좌표계
1. 개요
座標系 / Coordinate system, Coordinates
좌표계는 기하학에서 숫자나 기호를 써서 위치를 표기하는 방식을 뜻한다. 이 때의 위치를 지정하는 숫자나 기호는 좌표라 불린다. 필요에 따라 무수히 많은 임의의 좌표계를 만들 수 있으나, 과학에서 크게 유용한 2차원 좌표계는 두 가지, 3차원에서는 가장 유명한 세 가지이며, 각각의 특성이 있어서 용도에 적합한 것이 사용되곤 한다.
한국 교육과정상, 여기서 열거된 좌표계 중 데카르트 좌표계를 제외한 나머지(극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계)는 대학 미적분학 및 공업수학, 전자기학에서 배운다. 복소평면은 전기전자공학과에서 페이저를 이용하여 교류 전원 회로를 분석할 때 사용한다.
2. 학문적으로 유용한 좌표계
우리말 '직교'에 대응하는 영단어는 'orthogonal'인데, 직교좌표계(orthogonal coordinate system)는 '단순히 세 개의 좌표축(내지 좌표축과 평행한 단위벡터들)이 항상 서로 직교하는 좌표계(이때 좌표축이 고정되어 있다는 보장은 없다.)'를 총칭하기에 주의하기를 바란다.[1] 데카르트 좌표계는 '''고정된''' 좌표축을 사용한다. 당장 밑에 소개되는 극좌표계나 구면좌표계만 봐도, 어떤 점에서든 각 성분들의 변화 방향이 모두 서로 직각임을 볼 수 있다.
2.1. 데카르트 좌표계
座標系 / Cartesian coordinate system
우리가 흔히 볼 수 있는 좌표계로 데카르트 좌표계가 있다. 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 천장을 날아다니며 옮겨붙는 파리를 통해 영감을 얻고 해당 좌표계를 발명했기에 데카르트의 이름이 붙어 있다. 2차원용의 데카르트 좌표계는 다음과 같다.
[image]
오른쪽 위부터 반시계 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 한다. 데카르트 좌표계라고 하면 고등학교 때까지 배운 2·3차원 직각 좌표계를 뜻한다. 과학에서 쓰일 때 보통 X축이 독립변인, Y축이 종속변인을 나타낸다. 도수분포를 나타낼 때에는 X축이 계급구간을, Y축이 도수를 나타낸다.
복소수에서는 복소평면을 통해 지겹도록 볼 수 있다.
2.2. 극좌표계
極座標系 / Polar coordinate system
2.2.1. 개요
2차원(평면)용의 좌표계 중 하나이다. 극점(Pole)이라고 부르는[2] 기준점으로부터의 거리, 그리고 극점을 지나는 기준선[3]에 대한 각도로 위치를 표시하는 방법이다.
좌표평면 위에 극점 $$O$$와 다른 점 $$P$$를 취하고 벡터 $$\overrightarrow{OP}$$의 길이를 $$r$$, $$\overrightarrow{OP}$$가 x축의 방향에 대하여 만드는 각을 $$\theta $$라고 할 때, 실수의 짝 $$\left(r,\,\theta \right)$$를 점 $$P$$의 극좌표(Polar Coordinate)라고 한다. 같은 점 $$P$$의 데카르트 좌표를 $$\left(x,\,y\right)$$라면 $$x=r \cos \theta $$, $$y=r \sin \theta $$이다. 극점의 극좌표는 $$\left(0,\,\theta \right)$$($$\theta $$는 임의의 각)라고 한다.
극좌표에 차원 하나를 더해서 z축 방향으로 잡아 늘리면 원통좌표계(Cylindrical Coordinate)가 된다. ($$\left(x, y, z\right) \Rightarrow \left(r,\theta ,z\right)$$, $$x=r \cos \theta $$, $$y=r \sin \theta $$, $$z=z$$.) 데카르트 좌표를 극좌표로 만드는 것 처럼 극좌표에서 높이를 각도로 정의한 것은 구좌표계(Spherical Coordinate)가 된다.
2.2.2. 데카르트 좌표계와의 관계
한 점의 2차원 데카르트 좌표계로 나타낸 좌표가 $$ \left( x ,\ y \right) $$이고, 극좌표계로 나타낸 좌표가 $$ \left( r ,\ \theta \right)$$라면, 두 좌표 사이의 관계는 아래와 같다.
무슨 소리인지 잘 이해가 안 되면 데카르트 좌표계 제1사분면에 점을 찍고, x축에 수선의 발을 내려 원점 O, 수선의 발 H, 1사분면 점 P를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 OHP를 만들어 보자. 이때 $$\overline{OP}=r, \overline{OH}=x, \overline{HP}=y$$라 하면
- $$ x = r \cos{ \theta } $$
- $$ y = r \sin{ \theta } $$
- $$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 } $$
1번 관계식과 2번 관계식의 양변을 제곱한 후 변끼리 더한다.
$$ \sin^{ 2 }{ \theta } + \cos^{ 2 }{ \theta } = 1 $$을 이용하면
$$ r^{ 2 } = x^{ 2 } + y^{ 2 } $$.
양변에 제곱근을 씌우면 3번 관계식 유도.
$$ \sin^{ 2 }{ \theta } + \cos^{ 2 }{ \theta } = 1 $$을 이용하면
$$ r^{ 2 } = x^{ 2 } + y^{ 2 } $$.
양변에 제곱근을 씌우면 3번 관계식 유도.
- $$ \theta = \arctan{ \frac{ y }{ x } } $$
탄젠트의 정의에 의해, $$ \tan{ \theta } = \frac{ y }{ x } $$.
아크탄젠트에 각 변을 대입하면 4번 관계식 유도.
여기서 아크탄젠트의 치역이 $$[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2]$$임을 고려하면 여기서 얻어지는 θ로는 $$x \geq 0$$인 경우밖에 만들지 못한다. 따라서 x<0인 경우 θ를 보정하여야 한다. $$\tan\theta=\tan(\pi-\theta)$$이고 $$-\dfrac\pi2\geq\theta\geq\dfrac\pi2$$일 때 $$\dfrac\pi2\geq\pi-\theta\geq\dfrac{3\pi}2$$이므로 위와 같이 보정하면 된다.
아크탄젠트에 각 변을 대입하면 4번 관계식 유도.
여기서 아크탄젠트의 치역이 $$[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2]$$임을 고려하면 여기서 얻어지는 θ로는 $$x \geq 0$$인 경우밖에 만들지 못한다. 따라서 x<0인 경우 θ를 보정하여야 한다. $$\tan\theta=\tan(\pi-\theta)$$이고 $$-\dfrac\pi2\geq\theta\geq\dfrac\pi2$$일 때 $$\dfrac\pi2\geq\pi-\theta\geq\dfrac{3\pi}2$$이므로 위와 같이 보정하면 된다.
2.2.3. 응용
극좌표계는 원점으로부터의 방향과 거리가 중요한 경우에 유용하다. 직각 좌표계에서 각도와 거리를 이용해 좌표를 구하려면 삼각함수를 써야 하기 때문에 복잡해진다. 극좌표계는 일상 생활에서 많이 쓰이지는 않는데, 의외로 게임에서 극좌표계의 개념이 쓰인다. 스타크래프트에서, 특히 헌터맵에서 1시 앞마당이니 7시 본진이니 하는 건 어찌보면 극좌표계의 개념이라 할 수 있다.
델 연산자를 이용한 라플라시안을 극좌표계 형식으로 바꾸면 조금 복잡해지는데 (구면좌표계 역시 비슷하다) 그것을 델 연산자가 처음부터 데카르트 좌표계를 기준으로 삼아서 정의되었기 때문이다.
극좌표계에서의 벡터는 다음과 같이 표시한다.
단, 데카르트 좌표계와 달리, 두 벡터는 고정되어 있는 것이 아니기 때문에 주의할 것.
한편, 증가 혹은 감소함수를 극좌표로 변환할 경우 나선 모양이 되는데 유명한 사례로 일차함수 기반인 아르키메데스 나선, 로그함수 기반인 로그나선 등이 있다.
2.3. 원통좌표계
圓筒座標系 / Cylindrical coordinate system
극좌표계의 또 다른 확장판으로 원통좌표계가 있다. 교재에 따라 원기둥좌표계라고 서술해놓은 경우도 있다. 극좌표에 데카르트 좌표계의 상하 방향인 z축을 추가한 것이다. 원통좌표계의 대표적인 예로 HSB 색좌표가 있다. 색도가 극좌표이고 명도, 채도는 데카르트 좌표.
2.4. 구면좌표계
球面座標系 / Spherical coordinate system
2차원(평면)용인 극좌표를 3차원으로 확장시킨 좌표계로서 구면좌표계가 있다. 서로 수직으로 만나는 세 평면을 가정하고 이때의 두 평면이 교차하면서 만들어내는 직선들을 x축, y축, z축이라 할 때, 원점에서의 거리($$r$$), x축과 이루는 각도($$\phi$$), z축과 이루는 각도($$\theta$$)의 세 수치를 이용해서 위치를 표현한다.[7] 구면좌표계는 아주 간단한 대입을 통해 3차원 데카르트 좌표계로 변환할 수 있다.
지구상의 위치를 나타낼 때 쓰이는 지리 좌표계, 즉 위도/경도로 위치를 표시하는 방식이 구면좌표계의 특수한 형태다. 지리 좌표계가 구면 좌표에 기반을 둔 것은 지구가 공 모양인 것과 연관이 있다.[8]물론 지구 반지름이 워낙 크므로, 구면좌표계에서의 거리 요소는 사용되지 않고 높이가 필요시 따로 지표로부터의 높이를 명시한다. 참고로 항상 지리 좌표계가 쓰이는 것은 아니고, 특수한 좌표계가 쓰이기도 한다. 예를 들어 군대에서는 격자를 이용해 표현하는 군사좌표라는 좌표계도 사용된다.
대학교 과정의 수학, 물리학에서는 학을 뗄 정도로 상당하게 쓰인다. 슈뢰딩거 방정식, 곡률 등. 왜인지 고등학교 수학에서는 등장하지 않지만 지구과학Ⅱ(2015 개정 교육과정)에서는 천구 좌표계가 간접적으로 응용되는 감이 있다. 심지어 2009 개정 교육과정에서는 지구과학Ⅰ으로 잠시 내려온 적도 있었다.
2.5. 기타 여러 가지 좌표계
- 동차좌표[9], 혹은 사영좌표[10]라 불리는 좌표계는 특정 입체가 평면에 투영된 모습을 다룰 때 많이 쓰인다. 평면 위의 한 점을 $$\left(x,\,y,\,z\right)$$로 나타내는데, 좌표의 비율이 의미가 있고 실제 값은 중요치 않을 경우 사용된다.
- 일반화 좌표계(Generalized coordinate system)라는 것도 있다. 이것은 점의 위치를 표현하는 함수에 넘겨질 인자들을 나열함으로 좌표를 구성하는 좌표계다. 주로 물리학의 라그랑주 역학, 해밀턴 역학에서 주로 쓰인다. 공간 자체가 변형하는 상황을 다루는 일반 상대성 이론의 기술에 있어 필수인 좌표계이기도 하다. 이처럼 좌표축이 여러가지로 확장되며, 서로 직교하지 않으며 곡선으로 진행하는 축이 도입되기도 한다. 이쯤되면 흔히 생각하는 모든 좌표값이 0인 원점은 없으며, 단위벡터의 설정방법도 여러가지가 되며, 미분(정확히는 그레이디언트 관련) 등의 벡터/텐서연산이 직교좌표계와는 비교도 못하게 복잡해진다.
3. 지구상의 지점을 나타내기 위한 좌표계
- 지리좌표
지구상의 한 점을 위도와 경도의 조합으로 나타내는 좌표체계. 구형인 지구를 동-서 360도, 남-북 180도로 분할한 형태의 구좌표계이다. 지구의 표면은 평면이 아닌 구체이므로 위도에 따라 경도 1도의 길이가 달라진다. 적도에서의 경도 1도가 가장 길고 남극점/북극점에서의 거리는 0이다.
- UTM(Universal Transverse Mercator)
- 군사좌표(MGRS; Military Grid Reference System)
- 범지구격자참조체계(GARS; Global Area Reference System)
- ECEF(Earth-Centered, Earth-Fixed)
3차원 직교좌표계의 형태로, 지구 중심점을 원점으로 하여 X, Y, Z의 세 축으로 나타낸다. 단위는 일반적으로 1m 이다. GPS 등에서 사용된다.
4. 천구를 나타내기 위한 좌표계
천구 좌표계 항목 참조.
4.1. 관련 문서
[1] 물론 고등학교 때까지는 데카르트 좌표계 외의 다른 좌표계를 다룰 일이 없기 때문에 학생들이 '직교좌표계'라는 말을 듣고 다른 의미로 곡해할 일이 사실상 없으므로 크게 상관없는 일이기는 하다.[2] '원점'(Origin)이라고 부르지 않는다. 주의.[3] '극축'이라고 부른다.[4] $$= \text{sgn} x\arctan{ \frac{y}{x}} +\pi[x<0]$$[5] 출처:위키피디아[6] 출처 네이버 캐스트[7] 다만 미국에서 출판된 미적분학 교재의 경우 $$\phi$$와 $$\theta$$의 역할을 맞바꿔서 서술해 놓기도 한다. x축과의 사잇각이 $$\theta$$, z축과의 사잇각이 $$\phi$$가 되는 식.[8] 다만 위도는 $$\theta$$가 아니라 북반구 지점에서는 $$\pi/2 - \theta$$, 남반구 지점에서는 $$\theta - \pi/2$$ 형태다. 즉 지구에서는 z축과의 사잇각이 위도가 되는 게 아니라, xy평면과의 사잇각이 위도가 되는 셈이다.[9] 同次座標 / Homogeneous coordinate system[10] 射影座標 / Projective coordinate system