양자 조화 진동자

1. 개요

---

'''Quantum harmonic oscillator · 量子調和振動子'''
이 문서에서는 양자 단순 조화 진동자를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룰 것이다.
이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록했으며, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법에만 다루고, 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했으니 참고하기 바란다.

2. 대수적 기법

---

2.1. 생성·소멸 연산자

---

양자 조화 진동자를 분석하기 전 아래의 '''소멸 연산자(Annihilation operator)'''를 도입하고자 한다.

$$\displaystyle \hat{a}:= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) $$

여기서 $$\displaystyle \beta^{2} := {m \omega}/{\hbar} $$으로 정의되는 상수이며, $$m$$은 질량, $$\omega$$는 조화 진동자의 각진동수이며, $$\omega^{2} := k/m$$이다. 또한, $$k$$는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 Hermitian adjoint를 취하면,

$$\displaystyle \hat{a}^{\dagger}= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) $$

가 되고 이 연산자를 '''생성 연산자(Creation operator)'''라 한다. 이때, $$\hat{a} \neq \hat{a}^{\dagger}$$이므로 $$\hat{a}$$는 Hermitian operator가 아니며, 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는다. 그렇다면 위키러들은 이러한 쓸모 없는 연산자를 왜 분석하고 있는지 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨달을 수 있으며, 그 작업을 위해 우선적으로 두 연산자의 교환자 관계를 조사하고자 한다.

$$\displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}] = \left[ \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) , \, \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \right] $$

이때, 정준 교환 관계 $$[\hat{x},\,\hat{p}]=i \hbar$$를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a} =1 $$

이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 나을 것이다.
다음과 같은 연산자를 하나 정의하고자 한다.

$$\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\hat{a} := \hat{N} $$

이 연산자는 우선적으로 상태가 $$n$$인 고유함수 $$\varphi_{n}$$에 결합하여 교윳값으로 상태 $$n$$을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,

$$\displaystyle \hat{N}\varphi_{n}=n\varphi_{n} $$

이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 $$\hat{a}\varphi_{n}$$의 고윳값을 조사해보자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{N}-1)\varphi_{n} \\&=(n-1)(\hat{a}\varphi_{n}) \end{aligned}$$

따라서 위 연산자의 $$\hat{a}\varphi_{n}$$의 교윳값은 $$n-1$$임을 알 수 있다. 위에서 $$\hat{N}$$을 어떻게 정의되었는지 다시 상기해보면,

$$\displaystyle \hat{a}\varphi_{n} \propto \varphi_{n-1} $$

로 상태를 한 단계 낮춰준다는 사실을 알 수 있다. 다만, 비례 표시($$\propto$$)로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값은 구하지 않았기 때문이다. 같은 논법으로, 생성 연산자에 대해 하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \\&=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}^{\dagger}(\hat{N}+1)\varphi_{n} \\&=(n+1)(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n}) \end{aligned}$$

따라서 같은 논법으로,

$$\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \propto \varphi_{n+1} $$

임을 알 수 있다. 즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다는 사실을 알 수 있다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 '''사다리 연산자(Ladder operator)'''라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아닌 단지 어떤 상태를 올리거나 내려주기만 하기 때문이다.

2.2. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자

---

조화 진동자의 해밀토니안은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2} \\ &=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2} x^{2} \end{aligned} $$

따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는

$$\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}\hat{x}^{2} $$

위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서

$$\displaystyle \hat{x}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \qquad \qquad \hat{p}=\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} $$

를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,

$$\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right) $$

임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 $$n$$의 고유함수 $$\varphi_{n}$$을 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\varphi_{n}&=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(\hat{N}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \end{aligned}$$

따라서 에너지 고윳값은

$$\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) $$

이 된다. 그러나 한 가지의 부가조건을 더 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 우리는

$$\displaystyle \langle \mathcal{H} \rangle \geq 0 $$

을 만족해야 한다. 양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 $$\langle \varphi_{n} |\varphi_{m} \rangle=\delta_{nm}$$을 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathcal{H} \rangle &=\langle \varphi_{n} | \hat{\mathcal{H}}|\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\langle \varphi_{n} |\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} $$

따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는

$$\displaystyle n \geq -\frac{1}{2} $$

이어야 한다. 따라서 $$n<-1/2$$인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는

$$\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 $$

를 덧붙일 것이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 $$n=0$$[1]이라 두었기 때문에

$$\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) $$

[1] 이것은 나중에 생성 및 소멸 연산자의 고윳값을 구하면서 한 번 더 다루도록 하겠다.

위는 중요한 두 가지의 결론을 얻는다.

• 양자 조화 진동자는 영점 에너지(Zero-point energy)가 존재한다.
• 인접한 상태들의 에너지 간격은 $$E_{n}-E_{n-1}=\hbar \omega$$이고, 따라서 양자 조화 진동자의 에너지 간격은 등간격이다.

2.3. 양자 조화 진동자의 고유함수

---

다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.

$$\displaystyle \beta^{2}x^{2} = \frac{m \omega}{\hbar}x^{2} := \xi^{2} $$

이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \\ &= \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( x+\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \beta x+ \frac{\partial}{\partial (\beta x)} \right) \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \end{aligned} $$

마찬가지의 논법으로

$$\displaystyle \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) $$

으로 쓸 수 있다. 윗문단을 통해 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유 함수는 $$\varphi_{0}$$이라 했고, 위에서 $$\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 $$의 부가조건을 설정한 것을 상기하면,

$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)\varphi_{0}=0 $$

이 방정식의 해는 다음과 같다.

$$\displaystyle \varphi_{0}=A_{0}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

이때, $$A_{0}$$은 규격화 상수로 $$\langle \varphi_{0} |\varphi_{0} \rangle=1$$로 결정할 수 있다. 따라서 최저 상태의 고유함수는 정규분포 곡선 모양임을 알 수 있다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 쉽게 다른 상태 또한 결정할 수 있다. 그 중 한 가지의 예만 보고가고자 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&\propto \hat{a}^{\dagger} \varphi_{0} \\ & \propto \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ &=2x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \end{aligned} $$

따라서 규격화 상수를 $$A_{1}$$이라 두면,

$$\displaystyle \varphi_{1}=2A_{1}x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

이와 같은 논법으로 $$\varphi_{n}$$을 구하려면, 생성 연산자를 $$n$$번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.

$$\displaystyle \varphi_{n} =A_{n} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)^{n}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}(\xi)&=A_{n}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} $$

위에서 $$H_{n}(\xi)$$는 에르미트 다항식이며, 규격화 상수

$$\displaystyle A_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } } $$

로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.

눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 기함수와 우함수가 반복된다는 것을 알 수 있을 것이다.
양자 조화 진동자는 속박되어있는 예이므로 고유함수의 절댓값 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.

위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[2] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있는 것을 알 수 있다.

2.4. 소멸·생성 연산자의 고윳값

---

이 문단은 다음 문단의 평균값과 불확정성 원리가 양자 조화 진동자에서 성립하는 지 알아보기 위해 알아봐야할 문단이다. 맨 처음 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제는 해당 연산자들의 고윳값을 알아봐야할 차례이다.
이제부터 고유함수 $$\varphi_{n}$$을 ket-vector $$| n \rangle$$으로 간단히 나타낼 것이다. 우선 소멸 연산자의 고윳값을 $$C_{n}$$이라 놓자. 그러면,

$$\displaystyle \hat{a}| n \rangle=C_{n} | n-1 \rangle$$

[2] 사실 위 그림에서 각각 그어진 $$x$$축과 평행한 직선과 $$x$$ 축 사이의 거리는 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 퍼텐셜 에너지 문서를 참조하라.

양변에 복소 공액을 취하면,

$$\displaystyle \langle \hat{a} n | =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} $$

이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \langle n | \hat{a}^{\dagger} =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} $$

이 결과를 맨 처음 식의 ket-vector에 곱하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle&=\langle n-1 | C_{n}^{\ast}C_{n} | n-1 \rangle \\ \langle n | \hat{N}| n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \\ n \langle n | n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \end{aligned}$$

고유함수의 직교성에 의해

$$\displaystyle n=\left| C_{n} \right|^{2} \, \rightarrow \, C_{n}=\sqrt{n} $$

이상에서

$$\displaystyle \hat{a}| n \rangle=\sqrt{n} | n-1 \rangle $$

임을 알 수 있다. 생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있다. 다만, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 할 것이다. 이에 생성 연산자는

$$\displaystyle \hat{a}^{\dagger}| n \rangle=\sqrt{n+1} | n+1 \rangle $$

임을 쉽게 증명할 수 있다.
이번에는 최저 상태를 $$n=0$$으로 둔 것에 대한 타당성을 검증해보도록 하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} n&=\langle n | \hat{N}| n \rangle \\ &=\langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle \\ &=(\langle \hat{a} n |)( \hat{a}| n \rangle) \\ &=( \hat{a}| n \rangle)^{\ast}( \hat{a}| n \rangle) \end{aligned} $$

따라서 위의 결과는 $$n$$이 0 이상의 양의 실수만 될 수 있다는 것만을 보여준다. 따라서 최저 상태로 택한 $$n=0$$은 타당하다는 것을 알 수 있다.

2.5. 불확정성 원리 검증

---

불확정성 원리에 따르면,

$$\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

를 만족해야 한다. 이것을 검증하기 위해

$$\displaystyle \Delta x := \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \qquad \qquad \Delta p := \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}} $$

임을 이용하면 된다.
$$\langle x \rangle$$와 $$\langle p \rangle$$는 비교적 쉽게 구할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\langle n |\hat{x}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \\ \langle p \rangle&=\langle n |\hat{p}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \end{aligned} $$

소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남게 되고, 결국 이것은 0이 될 수밖에 없는 것이다.
이제 $$\langle x^{2} \rangle$$을 구하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\langle n |\hat{x}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \end{aligned} $$

따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되므로 연산에 기여하지 않는다. 따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1 |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{N}+1 |n \rangle \\ &=\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} $$

가 된다.
마지막으로, $$\langle p^{2} \rangle$$을 구해보도록 하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\langle n |\hat{p}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=- \frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \\ &=\frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \end{aligned} $$

이런 꼴은 이미 $$\langle x^{2} \rangle$$을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서

$$\displaystyle \langle p^{2} \rangle=m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) $$

이상에서

$$\displaystyle \Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right)} \qquad \qquad \Delta p=\sqrt{m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right)} $$

이고,

$$\displaystyle \Delta x \Delta p=\hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) \geq \frac{\hbar}{2} $$

이므로 불확정성 원리를 만족한다는 것을 알 수 있다.

2.6. 평균값

---

이번엔 양자 조화 진동자의 평균 에너지 $$\langle E \rangle$$에 대해 논해보자.

$$\displaystyle \langle E \rangle=\langle T \rangle+\langle V \rangle $$

이때, $$\langle T \rangle$$는 운동 에너지 평균값, $$\langle V \rangle$$는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.

$$\displaystyle \langle T \rangle=\frac{\langle p^{2} \rangle}{2m} \qquad \qquad \langle V \rangle=\frac{1}{2}k\langle x^{2} \rangle=\frac{1}{2}m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle $$

그런데, $$\langle x^{2} \rangle$$, $$\langle p^{2} \rangle$$는 위에서 각각 구하였다. 따라서 그 결과를 이용하면,

$$\displaystyle \langle T \rangle= \langle V \rangle=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) $$

임을 알 수 있다. 따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서

$$\displaystyle \langle E \rangle=2\langle T \rangle=2\langle V \rangle $$

이 성립함에 따라 맨 위에서 구했던 결과

$$\displaystyle \langle E \rangle=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) $$

를 얻는다.

2.7. 대응 원리

---

양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근해가서 대응되게 되는 것을 '''대응원리(Correspondence principle)'''라 한다. 이제부터 양자 조화 진동자의 대응원리를 알아보고자 한다.
양자역학적으로 입자가 $$x$$, $$x+dx$$ 사이에서 발견될 확률 $$P_{\mathrm{QM}}$$은 알다시피, 고유함수의 절댓값 제곱으로 주어진다. 즉,

$$\displaystyle P_{\mathrm{QM}}=\left| \varphi(x) \right|^{2} $$

그렇다면, 고전적으로 $$x$$, $$x+dx$$ 사이에서 입자가 발견될 확률 $$P_{\mathrm{CM}}$$은 얼마인가? 이제부터 이것이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 $$T$$과 극히 짧은 시간 간격 $$dt$$의 비로 보았다. 즉,

$$\displaystyle P_{\mathrm{CM}}\,dx=\frac{dt}{T} $$

이 된다. 이때, $$T=2\pi/\omega$$가 되므로 윗 식은

$$\displaystyle \frac{dt}{T}=\frac{2\pi}{\omega}\,dt $$

으로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,

$$\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,dt=\frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx$$

으로 쓸 수 있다. $$\dot{x}:= dx/dt$$로 속도를 의미한다. 이미 진폭 $$x_{0}$$인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=x_{0}\sin{\omega t} \\ \dot{x}&=x_{0}\omega \cos{\omega t} \end{aligned}$$

이때, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \dot{x}=\omega \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} $$

이상에서

$$\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx=\frac{1}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,dx $$

로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,

$$\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } $$

로 쓸 수 있다. $$A$$를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.

$$\displaystyle \int_{-x_{0}}^{x_{0}}\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,dx=1 \, \rightarrow \, A=2 $$

이상에서 찾는 고전적인 확률은

$$\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } $$

임을 알 수 있다.
아래의 그림은 $$n=50$$일 때의 $$P_{\mathrm{QM}}$$과 $$P_{\mathrm{CM}}$$을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼 양자수가 높아지면, 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다는 것을 알 수 있다.

3. 급수해 해법

---

퍼텐셜이

$$\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} $$

의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은

$$\displaystyle \hat{\mathcal{H}}\varphi=E \varphi $$

에서

$$\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2} \varphi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} \varphi =E\varphi $$

가 된다. 다음과 같이 변수를 무차원화 시키면,

$$\displaystyle x:= \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\,\xi \qquad \qquad \epsilon := \frac{2E}{\hbar \omega} $$

이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.

$$\displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}+(\epsilon-\xi^{2})\varphi=0 $$

이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾고자 한다. $$\xi \gg 1$$ 영역에서 위의 방정식은

$$\displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}-\xi^{2}\varphi=0 $$

으로 주어지고, 이 방정식의 해는

$$\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(\pm \frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 $$\xi \gg 1$$ 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서

$$\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.

$$\displaystyle \varphi(\xi) \propto H(\xi) \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} $$

$$H(\xi)$$는 아직 정체가 밝혀지지 않은 $$\xi$$에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,

$$\displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+( \epsilon-1)H(\xi)=0 $$

의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수 $$H(\xi)$$를 다음과 같은 형태로 가정하자.

$$\displaystyle H(\xi) := \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\xi^{n} $$

이것을 위 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_{n}\xi^{n-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k-1}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 $$

좌변의 제 1항에 대해 $$k \to k+2$$로 하면,

$$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}\xi^{k}-2 \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 $$

따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.

$$\displaystyle a_{k+2}=\frac{2k+1-\epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} $$

참고적으로 위 관계는 $$n=0$$일 때도 성립한다. 따라서 모든 $$a_{k}$$는 $$a_{0}$$, $$a_{1}$$으로 표기할 수 있고, 이를 이용하면,

$$\displaystyle H(\xi)=a_{0}\left[ 1+\frac{1-\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-\epsilon)(1-\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right]+a_{1} \left[ \xi+\frac{3-\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-\epsilon)(3-\epsilon)}{120}\xi^{5}+\cdots \right] $$

으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한 $$\xi \gg 1$$ 영역에서 발산한다. 따라서 $$k=n$$일 때, 급수의 항이 더 더해지지 않고, 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고, 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은

$$\displaystyle a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 $$

을 만족시키면 된다. 단, $$a_{n} \neq 0$$이다. 따라서

$$\displaystyle \epsilon_{n}=2n+1 \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) $$

이때 $$\displaystyle \epsilon_{n} = 2E_{n}/\hbar\omega$$이므로 이를 대입하면

$$\displaystyle \dfrac{2E_{n}}{\hbar\omega}=2n+1 $$

$$\displaystyle E_{n}=\hbar\omega \left( n+\dfrac{1}{2} \right) \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) $$

임을 알 수 있다. 따라서 이 조건일 때, 미분 방정식은

$$\displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+2nH(\xi)=0 $$

이며 이 방정식을 만족하는 해는 에르미트 다항식 $$H_{n}(\xi)$$이다.[3] 따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}&=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } }H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \qquad \biggl(\xi:= \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\,x \biggr)\\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} $$

[3] 위에서 해밀토니안을 $$\mathcal{H}$$로 썼는데, 이 함수의 표기와 혼동되지 않기 위함이다.

4. n차원 조화 진동자

---

퍼텐셜이

$$\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 \\ &= \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \end{aligned}$$

일 경우에도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 이때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 다음과 같다.

$$\displaystyle -\frac{\hbar}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \psi = E \psi$$

이때 $$\psi(x,\,y,\,z) = X(x) Y(y) Z(z)$$로 두고 양변을 $$XYZ$$로 나누면 다음과 같다.

$$\displaystyle \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{X} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Y} \frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial z^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 \right) = E$$

이때 좌변의 항들은 각각 $$x,y,z$$만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각 $$E_x, E_y, E_z$$로 놓고 $$E_x + E_y + E_z = E$$라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해는

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\hbar \omega \left(n_x + \frac{1}{2} \right) \\ E_{y}&=\hbar \omega \left(n_y + \frac{1}{2} \right) \\ E_{z}&=\hbar \omega \left(n_z + \frac{1}{2} \right) \end{aligned} $$

가 되고, 에너지는

$$\displaystyle \begin{aligned} E &= E_{x} + E_y + E_z \\& = \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega \\& = \left( n+\frac{3}{2} \right) \hbar \omega \end{aligned} $$

이다. 같은 방법으로 $$k$$차원 조화 진동자의 에너지는 $$\displaystyle \left( n + k/2 \right) \hbar \omega $$이다.

5. 여담

---

양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, 1차원 공간에서의 일반적인 퍼텐셜 $$V(x)$$을 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극솟값 주변[4]에서 테일러 전개를 하면,

$$\displaystyle V(x) \simeq V(x_{0})+\frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + \mathcal{O}(x^3) $$

[4] 다른 말로, 어떤 점 $$x_{0}$$ 인근에서, $$V'(x_{0})=0$$, $$ V''(x_{0})>0$$

로 표현이 가능해서, 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.
양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를 고체 물리학에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 포논을 분석할 때 쓰이게 된다.

6. 관련 문서

---

• 물리학 관련 정보
• 조화 진동자
• 양자역학
• 슈뢰딩거 방정식
• 연산자
• 특수함수

[각주]