1. 개요
삼각함수의
역관계 함수. 결과값이
각으로 나오며,
호도법에서는 단위원을 기준으로 각의 크기가 곧 호의 길이가 되기 때문에 '호(arc)'를 의미하는 접두사 $$\rm arc$$-가 원래 함수의 명칭 앞에 붙는다.
[1] 참고로 역쌍곡선 함수에서도 이 접두사를 쓰는 '''틀린 용법'''을 꽤 자주 접할 수 있는데 역쌍곡선 함수의 접두사는 \rm ar-이며 넓이(area)에서 유래했다. 자세한 설명은 해당 문서 참조
2. 상세
삼각함수는 모두 주기함수이므로 일대일대응이 아니기 때문에 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 정의역을 제한하여 일대일대응으로 만들면 역함수를 정의할 수 있게 된다. 예컨대 $$\cos \theta$$의 치역은 구간 $$[-1,~1]$$인데 임의의 $$x\in\left[-1,~1\right]$$에 대하여 $$\cos \theta=x$$가 되는 $$\theta$$ 값은 무수히 많다. 그러나 $$\theta$$의 범위를 $$[0,~\pi]$$로 제한하면, $$\cos \theta=x$$을 만족하는 $$\theta$$는 단 하나로 정해진다. 이 $$\theta$$의 범위를 주요값(principal value)이라고 하며, 각종 삼각함수의 역함수를 정의할 수 있게 된다. 각종 삼각함수의 역함수에 대해 정의역과 주요값을 정리하면 다음과 같다.
'''역삼각함수'''
| '''정의역'''
| '''치역'''(주요값)
|
$$\arcsin x$$
| $$-1 \le x \le 1$$
| $$-\dfrac\pi2 \le \arcsin x \le\dfrac\pi2$$
|
$$\arccos x$$
| $$0 \le \arccos x \le \pi$$
|
$$\mathrm{arccsc}\,x$$
| $$x\ge1$$ 또는 $$x\le-1$$
| $$-\dfrac\pi2 \le \mathrm{arccsc}\,x < 0$$ 또는 $$0 < \mathrm{arccsc}\,x \le \dfrac\pi2$$
|
$$\mathrm{arcsec}\,x$$
| $$0 \le \mathrm{arcsec}\,x < \dfrac\pi2$$ 또는 $$\dfrac\pi2 < \mathrm{arcsec}\,x \le \pi$$
|
$$\arctan x$$
| $$\left\{x|x\in\mathbb R\right\}$$
| $$-\dfrac\pi2 < \arctan x < \dfrac\pi2$$
|
$$\mathrm{arccot}\,x$$
| $$0 < \mathrm{arccot}\,x < \pi$$
|
참고로 수학자마다 표기가 제각각이다. 예를 들어 아크사인의 경우 $$\rm asin$$(
MATLAB 문법에서 사용), $$\rm arcsin$$(가장 정확한 표기법), $$\sin^{-1}$$(제곱 표기
[2] 보통 함수의 거듭제곱은 함수의 시행 횟수를 뜻하지만, 삼각함수와 로그함수만은 예외적으로 결과값의 거듭제곱을 뜻한다.
와 혼동되므로 수학계에서 그다지 권장하지 않는 표기법) 등의 표기가 난립하고 있다.
한국에서는 고등학교에서 아예 다루지 않으나, 계산기를 사용하는 해외에서는 보통 중학교 3학년 정도에 배운다. 화학에서 용어는 사용하지 않으면서 언급하기도 한다.
정사면체의
이면각은 $$\arccos\left(\dfrac13\right)$$이다.
메테인의 결합각 약 $$109.5\degree$$가 사실은 $$\arccos\left(-\dfrac13\right)$$이다. 이 각도가 나오는 것은
벡터의
내적으로
증명할 수 있다.
일반적인 삼각함수는
오일러의 공식을 이용해서 복소평면상에서 정의할 수 있고, 이렇게 확장하면 역함수를 정의하기가 용이하다.
오일러의 공식 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$를 이용한다. $$x$$에 $$-x$$를 대입하면 $$e^{-ix} = \cos\left(-x\right)+i\sin\left(-x\right) = \cos x-i\sin x$$가 되므로, 두 식을 이용하면 $$\cos x$$, $$\sin x$$를 $$e^{ix}$$, $$e^{-ix}$$로 나타낼 수 있게 된다. 즉,
$$\begin{aligned}\cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \\ &= \dfrac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}} \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ &= \dfrac{e^{2ix}-1}{2ie^{ix}}\end{aligned}$$[3]
각 식은 $$e^{ix}$$에 대한 2차 방정식과 같으므로 다음과 같이 변형한 뒤 근의 공식을 적용하고 자연로그를 취하면 $$x$$를 $$\cos x$$, $$\sin x$$로 나타낼 수 있게 된다.
$$\begin{aligned} \left(e^{ix}\right)^2 &- 2\cos xe^{ix} + 1=0 \\ e^{ix} &= \cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1} \\ x &= -i\ln\left(\cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1}\right) \\ \left(e^{ix}\right)^2 &- 2i\sin xe^{ix} -1 = 0 \\ e^{ix} &= i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x} \\ x &= -i\ln\left(i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x}\right) \end{aligned}$$
$$\cos x = z$$라 놓으면 $$x = \arccos z$$이며, 마찬가지로 $$\sin x = z$$라 놓으면 $$x = \arcsin z$$이므로
$$\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\left(z \pm \sqrt{z^2-1}\right) \\ \arcsin z &= -i\ln\left(iz \pm \sqrt{1-z^2}\right) \end{aligned}$$
각 식에서 부호가 2개씩 얻어지는데, 미분했을 때 우리가 알고 있는 도함수의 꼴이 나오는 쪽을 취한다. 즉 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arccos z = -\dfrac1{\sqrt{1-z^2}}$$, $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sin z = \dfrac1{\sqrt{1-z^2}}$$이므로
$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arccos z = \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\{-i\ln\left(z \pm \sqrt{z^2-1}\right)\right\} = -i\dfrac{1\pm\dfrac z{\sqrt{z^2-1}}}{z\pm\sqrt{z^2-1}} = -i\dfrac{\dfrac{\sqrt{z^2-1}\pm z}{\sqrt{z^2-1}}}{z\pm\sqrt{z^2-1}} = \mp i\dfrac1{\sqrt{z^2-1}}$$ (복부호 동순)
$$= \mp i\dfrac1{i\sqrt{1-z^2}} = \mp\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \qquad \therefore \arccos z = -i\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$$
$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arcsin z = \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\{-i\ln\left(iz \pm \sqrt{1-z^2}\right)\right\} = -i\dfrac{i\mp\dfrac z{\sqrt{1-z^2}}}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} = -i\dfrac{\dfrac{i\sqrt{1-z^2}\mp z}{\sqrt{1-z^2}}}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} = -i\dfrac{\pm i}{\sqrt{1-z^2}}$$ (복부호 동순)
$$=\pm\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \qquad \therefore \arcsin z = -i\ln\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)$$
이해가 안 된다면 근호의 부호가 $$+$$일 때랑 $$-$$일 때로 나눠서 각각 계산해보면 된다.
또한 복소수 $$z = re^{i\theta}$$에서 편각 $$\arg z = \theta$$의 범위를 구간 [math(\left(-\pi,~\pi\right])]로 잡으면 $$\ln i = \ln e^{\frac\pi2i} = \dfrac\pi2i$$이므로
$$\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) = -i\ln\left\{i\left(-iz+\sqrt{1-z^2}\right)\right\} = -i\left\{\ln i + \ln\left(-iz+\sqrt{1-z^2}\right)\right\} \\ &= -i\ln i - i\ln\left(-iz+\sqrt{1-z^2}\right) = -i^2\frac\pi2 + i\ln\frac1{-iz+\sqrt{1-z^2}} = \frac\pi2 + i\ln\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right) \\ &= \frac\pi2 - \arcsin z \end{aligned}$$
가 되어 실수 범위의 함수에서 성립하던 성질도 여전히 유효함을 알 수 있다.
$$\arctan x$$의 경우 도함수를 적분함으로써 유도할 수 있다.
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x = \dfrac1{1+x^2} = \dfrac1{\left(x+i\right)\left(x-i\right)} = \dfrac1{2i}\left(\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i}\right)$$
이므로
$$\displaystyle \arctan x = \int \frac1{2i}\left(\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i}\right)\mathrm{d}x = \frac1{2i}\ln\left|\frac{x-i}{x+i}\right| + C$$
여기서 치역이 주요값의 범위를 취한다고 하면, $$\arctan 0 = 0$$이므로 절댓값을 벗겨서
$$\begin{aligned}\arctan x &= \dfrac1{2i}\ln\dfrac{i-x}{i+x} \\ &= -\dfrac i2\ln\dfrac{i-x}{i+x} \\ &= \dfrac i2\ln\dfrac{i+x}{i-x}\end{aligned}$$
$$\sec z = x$$라 놓으면 $$\cos z = \dfrac1x$$이므로 $$z = \mathrm{arcsec}\,x = \arccos\dfrac1x$$, 즉 $$\mathrm{arcsec}\,z = \arccos\dfrac1z = -\ln\left(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\right)$$
같은 방식으로
$$\mathrm{arccsc}\,z = \arcsin\dfrac1z = -i\ln\left(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\right)$$
$$\mathrm{arccot}\,z = \arctan\dfrac1z = \dfrac i2\ln\dfrac{i+\dfrac1z}{i-\dfrac1z} = \dfrac i2\ln\dfrac{zi+1}{zi-1} = \dfrac i2\ln\dfrac{z-i}{z+i}$$
|
$$\begin{array}{cc}\begin{aligned} \arcsin z &= -i\ln\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right) \\ \arccos z &= -i\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) \\ \arctan z &= \dfrac i2\ln\dfrac{i+z}{i-z} \end{aligned} & \begin{aligned} \mathrm{arccsc}\,z &= -i\ln\left(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\right) \\ \mathrm{arcsec}\,z &= -i\ln\left(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\right) \\ \mathrm{arccot}\,z &= \dfrac i2\ln\dfrac{z-i}{z+i}\end{aligned}\end{array}$$
|
이 식은 삼각함수를
복소평면으로 확장해도 성립한다. 주의해야할 점은 $$\arctan z$$와 $$\mathrm{arccot}\,z$$인데
$$\begin{aligned} \dfrac\pi2 - \arctan z &= \dfrac\pi2 - \dfrac i2\ln\dfrac{i+z}{i-z} = \dfrac\pi2 + \dfrac i2\ln\dfrac{i-z}{i+z} \\ &= \dfrac i2\left(\ln\dfrac{i-z}{i+z} - \pi i\right) = \dfrac i2\ln\dfrac{i-z}{i+z}e^{-\pi i} = \dfrac i2\ln\dfrac{i-z}{i+z}\left(-1\right) \\ &= \dfrac i2\ln\dfrac{z-i}{z+i}\end{aligned}$$
|
이렇게 실수 함수에서 성립했던 성질을 유도하려면 편각 $$\arg z$$의 범위를 [math(\left(-\pi,~\pi\right])]에서 $$\left[-\pi,~\pi\right))]로 재조정해야한다는 문제점이 있다. 즉 편각의 주요값 [math(\left(-\pi,~\pi\right]$$ 범위로는 저 관계가 유도가 안 된다. 그냥 $$\arctan z + \mathrm{arccot}\,z$$를 계산만 해줘도 알 수 있는데 결과값 $$\dfrac i2\ln\left(-1\right)$$에서 주요값 범위로는 $$\ln\left(-1\right) = \pi i$$이므로 식의 결과가 $$\dfrac\pi2$$가 아닌 $$-\dfrac\pi2$$가 나온다는 것을 알 수 있다.
의외의 사실로 저 정의를 통해 유리수
삼각비[4] \{3,4,5\} 같은 피타고라스 세 쌍으로 나타낼 수 있는 유리수
에 대응하는 각도를 구할 수 있다. 물론 실제로 구해보면 한없이 너저분한(...) 값이 나온다는 게 문제지만.
3. 성질
역사인, 역탄젠트, 역코시컨트, 역코탄젠트는 원점 대칭인
홀함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
$$\arcsin x = -\arcsin \left(-x\right) \\ \arctan x = -\arctan \left(-x\right) \\ \mathrm{arccsc}\,x = -\mathrm{arccsc} \left(-x\right) \\ \mathrm{arccot}\,x = -\mathrm{arccot} \left(-x\right)$$
반면에 역코사인, 역시컨트는 원래 함수가
짝함수인 관계로
음함수가 되는 것을 회피하기 위해 $$x$$축 아래를 버렸으므로 홀함수도 짝함수도 아니다.
4. 미분법
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$$
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccos x = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$$
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arctan x = \dfrac1{1+x^2}$$
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{arcsec}\,x = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$$
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{arccsc}\,x = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$$
- $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{arccot}\,x = -\dfrac1{1+x^2}$$
미분 형태를 보듯
제곱근 함수의 역수꼴이라
삼각치환에서 자주 볼 수 있다.
5. 적분법
- $$\displaystyle \int \arcsin x\,{\mathrm{d}x} = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C$$
- $$\displaystyle \int \arccos x\,{\mathrm{d}x} = x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+C$$
- $$\displaystyle \int \arctan x\,{\mathrm{d}x} = x \arctan x - \frac12\ln\left(x^2+1\right)+C$$
- $$\displaystyle \int \mathrm{arcsec}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arcsec}\,x - \mathrm{sgn}\,x \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+C$$
- $$\displaystyle \int \mathrm{arccsc}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccsc}\,x + \mathrm{sgn}\,x \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+C$$
- $$\displaystyle \int \mathrm{arccot}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccot}\,x + \frac12\ln\left(x^2+1\right)+C$$
여기서 $$\mathrm{sgn}\,x$$는
부호 함수이다.
5.1. 특수 적분
- $$\displaystyle \int \frac{\arcsin x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} \left(2 \ln \left(-e^{2i \arcsin x} + 1 \right) - i \arcsin x \right) - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 \left(e^{2i \arcsin x} \right) +C$$
- $$\displaystyle \int \frac{\arccos x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} \left(2 \ln \left(e^{2i \arccos x} + 1 \right) - i \arccos x \right) - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 \left(e^{2i \arccos x} \right) +C$$
- $$\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \left( \mathrm{Li}_2 \left( -ix \right) - \mathrm{Li}_2 \left(ix \right) \right) +C$$
- $$\displaystyle \int \frac{\mathrm{arcsec}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arcsec}\,x \left(2i \ln \left(e^{2i\, \mathrm{arcsec}\,x} + 1 \right) + \mathrm{arcsec}\,x \right) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 \left(-e^{2i \,\mathrm{arcsec}\,x} \right) +C$$
- $$\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccsc}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arccsc}\,x \left(2i \ln \left(-e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} + 1 \right) + \mathrm{arccsc}\,x \right) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 \left(e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} \right) +C$$
- $$\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccot}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{i}{2} \left( \mathrm{Li}_2 \left( -\frac{i}{x} \right) - \mathrm{Li}_2 \left(\frac{i}{x} \right) \right) +C$$
여기서 $$\mathrm{Li}_2$$는
폴리로그함수이다.
6. 이변수함수 꼴
ffff00>
$$\displaystyle \mathrm{atan2}(x,\, y) =\begin{cases}\displaystyle 2 \arctan \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} \right) & \mathsf{ if } \ x>0 \\ \displaystyle 2 \arctan \left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{y} \right) & \mathsf{ if } \ x\leq 0, \, y\neq 0 \\ \displaystyle \pi & \mathsf{ if } \ x< 0, \, y=0 \\ \emptyset & \mathsf{ if } \ x=0,\, y=0\end{cases} $$
|
역삼각함수 중 이변수함수로 정의되는 함수도 있다. 현재는 $$\arctan$$에 대응하는 함수만 정의되어 있다.
이 함수의 결괏값으로
복소수 $$x + iy$$의 편각을 얻을 수 있다.
7. 기타
- 위에서 구구절절 설명이 길었지만, 사실 개념 자체는 삼각비를 배울 때부터 함께 따라다녔다고 봐도 과언이 아니다. 가장 단적인 예가 삼각방정식인데, 직각삼각형의 변 길이가 모두 주어졌을 때 각도[5]
교과과정상 30\degree, 45\degree, 60\degree만 다루기는 하지만은.
8. 관련 문서