어림

1. 개요

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복잡한 수를 간단히 표현하기 위해 '대략적인 값'을 대신 쓰는 것. 여기에서 '간단히 표현한다는 것'은 일의 자리부터 시작하여 일정한 자리까지 모두 '''0으로 표시함'''을 일컫는다.[1] 예를 들어 3889987을 '대략 3890000'으로 대신 쓰는 것이다. 어림을 통해 얻는 값을 '''근삿값, 어림값, 어림수'''라고 한다.
초등학교 5학년 2학기 1단원 <수의 범위와 어림하기>에 나오는 개념이다. 초등학교 4학년 때 만(10000, 10⁴)부터 천조(1000000000000000, 10¹⁵)까지의 십진수인 '''큰 수'''를 배우고 나서 어림을 배운다.

2. 어림의 종류

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어림하는 방법은 크게 올림, 버림, 반올림 세 가지가 있다. 어림을 구하려는 수와 자릿수를 받기 때문에 셋 모두 이변수함수이다.

2.1. 올림

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$${\rm roundup}(x;\,n) = 10^{-n} \lceil10^n x\rceil$$

올림 함수.[2]

구하려는 자리 아래에 0이 아닌 수가 있으면 구하려는 자리의 수를 1 크게 하고, 그 아래 자리의 수를 모두 0으로 나타내는 것. 구하려는 자리 아래가 모두 0이면 올리지 않는다.
예) 24115 => 25000

2.2. 버림

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$${\rm rounddown}(x;\,n) = 10^{-n} \lfloor10^n x\rfloor$$

버림 함수.[3]

구하려는 자리 아래에 있는 0이 아닌 수를 모두 0으로 나타내는 것. 구하려는 자리 아래가 모두 0이면 버리지 않는다.[4] 내림이라고도 한다.
예) 24115 => 24000

2.3. 반올림

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$${\rm round}(x;\,n) = 10^{-n} \lceil \dfrac{1}{2}\lfloor2×10^n x\rfloor \rceil$$ $${\rm round_2}(x;\,n) = 10^{-n} \lfloor \dfrac{1}{2}\lceil2×10^n x\rceil \rfloor$$

[5]
구하려는 자리의 한 자리 아래 숫자가 0, 1, 2, 3, 4이면 버리고, 5, 6, 7, 8, 9이면 올리는 것. 구하려는 자리 아래가 모두 0이면 반올림하지 않는다.[6]
예) 24115 => 24000. 24715 => 25000.
4이면 버리고 5이면 올린다고 해서 '''사사오입'''(四捨五入)이라고도 한다. 대한민국 초중고 수학 교육과정에서는 사사오입만을 다루지만, 반올림이 무조건 사사오입인 것은 아니며, 반올림에도 여러 종류가 있다. 심화 내용은 반올림#s-1 문서 참고.

2.4. 도함수를 이용한 어림

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3. 어림하는 자리를 표현하는 방법('에서'와 '까지')

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어림하는 자리를 표현하는 방법은 '에서'와 '까지' 두 가지가 있다.
가령, 만의 자리'''에서''' 어림하라는 것은, 일의 자리부터 '''만의 자리까지''' 0으로 표시하라는 것이다. 반면, 만의 자리'''까지''' 어림하라는 것은, 만의 자리 바로 오른쪽 자리까지, 즉 천의 자리까지만 0으로 표시하라는 것이다. 곧,
'''$$10^{{{n-1}}}$$의 자리에서 어림하라=$$10^{n}$$의 자리까지 어림하라($$n$$은 정수)'''
가 된다.
이게 헷갈리면 다르게 생각해볼 수도 있다.
가령, 만의 자리'''에서''' 어림한 수를 읽으면, '십만'으로 끝난다. 123456을 만의 자리에서 올림하면 200000, 즉 '이십만'이 되어 '십만'으로 끝난다. 만의 자리'''까지''' 어림한 수를 읽으면, 130000, 즉 '십삼만'이 되어 '만'으로 끝난다. 곧, '''어떤 자리까지 어림한 수는 읽으면 그 자리로 끝난다고 생각하면 된다.''' 그러나 이 방법은 소수점 이하 자리에서는 통하지 않는다. 소수점 이하 자리를 읽을 때는 자릿수를 부르지 않기 때문이다.

4. 문제 예시

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3456789를 백의 자리에서 버림하시오. 답: 3456000
7654321을 만의 자리까지 반올림하시오. 답: 7650000
1010101을 천의 자리에서 올림하시오. 답: 1020000
25.2424를 소수점 셋째 자리에서 올림하시오. 답: 25.25

5. 올림, 버림, 반올림의 관계

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반올림은 0, 1, 2, 3, 4에서는 버리고 5, 6, 7, 8, 9에서는 올리는 어림이기 때문에 0, 1, 2, 3, 4에서는 버림과, 5, 6, 7, 8, 9에서는 올림과 결과가 같아진다.
위의 정의에 바닥 함수, 천장 함수가 들어가는데, 바닥 함수는 아래의 무한급수

$$\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor=x-\frac12 +\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2n\pi x)}{n\pi}\quad\left(x\notin\mathbb Z\right)$$

[1] 함수에 대한 어림은 따로 '극한'이라고 한다.

[2] $$\lceil x\rceil$$는 천장 함수이다.

[3] $$\lfloor x \rfloor$$는 바닥 함수이다.

[4] 사실 버림을 해도 결과는 같다.

[5] 위의 것은 사사오입 아래의 것은 오사육입이다. 정중앙인 5를 올리면 사사오입, 버리면 오사육입이다.

[6] 사실 버림을 해도 결과는 같다.

으로 정의되며, 천장 함수는 바닥 함수를 원점에 대칭시켜 유도할 수 있기 때문에[7] 어림은 해석학의 맥락으로 볼 수 있는 것이다. 이는 미분으로 어림하기를 배울 때 더더욱 명확해진다.

6. 여담

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'어림없다'라는 관용어가 있는데, '가차없다'와 비슷하게 상대방의 사정을 봐주지 않는다는 뜻, 혹은 무언가 짐작조차 되지 않거나 도저히 될 가망이 없다는 뜻으로 쓰인다.
어림과 관련된 유행어로 어림도 없다 암, 어림도 없지 등이 있다.

[7] $$\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$$