타원/타원 적분

1. 개요

---

'''타원 적분(Elliptic Integral)'''은 타원의 둘레의 길이를 구하는 과정에서 등장한 적분꼴 함수며, 적분의 결과가 초등함수로 표현되지 않는 대표적인 경우이다.
타원 적분의 등장 과정은 상위 문서인 타원 문서의 '둘레' 문단에 서술되어 있으니, 먼저 그것을 보고 이 문서를 볼 것을 권한다.
이 문서는 초급적인 방법으로 타원 적분을 다루고 있으므로 타원 적분에 대한 심층적인 내용 정보가 필요하면 이곳(영어)을 참조해볼 것을 권한다.

2. 상세

---

2.1. 르장드르 형태

---

2.1.1. 제1종 타원 적분

---

'''불완전 제1종 타원 적분(Incomplete Elliptic Integral of the First Kind)'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$$\displaystyle F(\phi,\,k) := \int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

특히, $$\phi=\pi/2$$인 경우를 '''완전 제1종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the First Kind)'''이라 하며

$$\displaystyle K(k) := \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

로 정의된다.

2.1.2. 제2종 타원 적분

---

'''불완전 제2종 타원 적분(Incomplete Elliptic Integral of the Second kind)'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$$\displaystyle E(\phi,\,k) := \int_{0}^{\phi} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,\mathrm{d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

특히, $$\phi=\pi/2$$인 경우를 '''완전 제2종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the Second Kind)'''이라 하며

$$\displaystyle E(k) := \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,\mathrm{d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

로 정의된다.

2.2. 야코비 형태

---

야코비 형태의 유도는 위의 르장드르 형태에서 라이프니츠 표기법을 이용하여 변수를 치환하는 것부터 시작한다.

$$\displaystyle t := \sin{\theta} $$

라 놓으면

$$\displaystyle \mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{d}t}{\cos{\theta}}=\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^{2} }}$$

가 되고, 적분 영역은

$$\displaystyle 0 \leq \theta \leq \phi \,\to\, 0 \leq t \leq x $$

로 바뀐다. 여기서 $$x := \sin{\phi}$$이다.
이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.

2.2.1. 제1종 타원 적분

---

야코비 형태의 불완전 제1종 타원 적분은 아래와 같다.

$$\displaystyle F(x,\,k) := \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,\mathrm{d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

완전한 경우에 대해선, $$x=1$$인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.

$$\displaystyle K(k) := \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}} }\,\mathrm{d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} K(k) &=\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\& =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n} \end{aligned}$$

2.2.2. 제2종 타원 적분

---

야코비 형태의 불완전 제2종 타원 적분은 아래와 같다.

$$\displaystyle E(x,\,k) := \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

완전한 경우에 대해선, $$x=1$$인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.

$$\displaystyle E(k) := \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) $$

완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

$$\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] $$

2.3. 초기하함수를 통한 정의

---

완전 타원 적분은 아래와 같이 초기하함수를 통해 정의할 수 있다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} K(k) &= \dfrac{\pi}{2}\,{}_2F_1\left(\dfrac12,\,\dfrac12;1;k^2\right) \\ E(k)&=\dfrac{\pi}{2}\,{}_2F_1\left(-\dfrac12,\,\dfrac12;1;k^2\right) \end{aligned} $$

2.4. 그래프

---

2.4.1. 불완전 타원 적분

---

아래는 $$k^{2}=0.9$$일 때, $$F(\phi,\,k)$$와 $$E(\phi,\,k)$$의 그래프를 $$[0,\,2\pi]$$ 영역에서 나타낸 것이다.

2.4.2. 완전 타원 적분

---

아래는 $$\displaystyle K(k)$$와 $$\displaystyle E(k)$$의 그래프를 $$\displaystyle 0 \leq k \leq 1$$의 영역에서 나타낸 것이다.

이때, 다음이 성립한다.

2.4.3. 완전 타원 적분의 극한값

---

• $$\displaystyle \lim_{k \to 0} E(k)=\lim_{k \to 0} K(k) =\frac{\pi}{2}$$
• $$\displaystyle \lim_{k \to 1} E(k)=1$$
• $$\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)= \infty$$
• $$\displaystyle \lim_{k \to 1} E(k)=1$$

• $$\displaystyle \lim_{k \to -\infty} E(k) =\infty$$
• $$\displaystyle \lim_{k \to -\infty} K(k)=0$$

2.5. 관련 공식

---

'''[1]'''

$$\displaystyle \begin{aligned} F(-\phi,\,k)&=-F(\phi,\,k) \\ E(-\phi,\,k)&=-E(\phi,\,k) \end{aligned} $$

이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 홀함수(Odd function; 기함수)임을 얻는다.
'''[2]'''

$$\displaystyle \begin{aligned} F(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nK(k) \pm F(\phi,\,k) \\ E(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nE(k) \pm E(\phi,\,k) \end{aligned} $$

(단, 여기서 [math(n \in \mathbb{N})]이고, 복부호동순이다.)
'''[3]'''

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d} \theta&=F(\phi_{2},\,k)-F(\phi_{1},\,k) \\ \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,\mathrm{d} \theta&=E(\phi_{2},\,k)-E(\phi_{1},\,k) \end{aligned} $$

'''[4]''' '''르장드르 항등식'''

$$\displaystyle K(k)E(1-k^{2})+K(1-k^{2})E(k)-K(k)K(1-k^{2})=\frac{\pi}{2} $$

3. 야코비 타원 함수

---

4. 기타

---

• 타원 적분은 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다르다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기가 어떤지를 주의 깊게 살펴본 후 써야 한다.
  • 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 $$k^{2} := m$$을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.

• 타원의 둘레를 구할 때 등장하며, 긴 반지름이 $$r_{\text{max}}$$이고 이심률이 $$k$$인 타원의 둘레는 $$4r_{\text{max}} E(k)$$가 된다.

• 사인 곡선의 길이를 구할 때도 등장하게 되며, $$1/4$$주기의 사인 곡선 $$y(x)=a\sin{bx}$$의 길이는

이다. 코사인 곡선 또한 사인 곡선의 평행 이동이므로 $$1/4$$주기의 코사인 곡선의 길이 또한 같다.

• 단진자의 주기[1]를 구할 때도 타원 적분이 등장하게 된다. 자세한 내용은 단진자 문서를 참조할 것.

• 타원곡선은 원래는 타원 적분의 역함수로 고안된 것이지만, 지금은 아무래도 상관없다는 듯 다른 길을 가고 있다.

5. 관련 문서

---

• 특수함수
• 단진자
• 사인 곡선

[1] 즉, 미소 진동이 아닌 일반적 진동 상황을 고려할 때.