&=2a \end{aligned} $$
이 문단에서는 특정한 타원의 경우에만 증명했지만 일반적인 타원에서도 성립한다. 위 결과를 요약하면 식으로
$$\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}<2r_{\text{max}}<\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA} $$
2.4.2. 성질 2
[image]
위 그림과 같이 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0)$$와 두 초점 $$\rm F'$$, $$\rm F$$가 있고, 해당 타원의 한 접선 $$l$$이 있다고 하자. 이때, $$\rm F'$$, $$\rm F$$에서 $$l$$에 내린 수선의 발을 각각 $$\rm A$$, $$\rm B$$라 할 때, 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=b^{2}$$
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}&=\frac{| -m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \overline{\rm FB}&=\frac{| m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \\ \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}&=\frac{| a^2 m^2+b^2-m^2(a^2-b^2) |}{m^2+1} \\&=\frac{|b^2||m^2+1|}{m^2+1} \\&=b^2 \end{aligned}$$
이 문단은 특정한 타원에 대해서 증명을 했지만 일반적으로
$$\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=r_{\min}^{2}$$
2.4.2.1. 성질 2의 부가 성질
[image]
위에서 증명한 두 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$은 위의 그림과 같이 한 원 $$x^2+y^2=a^2$$ 위에 있는데 더 일반적으로 말하면, 아래와 같이 정리된다.
이것을 증명하기 위해 한 초점에서 내린 수선의 발을 $${\rm C}(X,\,Y)$$라 명명하자. 우선 점 $${\rm C}(X,\,Y)$$는 타원의 한 접선 $$y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}$$위의 점이므로
$$\displaystyle Y=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \quad \to \quad Y-mX= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} $$
$$\displaystyle Y^{2}-2mXY+m^2 X^2=a^2 m^2+b^2$$
$$\displaystyle y=-\frac{x}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} $$
$$\displaystyle Y=-\frac{X}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} \quad \to \quad mY+X= \pm \sqrt{ a^2 -m^2 } $$
$$\displaystyle m^2 Y^2+2mXY+X^2=a^2 - b^2 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1) Y^2+(m^2+1)X^2&=(m^2+1)a^2 \\ X^2+Y^2&=a^2 \end{aligned} $$
2.4.3. 성질 3
[image]
위 그림과 같이 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0)$$을 고려하고, 외부의 점 $$\rm P$$에 대하여 $$\rm P$$에서 접선을 그었을 때, 두 접선 $$l_{1}$$, $$l_{2}$$가 점 $$\rm P$$에서 직교한다면, 점 $$\rm P$$의 자취는 원 $$x^2+y^2=a^2+b^2$$이다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
이것의 증명은 우선 접선 $$l_{1}$$, $$l_{2}$$의 방정식을 결정하는 것부터 시작된다. $$l_{1}$$의 기울기를 $$m$$이라 놓으면,
$$\displaystyle l_{1}:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} $$
$$\displaystyle l_{2}:\, y=-\frac{x}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y&=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,Y&=-\frac{X}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y-mX&= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,mY+X&= \pm \sqrt{a^2+b^2 m^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y^2-2mXY+m^2X^2&= a^2 m^2+b^2 \\ l_{2}:\,m^2 Y^2+2mXY+X^2&= {a^2+b^2 m^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1)X^2+(m^2+1)Y^2&=(m^2+1)a^2+(m^2+1)b^2 \\ X^2+Y^2&=a^2+b^2 \end{aligned} $$
2.4.4. 성질 4
[image]
위 그림과 같이 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0)$$을 고려하고, 타원 위의 한 점 $$\rm P$$를 지나는 접선 $$l$$과 원점을 통과하며, $$l$$과 평행한 직선과 타원과의 두 교점을 각각 $${\rm A}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm B}(x_{2},\,y_{2})$$라 하자. 이때, $$\triangle \rm PAB$$는 일정하다.
이것의 증명은 $$l$$의 기울기를 $$m$$이라 놓으면, $$l:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}$$이고, 직선 $$\rm AB$$의 방정식은 $$y=mx$$라 놓을 수 있다. 해당 직선과 타원의 방정식을 연립하면
$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2 x^2}{b^2}=1 \quad \to \quad \frac{m^2 a^2+b^2}{a^2 b^2}x^2-1=0 $$
$$\displaystyle x_{1}x_{2}=-\frac{a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} $$
$$\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{4a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} $$
$$\displaystyle (y_{1}-y_{2})^{2}=m^2(x_{1}-x_{2})^2 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AB}&=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \\&=\frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \triangle \rm PAB &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \cdot \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \\&=ab \end{aligned} $$
이 문단에서는 특정한 타원을 예로 들었지만 이는 일반적인 타원에서 성립한다.
2.4.4.1. 성질 4와의 유사 성질
타원이 하나 주어져 있고, 두 초점 $$\rm F$$, $$\rm F'$$과 타원 위의 임의의 점 $$\rm P$$에 대하여 삼각형 $$\rm PF'F$$가 직각삼각형이라면 그 넓이는 짧은 반지름의 제곱의 값으로 일정하게 된다.
[image]
이것의 예로 그림과 같이 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0)$$을 고려하여 증명하여보자.
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm FF'}&=2c \\ \overline{\rm FP}&=t \\ \overline{\rm F'P}&=s \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} t+s=2a \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} t^2+s^2=4c^2 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} 2ts&=(t+s)^2-(t^2+s^2) \\ &=4(a^2-c^2) \\ &=4b^2 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm PF'F}&=\frac{1}{2}ts \\ &=b^2 \end{aligned} $$
2.4.5. 성질 5: 타원의 광학적 성질
광학에서 빛은 반사한 표면에 대하여 입사각과 반사각이 같게 반사된다. 이 문단에서는 이러한 광학적 성질이 타원에선 어떻게 적용되는지 알아보고자 한다.
[image]
위 그림과 같이 초점이 각각 $$\rm F$$, $$\rm F'$$인 타원 고려하고, 타원 위의 임의의 점 $$\rm P$$와 그 위의 접선 $$l$$을 고려해보자. 만약 광선을 $$\rm F \to \rm P$$로 방사하여 $$\rm F'$$에 도달했다고 하자. 이때, 빛이 이 경로로 따름을 증명하려면 $$\angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ$$임을 증명하면 된다.[8]
점 $$\rm P$$가 아닌 접선 위의 임의의 점 $$\rm Q$$를 고려해보자. $$\rm Q$$가 $$\rm P$$가 아니기 때문에 $$\rm Q$$는 항상 타원의 외부에 위치한다. 따라서 성질 1에서 증명했던 바와 같이 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \overline{\rm F'Q}+\overline{\rm FQ}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} $$
[8] 다만 해당 각들이 각각 입사각, 반사각은 아님에 주의하여야 한다. 입사각과 반사각은 접선과 수직이면서 접점과 수직인 직선과 광선과의 각도를 측정함으로써 결정할 수 있다.
$$\displaystyle \overline{\rm F'R}+\overline{\rm FR} \geq \overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} $$
한편, 삼각형 $$\rm GPF$$는 $$\overline{\rm PG}=\overline{\rm PF}$$인 이등변삼각형이고, 점 $$\rm T$$는 $$\overline{\rm GF}$$의 수직이등분점이므로
$$\displaystyle \angle{\rm GPT}=\angle{\rm FPT} $$
$$\displaystyle \rm FPT=\angle \rm F'PQ$$
[image]
이를 이용하여 다양한 기구가 제작될 때 이러한 성질을 이용하고 있다. 더욱이 이러한 성질을 이용한 타원 당구대 또한 있다.
2.4.6. 성질 6
[image]
위 그림과 같이 중심이 $$\rm O$$인 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0)$$을 고려하고, 타원 위의 두 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$를 지나는 직선 $$l$$을 고려하자. 이때, 평행한 $$l$$들에 대하여 그 교점 $$\rm A$$, $$\rm B$$의 중점의 자취는 '''타원의 원점을 지나는 직선''' 위에 위치하게 된다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
이것의 증명은 $$l:\, px+q$$이라 놓는 것부터 시작된다. $${\rm A}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm B}(x_{2},\,y_{2})$$라 두자. 이때, 직선 $$l$$과 타원의 방정식을 연립함으로써
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}&=1 \\ b^2 x^2+a^2 (px+q)^2-a^ 2b^2 &=0 \\ (a^2 p^2 +b^2)x^2+2a^2 pqx+a^2 q^2+a^2 b^2&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\&=-\frac{a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \\ Y&=p \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)+q \\&=-\frac{a^2 p^2 q}{a^2 p^2 +b^2}+q \\&=\frac{-a^2 p^2 q+q(a^2 p^2 +b^2)}{a^2 p^2 +b^2} \\&=\frac{qb^2}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} Y=-\frac{b^2}{a^2 p}X \end{aligned} $$
위의 성질들을 이용하여 임의의 타원의 중심을 쉽게 찾을 수 있다. 다음의 단계를 따른다.
[image]
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 $$a$$, $$b$$를 그린다.
- 직선 $$a$$와 타원의 교점 $$\rm A$$, $$\rm B$$의 중점 $$\rm M$$을 찾는다.
- 직선 $$b$$와 타원의 교점 $$\rm C$$, $$\rm D$$의 중점 $$\rm N$$을 찾는다.
- 직선 $$\rm MN$$을 그린다.
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 $$c$$, $$d$$를 그린다. 단, 1에서 했던 직선의 기울기와는 다른 직선을 사용한다.
- 직선 $$c$$와 타원의 교점 $$\rm D$$, $$\rm E$$의 중점 $$\rm P$$을 찾는다.
- 직선 $$d$$와 타원의 교점 $$\rm F$$, $$\rm G$$의 중점 $$\rm Q$$을 찾는다.
- 직선 $$\rm PQ$$을 그린다.
- 두 직선 $$\rm MN$$, $$\rm PQ$$의 교점 $$\rm O$$가 타원의 중심이 된다.
2.4.7. 성질 7
이 문단에서는 타원의 중심과 타원의 단축 및 장축을 안다고 가정할 때, 타원의 초점을 찾는 법을 다루어보고자 한다. 결과만 먼저 말하면, 타원의 중심에 타원의 긴 반지름을 반지름으로 하는 원을 그린 후 그 원의 중심을 짧은지름 상의 꼭짓점으로 옮긴 뒤 장축과 해당 원이 만나는 두 교점이 타원의 초점이 된다.
이것의 예를 타원 $$x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0)$$으로 들어보고자 한다.
[image]
위 그림과 같이 짧은 지름 상에 있는 한 꼭짓점 $$\rm P$$를 고려해보자. 타원의 성질에 의하여
$$\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PF}=2a $$
$$\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF}=a $$
3. 기타
- 물리학에서, 중력장, 전자기장 등의 역제곱법칙을 만족하는 보존적 벡터장 하에서 외부의 힘을 받지 않고 벡터장에만 속박되었을 경우에 자연스럽게 타원 운동이 유도된다. 따라서 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면, 타원 운동을 하게 된다.
4. 관련 문서
[각주]