원(도형)/방정식
1. 도출
2차원 직교 좌표계에서 중심이 $$\mathrm{O}(a,\,b)$$이고, 반지름의 길이가 $$r$$인 원을 생각해보자. 원 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 $$\mathbf{r}=(x,\,y)$$라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 $$\mathbf{r}_{0}=(a,\,b)$$이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 $$\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}$$를 고려할 때
$$\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r $$
$$\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $$
[image]
2. 일반형
위에서 도출한 원의 방정식을 '''표준형'''이라 한다. 그러나, 위의 식을 모두 전개하여 나타낸 방정식을 '''일반형'''이라 하는데, 그 꼴은 아래와 같다.
$$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $$
$$\displaystyle \left( x^{2}+Ax+ \frac{A^{2}}{4} \right)+\left( y^{2}+By+ \frac{B^{2}}{4} \right)=\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4} $$
$$\displaystyle \left( x+\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y+\frac{B}{2} \right)^{2}=\left[ \sqrt{\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} \right]^{2} $$
$$\displaystyle \mathrm{C}\left( -\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2} \right) $$
$$\displaystyle r=\frac{\sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2} $$
표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 $$A,\,B,\,C$$값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.
3. 양함수의 형태
원의 방정식의 일반형은 음함수[1] 형태이므로, 우리가 해석적으로 유용하게 분석하려면, 양함수 형태로 바꾸어주어야 한다. 양함수로 바꾸어주게 되면, 아래와 같이 나오게 된다.
$$\displaystyle f(x)=\pm \sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b $$
[image]
한편, $$r^2$$을 좌변으로 이항시키고 우변에 [math(0)] 대신 $$f(x,\,y)$$를 넣은 이변수 함수 꼴($$f(x,\,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2}$$)로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 원기둥을 그린다.
4. 매개변수 방정식
삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다. 삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $$r$$인 원 위에 있는 임의의 점을 $$(x, \, y)$$라고 하면 $$\theta$$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수가 있다.
$$\begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} x&=a+r\cos\theta \\ \ y&=b+r\sin\theta \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \cos\theta&={1-t^2 \over 1+t^2} \\ \ \sin\theta&={2t \over 1+t^2} \end{aligned}$$
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=a+r\left( {1-t^2 \over 1+t^2} \right) \\ y&=b+r \left( {2t \over 1+t^2} \right) \end{aligned}$$
5. 극 좌표계
극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.
원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $$ r_0 $$인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 $$(r,\, \theta)$$이라 하면
$$\displaystyle r=r_0 $$
이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구해보도록 하자.
[image]
위 그림과 같이 반지름의 길이가 $$r_{0}$$이고, 중심이 $$\mathrm{C}(a,\,\phi)$$인 원을 고려하자. 위 그림에서 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{O}$$는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 $$\mathrm{OCP}$$는 제2 코사인 법칙을 사용함으로써
$$\displaystyle r^2-2ar\cos(\theta-\phi)+a^2={r_0}^2 $$
[각주]