급수(수학)

1. 개요

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'''級數'''
영문명은 Series. 급수는 '''부분합의 극한'''을 의미한다. 특정 수열에 대해 지정된 항에서 지정된 다른 항까지의 수를 모두 더하란 의미다. 유한급수와 달리 특정한 항까지 더하는 개념이 아니며 끝없이 보탠다. 급수를 시그마를 이용하여 표현하면 시그마 위에 있는 수가 $$\infty$$로 바뀐다.
$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}a_k$$
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n $$ 또는 $$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}}^{} a_n $$[2] 또는 $$\displaystyle \sum a_n $$[3]
위 $$a_n$$의 생성함수를 $$f(x)$$라고 정의하고 적분 기호로 표현하면 다음과 같다.
$$\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}\lfloor x \rfloor$$[4]
즉 급수는 이산함수의 이상적분과 동치이다.[5]
급수의 수렴에 대한 정확한 정의는 아래와 같다.

급수 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$의 $$n$$항까지의 부분합을 $$S_n$$로 나타내자. 이때, 수열 $$\left\{S_n\right\}$$가 어떤 실수 $$S$$로 수렴할 때 급수가 수렴한다고 정의한다. 급수가 수렴하지 않으면 발산한다.

정의를 보면 알겠지만 급수의 정의는 '''부분합의 극한값'''이다. 저 위에 무한히 많은 항을 더한 것 같은 표현은 그저 무한대 표시처럼 관습적인 표현으로 알아두자. 그래서인지 급수를 처음 배울 때는 많은 수학 선생님들이 첫 번째 표현을 많이 강조한다.
무한번 더하는 것과 무한급수가 다르다는 것은 리만 재배열 정리라는 걸 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 단순하게 말해서 조건수렴하는 급수는 덧셈과 달리 교환법칙이 안먹힌다는 이야기다.[6]
$$\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\cdots$$
또다른 예시로는 유리수의 덧셈에 대한 닫힘을 들 수 있다. 각 항이 유리수라면 부분합도 항상 유리수이지만 부분합의 극한인 급수는 무리수일 수 있다. 사실 이렇게 수열의 극한을 통해 유리수로부터 실수를 구성하기도 한다.
급수가 수렴하는지 발산하는지 확인하는 방법은 여러 가지가 있다. 하지만 판정법만으로는 수렴값을 구할 수는 없다. 자세한 판정법들은 아래 문단 참조.
고등학교 수학 교육과정에서는 미적분 단원 초반에 나오며, 그냥 '급수'라고만 호칭한다.

2. 절대수렴과 조건수렴

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$$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|$$가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$도 수렴한다.(절대수렴하는 급수는 수렴한다.)

증명

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|$$가 수렴하면 코시판정법에 의해 임의의 $$\epsilon >0$$에 대해 $$\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N} : \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| < \epsilon}$$를 만족하게 하는 자연수 $$N$$이 존재한다. $$\left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|$$이므로 또 다시 코시판정법에 의해 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$도 수렴한다.

Limit Term Test와 마찬가지로 위 명제의 역은 성립하지 않는다. 절댓값대신 택시노름같은 임의의 노름을 사용해도 성립한다. 또한 이는 실수와 같은 바나하공간[7]에서만 성립하는 성질이다. 즉, 유리수에선 성립하지 않을 수가 있다.
또한 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|$$가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 '''절대 수렴(Absolute Convergence)'''한다고 하며 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 수렴하는데 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|$$가 수렴하지 않으면 '''조건수렴(Conditional Convergence)'''한다고 한다.[8]

3. 특성

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4. 급수의 수렴 판정법(Test)

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아래 리스트만 봐도 알 수 있듯이, 엄청나게 다양한 수렴 판정법이 존재한다. 다만 '''이것이 저절로 급수의 값을 구하는 결과가 되진 않는다'''. 일반적으로 급수의 값을 찾는 것은 존재성을 증명하는 것보다 어렵다. 이공계라면 대학교의 기초 미적분학에서 해당 내용들을 배운다.
수렴 판정법에 관하여, 너무 당연해서 책에 안나오는 경우도 있어서 수렴판정법을 배우는 초반에 간과하기 쉬운 것 중 하나로, 초항을 어디서부터 잡아도 상관없다는 것이다. 즉, $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$$와 $$\displaystyle \sum_{n=k}^{\infty}{a_{n}}$$의 수렴성이 같다는 것이다.[9]

4.1. 기하급수(Geometric Series)

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급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a^n $$에 대해서, $$\left|a\right|<1$$이면 수렴, $$\left|a\right| \geq 1$$이면 발산한다.

급수 중에서도 특수한 경우인 무한 등비 급수의 수렴 조건. 고등학교에서도 현행 교육과정 기준으로 미적분(교과)의 급수 앞부분에서 배울 것이다.

4.1.1. 관련 문서

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• 제타 함수

4.2. 일반항 판정법(발산판정법, Divergence Test)

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$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$이 수렴하면, $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0$$이다.

고등학교 수학에서도 배우는 간단하고 기본적인 판정법이다. 보통은 위 명제의 대우 ($$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n \neq 0$$이면[10] $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 수렴하지 않는다.[11])를 사용한다. 증명은 다음과 같다.

$$S_k$$를 첫 항부터 $$k$$항까지의 합, 그리고 $$S$$를 급수의 수렴값이라 하자. 그럼 $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k = S$$이다. 한편, $$k \geq 2$$에 대해 $$a_k = S_k-S_{k-1}$$이므로, $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k = \lim_{k \to \infty}\left(S_k-S_{k-1}\right) = \lim_{k \to \infty}S_k - \lim_{k \to \infty}S_{k-1} = S-S = 0$$

여기서 주의할 것은 위 명제의 역은 성립하지 않는다는 것이다. 반례를 들자면 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0$$이지만 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty$$이다. 이 판정법을 통해 일반항이 0으로 수렴하지 않는 급수에 대해 보다 간단히 발산임을 판정할 수 있다.

4.3. 코시 판정법(Cauchy Test)[12]

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급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$이 수렴하면 임의의 $$\epsilon >0$$에 대해 $$\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N}} : \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}\right|<\epsilon \, $$를 만족하게 하는 자연수 $$N$$이 존재한다. 이 명제의 역도 성립한다.

코시 응집판정법과는 별개다. 위 명제를 고등학교 수준으로 설명하자면 '''급수의 앞 몇 항은 수렴/발산에 영향을 끼치지 않는다'''라고 해석할 수 있다 (완전히 같은 건 아니다). 이를 좀 더 엄밀히 표현하자면 다음과 같다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$이 수렴하면 임의의 자연수 $$N$$에 대해 $$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n$$도 수렴한다. 역으로 어떤 자연수 $$N$$에 대해 $$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n$$이 수렴하면, $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$도 수렴한다.

증명

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$가 수렴한다 가정하자. 그럼 부분합 $$S_n$$는 코시 수열이여야 한다. 즉, 어떤 자연수 $$N$$에 대해 $$\ \forall n,m \geq N : \left|S_m-S_n\right| < \epsilon $$가 성립한다. 이것은 곧 코시 판정법이 성립함을 의미한다.

역으로 코시 판정법이 성립한다 가정하자. 그럼 부분합 $$S_n$$이 코시 수열임을 의미하고, 이것은 곧 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$이 성립함을 의미한다.

4.4. 비교판정법(Comparison Test)

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어떤 자연수 $$N$$에 대해 $$\forall n \geq N : 0<a_n \leq b_n$$라 가정하자. 이때, $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$$이 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$도 수렴한다.

보통 DCT (Direct Comparison Test)라 줄여 말한다.
증명

위 코시 판정법에 의해 $$N=1$$일 때를 증명해도 충분하다. $$A_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k, B_n = \sum_{k=1}^{n}b_k$$라 하자. 항 $$a_k, b_k$$가 모두 양수이므로 수열 $$\left\{A_n\right\}, \left\{B_n\right\}$$는 증가한다. 또한, $$a_k \leq b_k, k = 1, 2, 3, \cdots$$이므로 $$\forall n \geq N : 0<A_n \leq B_n $$이다. 이제, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$이 발산한다 가정하면 $$\left\{A_n\right\}$$도 발산하고, 이것은 곧 그 수열이 유계가 아님(unbounded)을 의미한다.[13]

따라서 $$\left\{B_n\right\}$$도 유계가 아니고, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}b_k$$도 발산한다.

4.4.1. 따름정리 1

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자연수 $$n = 1, 2, 3, \cdots$$에 대해 $$a_n>0, b_n>0$$이고 두 수열 $$\displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\}$$이 유계이면 두 급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n$$는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

증명

수열 $$\displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\}$$이 유계이므로, 임의의 자연수 $$n$$에 대해 $$\displaystyle \frac{a_n}{b_n} \leq M_1,\,\, \frac{b_n}{a_n} \leq M_2 $$가 성립하는 양수 $$M_1, M_2$$가 존재한다. 그럼 $$\displaystyle 0<\frac{1}{M_1} \leq \frac{b_n}{a_n} \leq M_2$$이고, 곧 $$\displaystyle 0<\frac{a_n}{M_1} \leq b_n \leq M_2a_n$$이다. 따라서 비교판정법에 의해 위 명제는 참이다.

4.4.2. 따름정리 2(극한비교판정법, Limit Comparison Test, LCT)

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자연수 $$n = 1, 2, 3, \cdots$$에 대해 $$a_n>0, b_n>0$$이고 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{{b_n} \over {a_n}}$$이 양수로서 존재하면 두 급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n$$는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

위 따름정리 1의 특별한 경우. Limit Comparison Test라 부르며 줄이면 LCT가 된다. 한국어로는 극한비교판정법이다. 아래 정리는 LCT의 사용범위를 넓히는 역할을 한다.

1. 자연수 $$n = 1, 2, 3, \cdots$$에 대해 $$a_n>0, b_n>0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = 0$$이고, $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$$도 수렴한다.
2. 자연수 $$n = 1, 2, 3, \cdots$$에 대해 $$a_n>0, b_n>0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = \infty$$이고, $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$가 발산하면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$$도 발산한다.

증명

1. 어떤 자연수 $$N$$에 대해 $$\forall k \geq N : b_k/a_k \leq 1 $$이다. DCT에 의해 명제는 참이다. 2. 어떤 자연수 $$N$$에 대해 $$\forall k \geq N : b_k/a_k \geq 1 $$이다. DCT에 의해 명제는 참이다. [14]

4.5. 적분판정법(Integral Test)

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수열 $$\left\{a_n\right\}$$의 항이 i) 전부 양수, ii) 감소, iii)$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0$$이고, [math(\left[1, \infty\right))]에서 정의된 함수 $$\forall n \in {\mathbb{N}} : f\left(n\right) = a_n $$가 감소함수이면, 급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$와 수열 $$\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx$$는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

증명

모든 자연수 $$k$$에 대해 $$\forall x \in \left[k,\ k+1\right] : a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k $$이다. 따라서 $$a_{k+1} \leq \displaystyle \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k$$이다. 만약 $$n \geq 2$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k$$이고, 곧 $$S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1}$$이다. 각 자연수 $$k$$에 대해 $$a_k$$이므로 수열 $$\left\{S_n\right\}$$는 단조 증가한다. 비슷하게, [math(f\left(x\right)>0 , x \in [1, \infty ))]이므로 $$\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx$$도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$가 수렴한다 가정하자. 그럼 $$\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx$$는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다. 역으로 $$\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx$$가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다.[15]

4.5.1. 따름정리(p-급수, p-series)

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적분 판정법의 특별한 경우.[16] 내용은 다음과 같다.

급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$$에 대해, $$p>1$$이면 수렴하고, $$p \leq 1$$이면 발산한다.

지수(= power)를 보고 판별하기 때문에 p-series란 이름이 붙었다. 자세한 건 아래 예시를 통해 확인.

4.5.2. 예시

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$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}}$$이 수렴하는지 발산하는지 확인해 보기 위해 함수 $$f(x) = \dfrac{1} {x^2+1}$$라고 하자. [1,∞) (1에서 무한대) 구간에서 연속적이고, 함수값이 감소 하므로 적분판정법을 사용한다. $$\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty} \bigg[ \arctan x \bigg]_1^t$$이고, $$\arctan 1 = \dfrac {\pi} {4}$$이므로 $$\displaystyle \lim_{t \to \infty} (\arctan t - {\pi \over 4}) = {\pi \over 2} - {\pi \over 4} = {\pi \over 4}$$이다. $$\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx$$가 적분판정법을 했을때 수렴한다. 따라서.$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}}$$도 수렴한다.
실제로 수렴하는 값은 $${1 \over 2} (\pi \coth{\pi}-1)$$이고 약 1.0767이다. 참고
다른 예시로 $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$$이 발산하는지 수렴하는지 확인해보자.$$ f(x) = {1 \over x}$$라 두고, $$\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x}} dx = \lim_{t \to \infty} \bigg[ \ln x \bigg]_1^t = \infty$$이다. 그러므로 $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$$은 발산한다.

4.6. 비(율)판정법(Ratio Test)

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$$a_n$$이 양수이고, $$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= R, \, \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= r$$라 하면,[17]

1. $$R<1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 수렴한다.
2. $$r>1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 발산한다.
$$R, r$$이 1인 경우에는 수렴인지 발산인지 판정이 불가능하다.[18]

달랑베르가 처음 공식화시켰다고 알려져 있으나 '달랑베르 비율 판정법' 또는 '코시 비율 판정법'이라고도 불린다. 멱근판정법과 상당히 비슷하다. 영어로 Ratio Test라고 불린다.
증명

1. $$R<1$$이면 임의의 $$0<\epsilon<1-R$$를 만족하는 $$\epsilon$$에 대해 $$\displaystyle \ \forall k > N : {{a_{k+1}} \over{a_k}} < R + \epsilon <1 $$를 만족하게 하는 자연수 $$N$$이 존재한다. 만약 $$\eta = R+\epsilon$$라 하면 $$\forall k>N : a_{k+1}<\eta a_k $$이고, 곧 $$\forall k>N : a_k<\eta ^{k-N}a_N $$이다. 급수 $$\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\eta ^{k-N}a_N = a_N \sum_{j=1}^{\infty}\eta ^j $$는 $$\eta <1$$이기 때문에 수렴하고 따라서 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$도 수렴한다. 2. 만약 $$r>1$$이면 적당히 큰 자연수 $$N$$에 대해 $$\forall k \geq N : a_{k+1}/a_k >1 $$이다. 따라서 $$k>N$$는 $$a_k>a_N>0$$를 의미하고, 곧 $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k \neq 0$$이다. Limit Term Test에 의해 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 발산한다.

상극한과 하극한을 구하는 것은 까다롭기 때문에 보통은 아래 따름정리를 사용하게 된다. 사실 수학과가 아니면 처음부터 비율판정법을 아래의 것으로 배운다.

4.6.1. 따름정리

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$$\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k>0 , \, \displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = l$$이라 가정하자.
1. $$l<1$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 수렴한다.
2. $$l>1$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 발산한다.

주의할 점은, $$l=1$$일 때는 판별을 할 수 없다는 것이다. 그럴 때는 다른 판별법을 사용해야 한다.

4.7. 멱근판정법(Root Test)

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모든 자연수 n에 대해 $$a_n>0$$이고, $$\displaystyle \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} = R$$일 때,

1. $$R<1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 수렴한다.
2. $$R>1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 발산한다.[19]

영어로 Root Test라고 불린다. 멱근판정법은 멱급수(power series)의 수렴 반지름을 구하는 데 사용할 수 있다.

1. $$R<1$$이면 $$R<\rho <1$$를 만족하는 임의의 $$\rho$$에 대해 $$\forall k>N : \sqrt [k]{a_{k}} \leq \rho $$를 만족하게 하는 자연수 $$N$$이 존재한다. 그럼 $$\forall k>N : a_k \leq \rho ^k $$이고 급수 $$\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\rho ^k$$는 $$\rho <1$$이기 때문에 수렴한다. DCT에 의해 $$\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}a_k$$는 수렴하고, 곧 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$도 수렴한다. 2. $$R>1$$이면 $$\sqrt [k]{a_{k}} >1$$를 만족하는 무수히 많은 자연수 $$k$$가 존재한다. 따라서 무수히 많은 $$k$$에 대해 $$a_{k}>1$$이 성립하고 이것은 곧 $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_{k} \neq 0$$을 의미한다. 일반항 판정법에 의해 급수는 발산한다.

비율판정법의 증명방법과 매우 유사하다. 상극한, 하극한의 성질에 의해
$$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \leq \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \leq \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
이 성립하므로 비율판정법으로 판정가능하면 멱근판정법으로도 판정가능하다. 그 역은 성립하지 않는다.

4.7.1. 따름정리

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$$\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k>0 $$, $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}\sqrt [k]{a_{k}} = l$$이라 가정하자.
1. $$l<1$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 수렴한다.
2. $$l>1$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$$는 발산한다.

비율판정법와 마찬가지로 $$l=1$$인 경우에는 사용할 수 없다.

4.8. 라베 판정법(Raabe's test)

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수열 $$\displaystyle a_n$$에 대하여 $$\displaystyle a_n \neq 0$$일 때, $$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(n|1-\frac{a_{n+1}}{a_n}|)= R, \liminf_{n\to\infty}(n|1-\frac{a_{n+1}}{a_n}|)= r$$이라 하면

1. $$R>1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 절대수렴한다.

2. $$r<1$$이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 절대수렴하지 않는다.

비판정법, 근판정법에서 극한값이 1이 나올 때, 사용한다.

4.9. 교대급수 판정법(Alternating Series Test, AST)

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수열 $$\left\{a_k\right\}$$이 단조 감소 수열이고 $$\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k = 0$$이면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^k a_{k}$$는 수렴한다.

보통 줄여서 AST라 부른다. 증명은 아래와 같다.

$$S_{n}= \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^ka_k$$이라 하자. 그럼 $$S_{2n}-S_{2n-2} = a_{2n}-a_{2n-1} \le 0$$이고 수열 $$\left\{S_{2n}\right\}$$은 단조 감소 함수이다. 또한 $$S_{2n} = -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+ \cdots +a_{2n-2}-a_{2n-1}+a_{2n} = -a_1+\left(a_2-a_3\right)+\left(a_4-a_5\right)+ \cdots +\left(a_{2n-2}-a_{2n-1}\right)+a_{2n} \geq -a_1$$이므로 $$\left\{S_{2n}\right\}$$는 아래로 bounded되어있고 따라서 수렴한다.[20] 이제 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n} = S$$라 하자. 그럼 $$S_{2n-1} = S_{2n}-a_{2n}$$이므로 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n-1} = \lim_{n \to \infty}S_{2n} - \lim_{n \to \infty}a_{2n} = S-0 = S$$이다. 따라서 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n = S$$이고 곧 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^ka_k$$는 수렴한다.

4.10. 디리클레 판정법(Dirichlet's Test)

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수열 $$a_{n}$$이 단조 감소하고 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0$$이라 하자. 수열 $$b_{n}$$에 대하여 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k$$가 유계 수열이면 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$$은 수렴한다.

교대급수 판정법을 일반화한 판정법이다. 디리클레 판정법에서 $$b_{k} = (-1)^k$$으로 두면 교대급수 판정법을 얻을 수 있다.

4.11. 아벨 판정법(Abel's Test)

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수열 $$a_{n},\:b_{n}$$에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다고 하자.

1. $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$이 수렴한다.

1. $$b_{n}$$은 유계 단조수열이다.

그러면, $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$$은 수렴한다.

4.12. 코시 응집 판정법(Cauchy Condensation Test)

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음이 아닌 단조 감소 실수열 $$\left\{ a_{n}\right\} $$에 대해, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$$와 $$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}$$의 수렴성은 동치이다.

증명

$$\frac{1}{2} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = \frac{1}{2}(a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n}) = \frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n}$$가 성립한다. 1. 단조 감소성에서 $$\dfrac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n} \le a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2^n} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2^n} a_k$$을 얻는다. 따라서, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$$ 가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}$$도 수렴한다. 1. 단조 감소성에서 $$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n} \ge a_1 + a_2 + a_3 + ... a_{2^n} + ... a_{2^{n+1}-1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2^{n+1}-1} a_k$$을 얻는다. 따라서, $$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}$$가 수렴하면 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$$도 수렴한다.

5. 관련 문서

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• 테일러 급수

[1] 코시의 이 기준은, 실수상에서 수렴성과 동치이다.(수렴하면 코시의 기준을 만족하지만, 그렇지 않은 공간도 있다.) 그리고 수렴성의 정의와는 달리, 구체적인 수렴값은 몰라도 좋다. 때문에, 해석학과 (거리가 주어진) 위상공간에서 아주 중요한 역할을 한다. 코시의 기준을 만족하는 수열을 코시 수열 또는 기본 수열이라 부르고, 코시 수열이 수렴하는 공간을 ("완비적이다", "완비성을 가졌다.")고 표현한다. 실수와 복소수 공간은 완비적이다. 그러나 유리수 공간은 그렇지 않다. ⟨\[10''ⁿ'' √2\]/10ⁿ⟩은 유리수열로서 코시수열이다. 하지만, 그 극한은 $$\sqrt{2}$$로 유리수가 아니기 때문이다. 완비가 아닌 공간을 완비로 만드는 과정을 "완비화"라 부른다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 공간이다.

[2] $$n$$이 모든 자연수라는 뜻. 자연수가 1부터 시작해서 1씩 더해지는 무한집합이므로 결국 동치이다.

[3] 초항이 ''n''=1인 급수는 이렇게 시그마의 위아래를 생략하고 쓰기도 한다.

[4] 여기서 $$\lfloor x \rfloor$$는 최대 정수 함수이다.

[5] 위와 같은 적분을 스틸체스 적분이라고 한다.

[6] 유한번은 교환법칙은 먹힌다. 유한번 교환해서 더하는 순서를 원래대로 바꿀수 없으면 값이 달라질 수 있다.

[7] 노름과 완비성을 둘다 갖는 벡터공간

[8] 무한차원 벡터공간에서는 수렴하지만 조건수렴하지도 절대수렴하지도 않는 반례가 존재한다. 이 경우 조건수렴은 항의 순서라는 조건에 따라 수렴값이 달라지는 급수로 정의된다.

[9] 당연하지만 급수에서 초항을 어떻게 잡든 초반 유한개의 항의 합은 유한이기 때문.

[10] $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$$이 발산하는 경우(즉 극한값이 존재하지 않는 경우)도 포함한다. 왜냐하면 어쨌든 0으로 수렴하지 않는 것은 매한가지이기 때문이다.

[11] 즉 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$은 발산한다. 이 대우명제를 '''발산판정법'''이라고 부른다.

[12] 코시의 이 기준은, 실수상에서 수렴성과 동치이다.(수렴하면 코시의 기준을 만족하지만, 그렇지 않은 공간도 있다.) 그리고 수렴성의 정의와는 달리, 구체적인 수렴값은 몰라도 좋다. 때문에, 해석학과 (거리가 주어진) 위상공간에서 아주 중요한 역할을 한다. 코시의 기준을 만족하는 수열을 코시 수열 또는 기본 수열이라 부르고, 코시 수열이 수렴하는 공간을 ("완비적이다", "완비성을 가졌다.")고 표현한다. 실수와 복소수 공간은 완비적이다. 그러나 유리수 공간은 그렇지 않다. ⟨\[10''ⁿ'' √2\]/10''ⁿ''⟩은 유리수열로서 코시수열이다. 하지만, 그 극한은 $$\sqrt{2}$$로 유리수가 아니기 때문이다. 완비가 아닌 공간을 완비로 만드는 과정을 "완비화"라 부른다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 공간이다.

[13] 이 부분은 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명할 수 있다.

[14] 극한값의 성질을 사용한다. 수열의 극한값이 0이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 작아야 한다. 반대로 극한값이 무한대이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 커야한다.

[15] 위로 유계이며 단조 증가인 수열은 수렴한다. 수열의 극한의 정의를 이용해 쉽게 보일 수 있다.

[16] 코시 응집 판정법으로도 간단하게 증명가능하다.

[17] limsup과 liminf는 각각 상극한과 하극한을 말한다.

[18] 즉, 수열이 발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.

[19] $$R=1$$ 경우, 수렴하는 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 급수 $$\left\langle1\right\rangle$$의 합은 발산하지만, $$\left\langle n^{-2}\right\rangle$$의 합은 수렴한다.

[20] 아래로 유계이며 단조 감소인 수열은 수렴한다. 5번 각주 참조